Диссертация (1145289), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Доказательство данного утверждения аналогично доказательству теоремы 4.1. ■В некоторых случаях можно упростить процедуру поиска настраиваемыхпараметров h регулятора, обеспечивающих заданное расположение корней внутри области C∆ . Рассмотрим наиболее простую частную ситуацию со скалярным158управлением, когда регулятор (4.1.4) имеет видu[k ] = kx[k ] .(4.1.25)При этом будем считать, что данный регулятор имеет полную структуру, то естьпара A , B является полностью управляемой, а настраиваемыми параметрами hявляются коэффициенты вектора k .Л е м м а 4 . 2 . Если регулятор (4.1.4) задан в форме (4.1.25), то вектор настраиваемых параметров k , обеспечивающий желаемое расположение корнейвнутри области C∆ , находится из системы уравненийPk T = a − α( γ ) .Здесь a = (a1(4.1.26)a2 ... an ) и α( γ ) = (α1 α 2 ...

α n ) – векторы коэффициентовTхарактеристическогоTполиномаобъектауправленияA( z ) = det (Ez − A ) = z n + a1 z n −1 + ... + an −1 z + an и желаемого характеристическогополинома замкнутой системы ∆* ( z , γ ) = z n + α1 z n −1 + ... + α n −1 z + α n соответственно, а матрица P определяется только матрицами A и B математическоймодели (4.1.3).Доказательство. Применяя к системе (4.1.3) Z-преобразование, получимx = (Ez − A ) Bu + (Ez − A ) Hϕ + (Ez − A ) x 0 =−1−1−1G(z )H( z )G (z )u+ϕ+ 0 ,A( z )A( z )A( z )где A( z ) = det (Ez − A ) = z n + a1 z n −1 + ...

+ an −1 z + an – характеристический полином,G ( z ) = (G1 ( z ) ... Gn ( z ) ) – вектор-столбец с элементамиTGi ( z ) = det (Ez − A)i = p1i z n −1 + ... + pni −1 z + pni , i = 1, n ,(4.1.27)причем матрицы (Ez − A )i получены заменой i -го столбца матрицы (Ez − A ) вектором B . Аналогично, имеем H ( z ) = A( z )(Ez − A ) H , G 0 ( z ) = A( z )(Ez − A ) x 0 .−1−1Тогда, в соответствии с (4.1.25), управляющий сигнал равен G (z )H( z )G (z ) ϕ + 0  илиu+u = k A( z )A( z )  A( z )( A( z ) − kG( z ) )u = kH( z )ϕ + kG 0 ( z ) ,а следовательно характеристический полином замкнутой системы (4.1.3), (4.1.4)159равен∆( z , k ) = A( z ) − kG( z ) .(4.1.28)Пусть ∆* ( z , γ ) = z n + α1 z n −1 + ... + α n −1 z + α n – желаемый характеристическийполином замкнутой системы. Тогда вектор k в законе управления (4.1.25) выберем так, чтобы выполнялось равенство∆( z , k ) = ∆* ( z , γ ) .С учетом (4.1.28) данное равенство примет видkG( z ) = A( z ) − ∆* ( z , γ ) .Приравнивая в этом выражении коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему линейных уравнений для определения вектора k :Pk T = a − α( γ ) ,где a = (a1(4.1.29)a2 ...

an ) и α( γ ) = (α1 α 2 ... α n ) – коэффициенты полиномовTTA(z ) и ∆* ( z , γ ) соответственно, а матрица P равна p11 p1P= 2 M p1 np12 ...p22 ...pn2 ...p1n p2n .npn Коэффициенты данной матрицы зависят только от матриц A и B модели (4.1.3).Так как регулятор (4.1.25) имеет полную структуру, то матрица P является невырожденной и искомый вектор коэффициентов k равенk T = P −1 (a − α( γ )) .Лемма доказана. ■Рассмотрим теперь более сложный случай со скалярным управлением, когда регулятор задан в форме (4.1.4):u[k ] = W(q, h )y[k ] .(4.1.30)Будем считать, что данный регулятор имеет полную структуру.

Представим вектор W(q, h) следующим образом:160W ( q, h ) =W1 (q, h)  W11 (q, h) W12 (q, h)W1s (q, h) .= ...W2 (q, h)  W2 (q, h) W2 (q, h)W2 (q, h) (4.1.31)Заметим, что все компоненты передаточной матрицы W(q, h) имеют один и тотже знаменатель W2 (q, h ) . При этом степени полиномов W11 (q, h ) , W12 (q, h ) , …,W1s (q, h ) в числителях могут отличаться. Введем следующие обозначения для коэффициентов этих полиномов:W2 (q, h ) = h0 q n 2 + h1q n 2 −1 + ... + hn 2 −1q + hn 2 ,W1k (q, h ) = h0 k qn1k+ h1k qn1k −1+ ... + hn1k −1, k q + hn1k , k , k = 1, s.(4.1.32)Здесь n2 = deg(W2 (q, h )) , n1k = deg(W1k (q, h )) – степени полиномов W2 (q, h ) иW1k (q, h ) соответственно. Тогда вектор настраиваемых параметров h включает всебя следующие элементыh = (h0h1 ... hn2h01h11 ... hn111 ...

h0 sh1s... hn1s s ) ,T(4.1.33)причем его размерность равна n2 + n11 + ... + n1s .Л е м м а 4 . 3 . В случае скалярного управления вектор настраиваемых параметров h регулятора (4.1.4), определяемый формулой (4.1.33) и обеспечивающий желаемое расположение корней внутри области C∆ , для заданного γ находится из системы уравненийPh = α (γ ) .(4.1.34)Здесь α( γ ) = (α1 α 2 ... α nd ) – вектор коэффициентов желаемого характериTстического полинома ∆* ( z , γ ) = z nd + α1 z nd −1 + ... + α nd −1 z + α n d замкнутой системы,степень которого равна nd , а матрица P определяется матрицами A , B и Cматематической модели (4.1.3).Доказательство.

Применяя к (4.1.3) Z-преобразование, получимx=G (z )H( z )G (z )u+ϕ+ 0 ,A( z )A( z )A( z )где A( z ) = det (Ez − A ) = z n + a1 z n −1 + ... + an −1 z + an – характеристический полином,161G ( z ) = (G1 ( z ) ... Gn ( z ) ) – вектор-столбец с элементами (4.1.27).TВ соответствии с (4.1.30) и (4.1.31), управляющий сигнал равенu=H( z )G (z ) W1 ( z , h)  G ( z )ϕ + 0  ,u+CA( z )A( z ) W2 ( z , h)  A( z )или (W2 ( z , h) A( z ) − W1 ( z , h)CG ( z ) )u = W1 ( z , h)CH ( z )ϕ + W1 ( z , h)CG 0 ( z ) .Следовательно, характеристический полином замкнутой системы (4.1.3), (4.1.30)равен∆( z, h ) = W2 ( z , h) A( z ) − W1 ( z , h)CG ( z ) .Степень характеристического полинома (4.1.35) равна(4.1.35)nd = n + n2 .

Пусть∆* ( z , γ ) = z nd + α1 z nd −1 + ... + α nd −1 z + α n d – желаемый характеристический полиномзамкнутой системы. Тогда вектор h выберем так, чтобы выполнялось равенство∆( z , h ) = ∆* ( z , γ ) .С учетом (4.1.35) получаемW2 ( z , h) A( z ) − W1 ( z , h)CG ( z ) = ∆* ( z , γ ) .(4.1.36)Найдем коэффициенты полинома, стоящего слева от знака равенства. Пользуясьпредставлением (4.1.32), вычислим произведениеW2 ( z , h) A( z ) = r0 (h) z nd + r1 (h) z n d −1 + ... + rn d −1 (h) z + rn d ,где ri (h) =min( i , n )∑ak hi − kk = max( 0, i − n 2 )(4.1.37), a0 = 1 , i = 1, nd . Заметим, что каждый из коэффициентовri (h) является линейной комбинацией части коэффициентов h0 ,…, hn2 .

Учитываяобозначения (4.1.27), рассмотрим произведение c11 z n −1 + c12 z n − 2 + ... + c1n −1 z + c1n  C1 ( z ) MCG(z)M==, s n −1 s n − 2ss C ( z)  s  c1 z + c2 z + ... + cn −1 z + cn (4.1.38)nпричем ci = ∑ c jk pik , i = 1, n , j = 1, s , c jk – элементы матрицы C .

Таким образом,jk =1коэффициенты полиномов C1 ( z ) , …, Cs (z ) полностью определяются матрицами162A, B, C исходной системы (4.1.3). На основе (4.1.31) и (4.1.38), получаемW1 ( z , h)CG ( z ) = W11 ( z , h)C1 ( z ) + ... + W1s ( z , h)Cs ( z ) .(4.1.39)Тогда, используя (4.1.32), запишем выражения для каждого слагаемого в формуле(4.1.39):W1k ( z , h )Ck ( z ) = r0k (h) z t k + r1k (h) z t k −1 + ...

+ rtkk −1 (h) z + rtkk , k = 1, s ,где t k = n − 1+ n1k – степень полинома, ri (h) =kmin( i , n1k )∑(4.1.40)h jk cik− j , i = 0, tk , k = 1, s .j = max( 0, i − n +1)Заметим, что все коэффициенты rik (h) являются линейными комбинациями элементов вектора h .Вычитая (4.1.37) и (4.1.40), получаем характеристический полином замкнутой системы в следующей формеW2 ( z , h) A( z ) − W1 ( z , h)CG ( z ) = ~r0 (h) z n d + ~r1 (h) z nd −1 + ... + ~rn d −1 (h) z + ~rn d (h) ,ri (h ), i = 0, nd являются линейными комбинациями элементовгде коэффициенты ~вектора настраиваемых параметров h .

Тогда, приравнивая в (4.1.36) коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему линейных уравнений для определения вектора h :Ph = α (γ ) ,где α( γ ) = (α1 α 2 ... α n ) – коэффициенты полинома ∆* ( z , γ ) , а матрица P опTределяется коэффициентами линейных комбинаций для каждого из чисел~ri (h ), i = 0, nd , которые, в свою очередь, зависят только от матриц A, B, C исходной системы (4.1.3). В силу полноты структуры регулятора (4.1.30), матрица Pявляется невырожденной и вектор h равенh = P −1α(γ ) ,что и доказывает лемму.

■Воспользуемся теоремой 4.1 для построения вычислительного метода решения задачи параметрического синтеза (4.1.7) на допустимом множестве Ω H(4.1.11) при условии, что C∆ = C∆ 2 , поскольку первый вариант с очевидностью163является частным случаем второго.С этой целью зададим произвольный вектор γ ∈ E nd и построим вспомогательный полином ∆* ( z , γ ) по формулам (4.1.14), (4.1.15), (4.1.16).

Потребуем, чтобы настраиваемые параметры регулятора (4.1.4), объединенные в вектор h ∈ E r ,обеспечивали тождество∆ З ( z , h ) ≡ ∆* ( z , γ ) ,(4.1.41)где ∆ 3 ( z , h) – характеристический полином замкнутой системы степени nd . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в (4.1.41), получим системунелинейных уравненийL(h ) = χ (γ )(4.1.42)относительно неизвестных компонентов вектора h . Эта система при любыхγ ∈ E nd является совместной в силу полноты структуры регулятора (4.1.4). Будемсчитать, что в общем случае система имеет неединственное решение.

Характеристики

Список файлов диссертации