Диссертация (1145289), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Считая, что матрицаD(ν 0 − ε v 0 ) + C(ν 0 − ε v 0 ) + K d не особая (этого можно добиться за счет выбора матрицы K d ), из последнего уравнения следует, что статическая ошибка e v 0 = ν 0 − ν dбудет нулевой при любом возмущении τ e 0 из рассматриваемого класса тогда итолько тогда, когда выполняется условие:Fv (0)M 21 + (D( ν 0 − ε v 0 ) + C( ν 0 − ε v 0 ) + K d )M11 + R T (ψ 0 )K 1M 21 = 0 .(5.2.43)Решая последнее уравнение, находим условие вида Fv (0) = K ∆ , которомудолжна удовлетворять передаточная матрица корректора для обеспечения свойства астатизма. Заметим, что если условие (5.2.43) выполнено, то приведенноевыше уравнение принимает вид(D(ν 0 − ε v 0 ) + C(ν 0 − ε v 0 ) + K d )e v 0 = ( D(ν d ) − D(ν 0 − ε v 0 ) + C(ν d ) − C(ν 0 − ε v 0 )) ν d ,которое с очевидностью имеет единственное нулевое решение e v 0 = 0 .

Итак, привыполнении условия (5.2.43), замкнутая система (5.1.1), (5.2.29), (5.2.30) обладаетсвойством астатизма. ■Перейдем к вопросу фильтрации возмущений τ e (t ) в канале управления.Обозначим ωiv , i = 1,3 – три основные частоты спектра, на которых должна происходить фильтрация. При этом будем рассматривать задачу фильтрации толькопри движении объекта с постоянной линейной скоростью и нулевой угловой скоростью, так что матрица преобразования координат R (η) остается постоянной.209Предварительно преобразуем выражение для управления τ .

Согласно(5.1.1), (5.2.29) и (5.2.30) имеемMz& v = − D(z v )z v − C(z v )z v + ~τ + R T ( η)K 1 (η − z η ),z& η = R ( η)z v + K 2 (η − z η ),~τ = −K z + F ( s )(η − z ),d vv(5.2.44)ητ = ~τ + g( η) + K d K v ν d .Здесь слагаемое K d K v ν d вынесено как компенсирующая добавка, а в многоцелевой структуре в качестве управления принят сигнал ~τ . Запишем первые триуравнения системы (5.2.44) в матричной форме zv  z& v ε   = A z (z v , η)  + B z ( η) η ,ζ zη  z& η ~τ = C  z v  + D  ε η ,zzζ zη (5.2.45)где M −1R T ( η)K1 M −1  − M −1 ( D(z v ) + C(z v ) + K d ) 0 ,, B z (z v , η) = A z (z v , η) = K0()Rη02C z = (− K d 0), D z = (0 E ), ζ = Fv ( s )ε η .При движении объекта с постоянной скоростью ν = ν 0 , где компоненты поугловым скоростям равны нулю и матрица R (η) остается неизменной, вместоуравнений (5.2.44) рассмотрим многоцелевую структуру следующего видаMz& v = − D( ν 0 )z v − C( ν 0 )z v + ~τ + R T ( η)K 1 (η − z η ),z& η = R ( η)z v + K 2 (η − z η ),~τ = −K z + F ( s )(η − z ).d vv(5.2.46)ηУравнения (5.2.46) приближенно соответствуют исходной системе (5.2.44)при движении объекта с указанной постоянной скоростью.

Заметим, что в этомслучае матрицы A z (z v , η) и B z (z v , η) в уравнениях (5.2.45) можно трактовать какматрицы с нестационарными элементами, изменяющимися в ограниченных пределах, а постоянные матрицы A z ( ν 0 , η0 ) и B z ( ν 0 , η0 ) как их номинальные значе-210ния, соответствующие положению равновесия. Для настройки динамическогокорректора, являющегося частью многоцелевого закона управления (5.2.44), будем использовать линейную стационарную модель (5.2.46).Т е о р е м а 5 . 1 2 . Пусть объект управления (5.1.1) движется с постоянной линейной скоростью и нулевой угловой скоростью.

Тогда для обеспеченияфильтрующего свойства по выходу регулятора с многоцелевой структурой(5.2.44) необходимо, чтобы передаточная матрица корректора Fv (s ) удовлетворяла условиям:Fv ( jωiv ) = − P2−1 ( s, ν 0 , R 0 )P1 ( jωiv , ν 0 , R 0 ) , ωiv , i = 1,3 ,(5.2.47)где матрицы P1 и P2 определяются из равенства−1P ( s, ν 0 , R 0 ) = C z (E 6 s − A z ( ν 0 , R 0 ) ) B z (R 0 ) + D z ≡ (P1 ( s, ν 0 , R 0 ) P2 ( s, ν 0 , R 0 ) ) .Доказательство. Согласно (5.2.33) уравнения ошибки наблюдения в окрестности нулевого положения равновесия имеют вид~~Mε& v = −D(e v )ε v − C(e v )ε v − R T ( η)K 1ε η + τ e (t ),ε& η = R ( η)ε ν − K 2ε η .(5.2.48)Из уравнений (5.2.48) видно, что входное возмущение τ e (t ) непосредственновлияет на величину ошибки оценивания ε η . В связи с этим для обеспеченияфильтрующего свойства найдем связь между вектором ε η , рассматриваемым каквходной сигнал, и управляющим сигналом ~τ .

Согласно уравнениям многоцелевого закона (5.2.46) имеем~τ = P ( s, ν , R ) ε η  ,00ζ(5.2.49)где ν 0 – заданная постоянная скорость, R 0 – постоянное значение матрицы поворота R (η) , соответствующее фиксированной ориентации объекта в пространстве,и передаточная матрица P ( s, ν 0 , R 0 ) задается формулой−1P ( s, ν 0 , R 0 ) = C z (E 6 s − A z ( ν 0 , R 0 ) ) B z (R 0 ) + D z ≡ (P1 ( s, ν 0 , R 0 ) P2 ( s, ν 0 , R 0 ) ) .С учетом выражения для передаточной матрицы P ( s, ν 0 , R 0 ) и уравнения211корректора ζ = Fv ( s )ε η , из уравнения (5.2.49) находим~τ = [P ( s, ν , R ) + P ( s, ν , R )F ( s )]ε .100200vη(5.2.50)Отсюда следует, что если передаточная матрица корректора удовлетворяет условиямFv ( jωiv ) = −P2−1 ( s, ν 0 , R 0 )P1 ( jωiv , ν 0 , R 0 ) , ωiv , i = 1,3 ,то обеспечивается фильтрация входного возмущения τ e (t ) на трех основных частотах ωiv , i = 1,3 .

■Итак, в случае если измеряется только вектор η для подвижного объекта,закон управления видаτ = g ( η) + τ ,(5.2.51)где τ определяется в соответствии с многоцелевой структурой (5.2.29), обеспечивает отработку подвижным объектом (5.1.1) заданной постоянной скорости ν dс учетом требований асимптотической устойчивости в локальной области, астатизма и фильтрации. При этом настройка динамического корректора для обеспечения фильтрации выполняется с использованием вспомогательной системы(5.2.46).5.3.

Визуальное динамическое позиционированиеморского судна и колесного роботаРассмотрим применение теоретических положений, представленных в параграфах 5.1 и 5.2, для решения задач визуального динамического позиционирования морского судна и колесного робота.Математическая модель динамики морского судна в задаче динамическогопозиционированияопределяетсясистемойдифференциальныхуравнений(3.4.19), (3.4.20), приведенной в параграфе 3.4 главы 3.Предполагается, что на борту судна установлена видеокамера. Пользуясьрезультатами параграфа 5.1, запишем уравнения изменения координат наблюдаемых точек на изображении при перемещении морского судна. Заметим, что рас-212сматриваемая модель (3.4.19) описывает динамику судна в горизонтальной плоскости.

При этом вектор скорости содержит три компоненты ν = (u v r ) , а оставшиеся три – равны нулю: ω = p = q = 0 . Тогда с учетом формул (5.1.7) и (5.1.8)имеем: x&   = L( x, y, Z c )ν , y& (5.3.1)где матрица L определяется выражением xZL ( x, y , Z c ) =  c yZ c−1Zc0()− 1+ x2 .− xy (5.3.2)Для задач динамического позиционирования представление наблюдаемогообъекта только одной точкой ведет к определенному недоиспользованию возможностей управления и чаще всего не позволяет добиться желаемого расположения объекта относительно камеры.

В связи с этим будем в дальнейшем рассматривать две точки объекта наблюдения, причем для второй точки будем использовать только одну из ее координат.Рассмотрим векторы s = ( x1y1x2 ) , Z c = (Z c(1)TZ c( 2) ) . Тогда, с учетомTформул (5.3.1), (5.3.2) и (5.1.9) – (5.1.11), получим& c = L z (s, Z c )ν ,s& = L s (s, Z c )ν + d(t ) , Z x1 (1) Zc yгде L s =  (11) Zc x2 Z ( 2) c−1Z c(1)0−1Z c( 2 )(5.3.3)− 1 + x12  − 1 0 x1 Z c(1) .− x1 y1  , L z = ( 2) −10xZ2 c − 1 + x22 ()()В данном случае, при использовании двух наблюдаемых точек, матрица L sв формуле (5.3.3) является квадратной, что гарантирует экспоненциальное убывание ошибки e = s − s d .Рассмотрим сначала синтез закона управления с многоцелевой структурой213(5.2.4), (5.2.5) для плоскости изображения.

При этом настраиваемые параметрымногоцелевой структуры – матрицы K и H базового закона и асимптотическогонаблюдателя, и передаточную матрицу F ( s ) корректора – будем выбирать с учетом требований устойчивости, астатизма и фильтрации. Отметим, что в рассматриваемой задаче внешние возмущения определяются воздействием ветра и морского волнения. В соответствии с результатами, приведенными в теоремах 5.4 –5.6, указанные настраиваемые параметры должны удовлетворять условиям:1) (− K ) , (− H ) и α – гурвицевы матрицы;2) F (0) = −K − H ;3) F ( jωi ) = − P2−1 ( jωi )P1 ( jωi ), i = 1,3 , где ωi , i = 1,3 – три основные частотыспектра морского волнения.В качестве частот настройки динамического корректора примем следующиезначения: ω0 = 0.38 , ω1 = 0.455 , ω2 = 0.53 рад/c.

Для примера матрицы K и H базового закона и асимптотического наблюдателя выберем следующим образом:00 00  0.2 0.2K =  0 0.230  , H =  0 0.25 0 . 0 000.25 00.3 С учетом приведенных выше условий найдем передаточную матрицу F (s) динамического корректора.

При этом для вычислений используется алгоритм, аналогичный приведенному во второй главе.Пусть вектор s d , определяющий желаемое положение наблюдаемого объекта в плоскости изображения, задан координатами: s d = (20 25 30 ) . На рис.T5.3.1 показан переходный процесс для каждой из компонент вектора s при выключенном фильтре и отсутствии внешних возмущений. Как видно из рисунка закон управления обеспечивает достижение заданных значений по компонентамвектора s . При этом длительность переходного процесса составляет примерно 25секунд.214353025s20151050050100150t,сРис.

5.3.1. Переходные процессы по компонентам вектора s .На рисунках 5.3.2 и 5.3.3 иллюстрируется работа динамического корректорапри фильтрации морского волнения со средней частотой спектра ω = 0.455 рад/c.Динамический корректор вначале выключен, а в качестве управления используется базовый закон с асимптотическим наблюдателем. Включение корректора происходит в момент времени t = 500 с.На рис.

5.3.2 показано изменение компонент вектора s , а на рис. 5.3.3 – первая компонента управляющего сигнал ν .353025s2015105002004006008001000t,сРис. 5.3.2. Изменение компонент вектора s при морском волнении.2150.10.05v0-0.05-0.1200400600t,с8001000Рис. 5.3.3.

Первая компонента управляющего сигнала ν .Как видно из рисунков, включение фильтра приводит к существенномуснижению интенсивности управляющего сигнала ν при сохранении качества процессов по компонентам контролируемого вектора s .Рассмотрим теперь математическую модель динамики колесного робота взадаче динамического позиционирования. Данная модель представляется дифференциальными уравнениямиν& = τ + d(t ),η& = R (η)ν,где ν = (u v r ) – вектор скорости робота, η = ( xT(5.3.4)y ψ ) – положение роботаTна горизонтальной плоскости, матрица R (η) определяется формулой (3.4.20) главы 3, d(t ) – внешнее возмущение, которое вызвано воздействием неровностейдороги и влиянием ветра. В первом случае возмущение имеет колебательный характер, а во втором является постоянным или медленно меняющимся.

Характеристики

Список файлов диссертации