Диссертация (1145289), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Для этого составим линейную комбинацию указанных строк с коэффициентами α, β и γ . В результате для первых двух столбцов получим уравненияαxx1x111+ β 2 + γ 3 = 0, α+β+γ= 0.Z c1Z c2Z c3Z c1Z c2Z c3(5.1.21)При условии x1 ≠ x2 из уравнений (5.1.21) получаем следующие выражения длякоэффициентов α и β :β = −γZ c 2 x3 − x1Z x − x2, α = γ c1 3.Z c 3 x2 − x1Z c 3 x2 − x1(5.1.22)189Если же x1 = x2 , то с учетом (5.1.21) возможны два варианта:а) x1 = x3 , но в этом случае три точки ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) и ( x3 , y3 ) лежат наодной прямой, чего не может быть по условию теоремы;б) γ = 0, x1 ≠ x3 , но в этом случае с учетом уравнений для трех оставшихсястолбцов матрицы L s1 получаем y1 = y 2 , то есть две точки совпадают, чего неможет быть по условию теоремы.Возвращаясь к (5.1.22), подставим найденные выражения для коэффициентов α и β в уравнения, получаемые для трех последних столбцов матрицы L s1 .
Врезультате, при условии γ ≠ 0 , имеем:Z c1 x3 − x2Z c3 x2 − x1Z c1 x3 − x2Z c 2 x3 − x1Z c 3 x2 − x1y2 + y3 = 0,(5.1.23)Z c 2 x3 − x1x2 y2 + x3 y3 = 0,Z c3 x2 − x1Z x −x(1 + x12 ) − c 2 3 1 (1 + x22 ) + (1 + x32 ) = 0.x2 − x1Z c3 x2 − x1Z c3 x2 − x1Z c1 x3 − x2Z c3y1 −x1 y1 −Из первых двух уравнений системы (5.1.23) нетрудно видеть, что должно выполняться равенство( x3 − x1 )( y3 Z 3 − y 2 Z 2 ) = 0 .(5.1.24)Рассмотрим два случая:а) x1 = x3 , но тогда из первого уравнения системы (5.1.23) имеем y1 = y3 ,чего не может быть, так как пары точек не совпадают;б) y3 Z 3 − y 2 Z 2 = 0 или, что эквивалентно, Y3 = Y2 .
Тогда из первого уравнения в (5.1.23) получаем равенство y1 Z1 = y3 Z 3 или Y1 = Y3 . Но, в силу условий теоремы, точки в трехмерном пространстве не могут одновременно находиться вплоскости Y = const .В итоге, равенство нулевому вектору линейной комбинации строк матрицыL s1 возможно в том и только в том случае, когда α = β = γ = 0 .
То есть, выполнения условий теоремы достаточно для того, чтобы ранг матрицы L s1 был равен190трем.Аналогично, рассмотрим линейную комбинацию строк для второй матрицыL s 2 , определяемую формулой (5.1.20). В этом случае для первого и третьегостолбца получаем уравненияαyy1y111+ β 2 + γ 3 = 0, α+β+γ= 0.Z c1Z c2Z c3Z c1Z c2Z c3Отсюда, при условии y1 ≠ y 2 , находим выражения для α и β :β = −γZ c 2 y3 − y1Z y − y2, α = γ c1 3.Z c 3 y 2 − y1Z c 3 y 2 − y1(5.1.25)Если же y1 = y 2 , то либо y1 = y 2 = y3 , либо x1 = x2 , что в обоих случаях невозможно по условиям теоремы. С учетом выражений для коэффициентов (5.1.25),составим линейные комбинации коэффициентов, находящихся в трех последнихстолбцах матрицы L s 2 :Z c1 y3 − y 2Z y − y1x1 − c 2 3x2 + x3 = 0,Z c 3 y 2 − y1Z c 3 y 2 − y1Z c1 y3 − y 2Z y − y1(1 + y12 ) − c 2 3(1 + y 22 ) + (1 + y32 ) = 0,Z c 3 y 2 − y1Z c 3 y 2 − y1(5.1.26)Z c1 y3 − y 2Z y − y1x1 y1 − c 2 3x 2 y 2 + x3 y 3 = 0 .Z c 3 y 2 − y1Z c 3 y 2 − y1Из первого и третьего уравнений получаем равенство( y3 − y1 )(x3 Z 3 − x2 Z 2 ) = 0 .Соответственно, возможны два случая:а) y1 = y3 , но тогда x1 = x3 , что невозможно по условию теоремы;б) x3 Z 3 = x2 Z 2 или, что эквивалентно, X 2 = X 3 .
Но, тогда из первого уравнения системы (5.1.26) следует, что X 2 = X 1 , то есть все три точки лежат в однойплоскости X = const в трехмерном пространстве, чего не может быть по условиютеоремы.Таким образом, при выполнении условий теоремы строки матрицы L s 2 линейно независимы, а ее ранг равен трем. ■191Рассмотрим теперь утверждения, показывающие в каких ситуациях выполняются условия теоремы 5.1.Теорема5 . 2 .
Пусть три точкиP1 ( X 1 , Y1 , Z1 ) ,P2 ( X 2 , Y2 , Z 2 )иP3 ( X 3 , Y3 , Z 3 ) в пространстве, координаты которых заданы в системе координат камеры, расположены так, что ни одна пара точек не лежит на одном луче,выходящем из оптического центра камеры и проходящем через одну из указанных точек.
Кроме того, пусть эти три точки не содержатся одновременно ни водной из плоскостей X = const , Y = const , X − αZ = 0 , Y − αZ = 0 , где α – вещественное число. Тогда матрица L s , построенная для проекций этих точек вплоскость изображения, имеет полный ранг.Доказательство. Рассмотрим пару точек P1 ( X 1 , Y1 , Z1 ) и P2 ( X 2 , Y2 , Z 2 ) .
Проекции этих точек в плоскость изображения имеют координаты: x1 =для первой точки и x2 =X1Y, y1 = 1Z1Z1X2Y, y 2 = 2 для второй точки. Если точки P1 и P2 лежатZ2Z2на одном луче, выходящем из оптического центра и проходящем через точку P1 ,то обе точки проектируются в одну и ту же точку в плоскости изображения, тоесть x1 = x2 и y1 = y 2 . Ни в каком другом случае такого совпадения бытьне может.Соответственно, для того чтобы координаты всех трех проекций были различны достаточно, чтобы ни одна пара точек не лежала на луче, построенномуказанным способом. Если при этом точки P1 , P2 и P3 не находятся одновременно в плоскости X − αZ = 0 для некоторого значения α , то проекции этих точекне лежат на одной прямой x = const .
Аналогично, если эти точки не лежат в плоскости Y − αZ = 0 , то их проекции не принадлежат прямой y = const .Наконец, если при этом три точки P1 , P2 и P3 не лежат ни в одной из плоскостей X = const , Y = const , то условия теоремы 5.1 выполнены и матрица L sимеет полный ранг.
■192Теорема5 . 3 . Если четыре точки в пространстве P1 ( X 1 , Y1 , Z1 ) ,P2 ( X 2 , Y2 , Z 2 ) , P3 ( X 3 , Y3 , Z 3 ) и P4 ( X 4 , Y4 , Z 4 ) , координаты которых заданы в системе координат камеры, не лежат в одной плоскости, то ранг матрицы L s , построенной для этих точек равен шести.Доказательство. Проведем четыре луча, каждый из которых выходит изоптического центра камеры и проходит через одну из точек P1 , P2 , P3 или P4 .Обозначим точки пересечения этих лучей с плоскостью изображения ( x1 , y1 ) ,( x 2 , y 2 ) , ( x3 , y 3 ) и ( x 4 , y 4 ) .Предположим сначала, что три точки P1 , P2 и P3 лежат в одной плоскостиX = const .
Тогда точка P4 не может принадлежать этой плоскости. С другой стороны, точки P1 , P2 и P4 также не могут находиться в плоскости Y = const , так какв противном случае совпали бы координаты точек P1 и P2 . Точки P1 и P2 не могут находиться на одном оптическом луче. Предположим, что P1 и P4 лежат наодном луче. Тогда нетрудно убедиться в том, что три точки P2 , P3 и P4 не лежатни в одной из плоскостей X = const , Y = const , X − αZ = 0 , Y − αZ = 0 , где α –вещественное число, а значит удовлетворяют условиям теоремы 5.2. Если же точки P1 и P4 не лежат на одном луче, то набор точек P1 , P2 и P4 не содержится ни водной из указанных плоскостей и удовлетворяет условиям теоремы 5.2. Аналогичные рассуждения справедливы, если какие-либо три точки лежат в плоскостиY = const .Пусть теперь никакие три точки не лежат в одной плоскости.
Если при этомкакая-либо пара точек из набора P1 , P2 , P3 , P4 лежит на одном луче, то соответствующие проекции этих точек совпадают. Предположим, что точки P1 и P2 лежат на одном луче, тогда x1 = x2 и y1 = y 2 . Но, в этом случае точки P3 и P4 не могут находиться на одном оптическом луче, так как в противном случае, все четыре точки лежали бы в одной плоскости. Кроме того, точки P2 , P3 , P4 не могут находится одновременно ни в одной из плоскостейX = const , Y = const ,193X − αZ = 0 , Y − αZ = 0 , где α – вещественное число. Следовательно, точки P2 ,P3 , P4 удовлетворяют условиям теоремы 5.2. ■В дальнейших рассуждениях будем считать, что матрица L s является квадратной размером 6 × 6 , то есть построена для трех точек ( ns = 3 ), и имеет полныйранг равный шести в каждый момент времени при движении камеры в соответствии с законом управления (5.1.16).При этом обеспечивается экспоненциальное убывание ошибки e = s − s d взамкнутой системе (5.1.12b), (5.1.16).
Отметим, что если матрица L s составленадля большего числа точек ns > 3 , то экспоненциальное убывание ошибки в замкнутой системе не гарантируется. При этом гарантируется устойчивость замкнутойсистемы, но в положении равновесия ошибка e может быть ненулевым вектором.5.2. Многоцелевой подход к формированию визуальной обратной связиКак было отмечено выше, в рамках данной главы предлагается применитьдвухэтапный подход к синтезу закона управления. Рассмотрим первый этап –разработку алгоритма управления вида (5.1.17) для плоскости изображения.
Согласно уравнениям (5.1.12b) вектор ошибки e удовлетворяет следующей системе:e& = L s (s, Z c )ν + d c (t ) .(5.2.1)Введем вспомогательную переменную v = L s (s, Z c )ν . Тогда, с учетом (5.2.1),имеемe& = v + d c (t ) .(5.2.2)Для достижения цели (5.1.14) при отсутствии внешних возмущений можноиспользовать простейший пропорциональный регуляторv = −Ke,ν = −L−s1 (s, Z c )K (s − s d ),(5.2.3)где (− K ) – гурвицева матрица с постоянными коэффициентами.
Так как замкнутая система должна обладать свойствами астатизма и фильтрации, то вариантуправления (5.2.3) при наличии возмущения d c (t ) является неприемлемым. В свя-194зи с этим будем формировать закон управления с многоцелевой структурой в следующей форме:z& = v + Hε,ζ = F ( p )ε, p = d / dt ,(5.2.4)v = −Kz + ζ,где ε = e − z – вектор ошибки.Первое уравнение в структуре (5.2.4) представляет собой асимптотическийнаблюдатель. Отметим, что вектор e полностью измеряется, а введение наблюдателя необходимо для обеспечения желаемых динамических свойств замкнутойсистемы. Второе уравнение в системе (5.2.4) является моделью динамическогокорректора (фильтра), которую можно также представить в форме пространствасостоянийp& c = αp c + βε,ζ = γp c + με,(F ( s ) = γ E nc s − α(5.2.5))−1β + μ,где p c – вектор состояния фильтра, α, β, γ , μ – матрицы с постоянными коэффициентами, s – комплексная переменная Лапласа, nc = dim(p c ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
