Диссертация (1145289), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Будем полагать, что матрица L s является квадратной размером 6 × 6 , то есть она построена для трех точек ( ns = 3 ) и в каждый момент времени имеет полный ранг. Введем вектор ошибки расхождения междужелаемым и действительным положением объекта на изображении e[k ] = s[k ] − s d .Рассмотрим первый этап синтеза – разработку алгоритма управления дляплоскости изображения.
Согласно уравнениям (6.1.3b) для вектора ошибки eсправедливо уравнениеe[k + 1] = e[k ] + TL s (s[k ], Z c [k ])ν[k ] + Td c [k ] .Вводя вспомогательную переменную v[k ] = L s (s[k ], Z c [k ])ν[k ] , имеемe[k + 1] = e[k ] + Tv[k ] + Td c [k ] .(6.1.5)При отсутствии возмущений глобальная асимптотическая устойчивость нулевого положения равновесия системы (6.1.5) обеспечивается простейшим регулятором видаv[k ] = Ke[k ] ,(6.1.6)для которого матрица (E + TK ) – шуровская. Однако, при наличии возмущенийрегулятор (6.1.6) является неприемлемым.
В связи с этим будем формировать закон управления с многоцелевой структурой:z[k + 1] = z[k ] + Tv[k ] + THε[k ],ζ = F (q)ε[k ],(6.1.7)v[k ] = Kz[k ] + ζ[k ],где ε[k ] = e[k ] − z[k ] – вектор ошибки оценивания, q – оператор сдвига на тактвперед. Второе уравнение в (6.1.7) представляет динамический корректор, уравнения которого в пространстве состояний имеют вид230p d [k + 1] = αp d [k ] + βε[k ],ζ[k ] = γp d [k ] + με[k ],(6.1.8)F ( z ) = γ (E n d z − α ) β + μ.−1Здесь p d ∈ E n d – вектор состояния корректора, α, β, γ , μ – матрицы с постояннымикоэффициентами, z – комплексная переменная, появляющаяся в результате выполнения преобразования Лорана.
Многоцелевая структура (6.1.8) содержит настраиваемые параметры K , H, F( z ) , которые требуется выбрать с учетом целиуправления (6.1.4) и требований устойчивости, астатизма и фильтрации.Т е о р е м а 6 . 1 . При отсутствии возмущений нулевое положение равнове-сия замкнутой системы (6.1.5), (6.1.7) глобально асимптотически устойчиво, если матрицы (E − T H ) , (E + T K ) и α – шуровские.Если передаточная матрица динамического корректора F ( z ) удовлетворяет условиюF (1) = K ∆ , K ∆ = K − H ,(6.1.9)то замкнутая система (6.1.5), (6.1.7) обладает свойством астатизма по отношению к вектору e[k ] = s[k ] − s d для любого постоянного возмущения d c [k ] = d c 0 .Для обеспечения фильтрующего свойства по выходу регулятора изображения необходимо, чтобы передаточная матрица F ( z ) удовлетворяла условиям:F (e jωi ) = −P2−1 (e jωi )P1 (e jωi ), i = 1,3 ,(6.1.10)где P1 ( z ) = K (( z − 1)E − TK ) TH , P2 ( z ) = K (( z − 1)E − TK ) T + E , ωi , i = 1,3 – три−1−1основные частоты спектра, на которых должна происходить фильтрация.Доказательство данной теоремы легко провести по схеме, аналогичной доказательствам теорем 5.4 – 5.6 в главе 5.Таким образом, настраиваемые параметры многоцелевой структуры (6.1.7)следует выбирать с учетом выполнения условий (6.1.9), (6.1.10) и требования устойчивости.Теперь обратимся ко второму этапу синтеза – разработке цифрового алгоритма управления, целью которого является обеспечение заданной скорости под-231вижного объекта (6.1.3а), то есть положения равновесия ν = ν d .
Рассмотрим случай, когда вектор скорости ν доступен измерению. Сформируем базовый закон,стабилизирующий заданную скоростьτ[k ] = C( ν[k ])ν[k ] + D( ν[k ])ν[k ] + g( η[k ]) ++ K d ( ν[k ] − ν d [k ]) +1M( ν d [k + 1] − ν d [k ])T(6.1.11)Тогда уравнения замкнутой системы (6.1.3а), (6.1.11) примут видMν[k + 1] = Mν[k ] + TK d ( ν[k ] − ν d [k ]) + M( ν d [k + 1] − ν d [k ]) + Tτ e [k ].(6.1.12)Рассмотрим вектор ошибки e v [k ] = ν[k ] − ν d [k ] , относительно которогоуравнение (6.1.12) запишется в видеMe v [k + 1] = (M + TK d )ev [k ] + Tτ e [k ] .(6.1.13)При отсутствии возмущений система (6.1.13) имеет нулевое положение равновесия, устойчивость которого обеспечивается выбором любой матрицы K d , такойчто матрица (E + T M −1K d ) – шуровская.Закон управления (6.1.11) обеспечивает отработку заданной скорости приотсутствии возмущений.
Но, при наличии постоянного или медленно меняющегося возмущения τ e [k ] = τ 0 возникает статическая ошибка. В связи с этим на основе (6.1.13) представим изменение ошибки в видеMe v [k + 1] = Me v [k ] + Tτ[k ] + Tτ e [k ](6.1.14)и рассмотрим многоцелевую структуру закона управленияMz v [k + 1] = Mz v [k ] + Tτ[k ] + TH v (e v [k ] − z v [k ]),ξ = Fv (q )(e v [k ] − z v [k ]),(6.1.15)τ[k ] = K d z v [k ] + ξ[k ],где q – оператор сдвига на такт вперед, Fv (q ) – передаточная матрица корректора.
Его уравнения в пространстве состояний имеют видp ν [k + 1] = α ν p v [k ] + β ν ε ν [k ],ξ[k ] = γ ν p v [k ] + μ ν ε ν [k ],(6.1.16)где ε v [k ] = e v [k ] − z v [k ] – вектор ошибки оценивания, p v [k] ∈ E nν – вектор состоя-232ния,α ν , βν , γ ν , μν– матрицы с постоянными коэффициентами, причемFv ( z ) = γ v (E nv z − α v ) β v + μ v . Многоцелевая структура (6.1.15) содержит настраи−1ваемые параметры K d , H v , Fv ( z ) , которые требуется выбрать с учетом требований устойчивости, астатизма и фильтрации.Т е о р е м а 6 . 2 . При отсутствии возмущений нулевое положение равновесия замкнутой системы (6.1.14), (6.1.15) глобально асимптотически устойчиводля любых матриц K d и H v , таких что матрицы (E + T M −1K d ) и (E − T M −1H v )– шуровские, и для любой шуровской матрицы α v динамического корректора.Если передаточная матрица динамического корректора Fv (z ) удовлетворяет условиюFv (1) = K v∆ , K v∆ = K d − H v ,(6.1.17)то замкнутая система (6.1.14), (6.1.15) обладает свойством астатизма по отношению к вектору e v [k ] = ν[k ] − ν d [k ] для любого постоянного возмущенияτ e [k ] = τ e0 .Для обеспечения фильтрующего свойства по выходу регулятора с многоцелевой структурой (6.1.15) необходимо, чтобы передаточная матрица корректора Fv (z ) удовлетворяла условиям:( )( ) ( )Fv e jωi = − P2−v1 e jωi P1v e jωi , i = 1,3 ,vv−1v(6.1.18)−1где P1v ( z ) = TK d (( z − 1)M − TK d ) H v , P2v ( z ) = TK d (( z − 1)M − TK d ) + E ,ωiv , i = 1,3 – три основные частоты спектра, на которых должна происходитьфильтрация.Данная теорема доказывается аналогично теоремам 5.7 – 5.9 главы 5.Таким образом, настраиваемые параметры многоцелевого цифрового закона управления (6.1.15) необходимо выбирать с учетом требования асимптотической устойчивости положения равновесия замкнутой системы и выполнения условий (6.1.17), (6.1.18).2336.2.
Цифровое управление с прогнозом для совместной системыконтуров изображения и скоростиНедостатком представленных выше алгоритмов многоцелевого управлениядля задачи визуального позиционирования является то, что в них не учитываютсяограничения на управляющие и контролируемые переменные, которые встречаются во многих прикладных задачах. С другой стороны, эти алгоритмы являютсяэффективными с вычислительной точки зрения, что позволяет использовать их наборту подвижных объектов в режиме реального времени с минимальными требованиями к вычислительным ресурсам.
В связи с этим наибольшая эффективностьих применения достигается для объектов, оснащенных достаточно мощнымиприводами, позволяющими отрабатывать без существенных задержек командныесигналы по скорости, вычисляемые в контуре изображения.Если же объект управления оснащен приводами, которые существенно ограничены по мощности, то это необходимо обязательно учитывать при формировании командных сигналов по скорости.
В противном случае, невозможность отработки заданного сигнала при максимальной мощности управления может привести к существенному ухудшению качества процессов вплоть до потери устойчивости.В связи с этим далее, в качестве одного из возможных подходов, предлагается алгоритм управления с прогнозом для задачи визуального динамическогопозиционирования. Отметим, что данный алгоритм является значительно болеетребовательным к вычислительным ресурсам по сравнению с многоцелевыми законами, описанными выше.Для пояснения основной идеи использования прогнозирующего управленияв задаче визуального позиционирования рассмотрим сначала наиболее простуюситуацию, когда отсутствуют внешние возмущения, действующие на подвижныйи наблюдаемый объекты.
Пусть измеряется вектор скорости ν . Тогда в качествепрогнозирующей модели примем следующую систему разностных уравнений234s[i + 1] = s[i ] + TL s (s[i ], Z c [i ])ν[i ],Zc [i + 1] = Zc [i ] + TL Z (s[i ], Zc [i ])ν[i ],Mν[i + 1] = Mν[i ] + TK d ( ν[i ] − ν d [i ]) + M ( ν d [i + 1] − ν d [i ]),(6.2.1)η[i + 1] = η[i ] + TJ ( η[i ])ν[i ],i = k ,..., k + P − 1.Здесь векторы ν , s , Zc , η образуют вектор состояния прогнозирующей модели.При этом данные векторы в момент времени i = k инициируются текущим состоянием реального объекта: ν[k ] = ν[k ] , Zc [k ] = Z c [k ] , s[k ] = s[k ] и η[k ] = η[k ] .Управление на горизонте прогноза определяется программной последовательноk+Pстью векторов {ν d [i ]}i = k .Как видно из уравнений (6.2.1), прогнозирующая модель включает совместные уравнения динамики подвижного объекта и точек в плоскости изображения. При этом управлением для модели (6.2.1) выступает заданная скорость, дляотработки которой в рассматриваемом случае используется базовый законτ = K d ( ν[i ] − ν d [i ]) +1M ( ν d [i + 1] − ν d [i ]) .TВ соответствии с моделью (6.1.3) и структурой закона управления (6.1.11)введем ограничение на контролируемую переменнуюτ[i ] = C( ν[i ])ν[i ] + D( ν[i ])ν[i ] + g( η[i ]) +1+ K d ( ν[i ] − ν d [i ]) + M( ν d [i + 1] − ν d [i ]).T(6.2.2)Данное ограничение имеет следующий видτ min≤ τ j [i ] ≤ τ max, j = 1, m, i = k + 1,..., k + P ,jj(6.2.3)где m = dim(τ ) , τ min и τ max – векторы, задающие максимально и минимально допустимую величину управляющего воздействия τ для подвижного объекта.
Заметим, что как прогнозирующая модель (6.2.1), так и ограничения (6.2.3) являютсянелинейными.Для характеристики качества процессов управления прогнозирующей моделью на горизонте прогноза введем в рассмотрение функционал235(k+P)PJ k {ν d [i ]}i = k = ∑ ( s[k + i ] − s d ) ( s[k + i ] − s d ) + λν Td [k + i − 1]ν d [k + i − 1] .T(6.2.4)i =1Поставим задачу о минимизации данного функционала на движениях прогнозирующей модели (6.2.1) с учетом ограничений (6.2.3):(k+P)J k {ν d [i ]}i = k → ~ minm ( P +1) .νd ∈Ω ⊂ E(6.2.5)k+PЗдесь ~ν d = {ν d [i ]}i = k – программное управление на горизонте прогноза, а Ω – до-пустимое множество, определяемое ограничениями (6.2.3), то естьΩ = {~ν d ∈ E m ( P +1) | τ min≤ τ j [i ] ≤ τ maxjj , j = 1, m, i = k + 1,..., k + P }.Задача оптимизации (6.2.5) представляет собой задачу нелинейного программирования с размерностью m( P + 1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
