Диссертация (1145289), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

обеспечение равенстваlim ρ(t ) = 0 ,t → +∞(6.4.4)250где ρ(t ) =(x' (t ) − xr' (t ))2 + (y ' (t ) − yr' (t ))2 .В дальнейшем будем считать, что робот должен перемещаться вдоль визуально заданной линии с постоянной по модулю линейной скоростью.Поставим задачу о построении управления, которое обеспечивает условие(6.4.4), т.е. определяет движение робота по визуально заданной линии (6.4.3) (вчастности – по прямой).Идея синтеза заключается в том, чтобы указанная линия в плоскости изображения проходила через точку с координатами (0, hmax ) , где hmax – максимальное значение ординаты в системе координат изображения, т.е. через центральнуюточку внизу экрана. И, более того, направление касательной к визуально заданнойлинии должно совпадать с направлением вектора скорости робота, если отобразить плоскость изображения на горизонтальную плоскость, параллельную плоскости дороги.Рассмотрим вспомогательную виртуальную камеру, расположенную надплоскостью движения робота так, что ее плоскость изображения параллельнаплоскости Ox' y ' .

Будем считать, что с этой камерой связана новая система координат Ow x yz и система координат Ov xv yv для нормированной плоскости изображения. Положение виртуальной камеры относительно системы координат камерыробота определяется вектором параллельного переноса t и матрицей поворота Rследующего вида: 0 1 0 0 t =  − hv , R =  0 0 − 1. z 0 1 0  v Здесь hv и zv – высота и смещение вперед виртуальной камеры относительно камеры робота. Как видно из приведенных формул, оптическая ось Ow z виртуальной камеры направлена вертикально вниз. Следовательно, то изображение, которое получается в плоскости этой камеры, является "видом сверху". Плоскостьдвижения робота в системе координат камеры Or xyz определяется уравнением251n T r + d = 0 , где n = (0 1 0)T , d = − hv , r – радиус-вектор произвольной точкиплоскости.

Тогда координаты соответствующих друг другу точек в плоскостиизображения камеры робота и виртуальной камеры связаны соотношениемx v = Hx ,в котором H = R − t(6.4.5)nT– матрица гомографии [160], а векторы x и x v представdляют однородные координаты точек на изображениях камеры робота и виртуальной камеры соответственно.Компонентывекторовxиобозначимxvследующимобразом:TTx = ( w~x w~y w) , x v = (λx λy λ ) , где λ и w – вещественные параметры. То-гда с учетом формул (6.4.3) и (6.4.5) изображение линии, полученное камерой робота, можно взаимно однозначно отобразить на плоскость виртуальной камеры.Полученное таким образом изображение является "видом сверху" для отслеживаемой линии.

В качестве примера на рис. 6.4.1 приведено изображение одной итой же линии в плоскости камеры робота и виртуальной камеры. В дальнейшемпри разработке алгоритмов управления будем использовать изображение виртуальной камеры.04-0.053.5-0.13-0.15-0.22.5-0.252-0.31.5-0.351-0.40.5-0.45-0.5-1-0.500.510-0.0500.05Рис.

6.4.1. Сопоставление изображений камеры робота (слева)и виртуальной камеры (справа).252Введем следующие обозначения: ex = x , e y = y − hmax – разность междуфактическим положением ( x , y ) нижней точки визуально заданной линии в плоскости изображения виртуальной камеры и желаемым ее положением (0, hmax ) .Отметим, что координата y может отличаться от величины hmax , если рассматриваемая линия не пересекает прямую y = hmax .На основе законов теоретической механики и модели перспективного преобразования выведем уравнения, которые связывают перемещение камеры и изменение ошибок ex , e y .С этой целью рассмотрим систему координат виртуальной камеры, котораяперемещается вместе с камерой робота.

Пусть v и u – проекции вектора линейной скорости виртуальной камеры на оси связанной системы координат Ow x иOw y соответственно, а ω – ее угловая скорость. Тогда с учетом движения виртуальной камеры только в горизонтальной плоскости получаем следующую модельX& = −v + ωY , Y& = −u − ωX , Z& = 0, Z = hv .Здесь(X ,Y , Z )(6.4.6)– координаты произвольной точки, находящейся в плоскостидвижения робота, относительно системы координат виртуальной камеры. Далее,согласно модели перспективного преобразования, имеемx=X XY Y= , y= = .Z hvZ hv(6.4.7)С учетом формул (6.4.6), (6.4.7) получаем модель относительного движениявиртуальной камеры и наблюдаемой точки пространства:vux& = − + ωy , y& = − − ωx.hvhvОтсюда следует, что изменение ошибок ex и e y описывается уравнениями 0&e x   = e& y   − 1 h v−1hv0y  u  v .− x  ω (6.4.8)253Заметим, что проекции линейной скорости виртуальной камеры и компонент линейной скорости самого робота связаны соотношениямиu = −u , v = v , r = ω .(6.4.9)Итак, уравнения (6.4.8) и (6.4.9) будем в дальнейшем рассматривать как модельдля ошибки смещения нижней точки визуально заданной линии от центральнойточки (0, hmax ) в плоскости изображения виртуальной камеры.Обратимся теперь к выводу условия сонаправленности векторов касательной к визуально заданной линии в плоскости изображения виртуальной камеры илинейной скорости робота.

Пусть X = X (s ) , Y = hcam , Z = Z (s ) – параметрические уравнения визуально заданной линии относительно системы координат камеры в текущий момент времени. Тогда направляющий вектор касательной в каждой точке этой кривой равенTa( s ) = ( X& ( s ) 0 Z& ( s ) ) .Тогда направление касательной в каждой точке кривой относительно системыкоординат виртуальной камеры определяется по формулеa v ( s ) = Ra( s ) ,в которой R – приведенная выше матрица поворота.

Введем угол θθ = arctg (− a2 / a1 ) .Здесь a1 и a2 – первая и вторая компоненты вектора a v . Нетрудно убедиться втом, что угол θ определяет направление касательной к визуально заданной линиив плоскости виртуальной камеры. Причем этот угол отсчитывается от направления оси Ow x против часовой стрелки. Заметим, что угол θ равен π / 2 , если направление касательной совпадает с направлением вектора линейной скоростидвижения робота. В связи с этим введем величину ошибки расхождения междунаправлением скорости и направлением касательнойeθ = π 2 − θ .(6.4.10)Объединяя формулы (6.4.8) и (6.4.10), получаем уравнения, которые описываютотклонение нижней точки наблюдаемой кривой от центра экрана и разность меж-254ду направлениями касательной и скорости робота:e& = L(e) v ,(6.4.11)где 0 ex   1e =  ey  , L =  −he  v θ 0−1hv00e y + hmax − ex  ,−1 u  v = v . ω В соответствии с методом, предложенным в [98], будем формироватьуправление таким образом, чтобы обеспечить экспоненциальное убывание ошибки расхождения между фактическим и желаемым положениями визуально заданной линии, по формулеv = −µL−1e ,(6.4.12)где µ > 0 – вещественное число, характеризующее скорость убывания нормы вектора ошибки.

В результате уравнения замкнутой системы (6.4.11), (6.4.12) примутвид: e& = −µe .Вектор скорости v = v* , определяемый по формуле (6.4.12), можно рассматривать в качестве задающего сигнала, подлежащего отработке при помощиуправляющего воздействия τ модели (3.4.5). Многоцелевой закон управления(5.2.29), описанный в параграфе 5.2, в данном случае сводится к следующей системе уравненийz& v = τ + R T ( η)K1 ( η − z η ),z& η = R ( η)z v + K 2 ( η − z η ),(6.4.13)τ = −K d (z v − ν* ) + Fv ( p )( η − z η ).Векторы заданных скоростей v* и ν * связаны равенством (6.4.9). Сравнивая законы управления (5.3.7) и (6.4.13), заметим, что второй является частным случаемпервого.

Соответственно, здесь справедливы полученные в главе 5 результаты. Вчастности, устойчивость положения равновесия замкнутой системы (5.3.4),255(6.4.13) обеспечивается, если матрицы K d и α v гурвицевы, а матрицы K 1 и K 2являются положительно определенными и имеют диагональную структуру. Условие астатизма (5.3.10) принимает видFv (0) = K ∆ , где K ∆ = −K d M11M −211 − R T (ψ 0 )K1 ,−1M12   0R T (ψ 0 )K 1 M .

Наконец, для обеспечения фильтпричем  11= MMψ−RK() 2122  02рации внешних возмущений в канале управления передаточная матрица корректора Fv ( s ) должна удовлетворять условиям (5.3.17), а ее поиск осуществляется всоответствии с теоремой 5.13 и изложенным в параграфе 5.3 алгоритмом.Рассмотрим пример имитационного моделирования разработанных алгоритмов управления для случая, когда визуально заданная линия представляет собой прямую линию. Примем следующие значения параметров алгоритма управления: µ = 10 , hv = 5 , zv = 20 . Пусть прямая в начальный момент времени в системе координат камеры описывается уравнениямиZ ( s ) = s, X ( s ) = 1 .Как видно из рис. 6.4.2, на котором показана динамика компонент вектораошибки ex и e y , нижняя точка визуально заданной линии на изображении устанавливается в центр, т.е.

в точку с координатами (0, hmax ) примерно за 2 с.На рис. 6.4.3, для сравнения, приведены заданная относительно мировойсистемы координат прямая линия, по которой должен двигаться робот, и фактический путь робота при движении с использованием алгоритма управления(6.4.12), (6.4.13). Из рисунка видно, что данный алгоритм обеспечивает следование робота вдоль заданного пути.0.050.010.0400.03-0.01eyex2560.02-0.020.01-0.030-0.04-0.0105-0.05010t, c510t, cРис. 6.4.2.

Изменение ошибок ex и e y при движении робота.1given pathrobot trajectoryy'0.80.60.40.20024681012x'Рис. 6.4.3. Фактический путь и заданная линия движения на плоскости.257ГЛАВА 7. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО СИНТЕЗАМОРСКИХ АВТОПИЛОТОВВ данной главе представлена теория и алгоритмы практического расчетазаконов автоматического управления курсом морских судов. В качестве базовойосновы принята идеология многоцелевого управления со специальной структуройобратной связи, детально рассмотренной в главе 1, которая позволяет декомпозировать общую задачу синтеза на отдельные задачи поиска настраиваемых элементов структуры.В данной главе основное внимание уделяется вопросам алгоритмической ипрограммной поддержки процесса синтеза настраиваемых элементов для законовуправления с многоцелевой структурой.

При этом указанная поддержка априорноориентирована на бортовое применение в режиме реального времени без непосредственного участия человека-оператора. Предлагаются такие методы практического расчета моделей варьируемых элементов, которые допускают полностьюавтоматическую реализацию, что обеспечивает возможность адаптивной перенастройки обратной связи в зависимости от конкретных условий функционирования системы управления движением.Для иллюстрации работоспособности и эффективности разработанногоподхода, приводятся содержательные примеры синтеза.7.1. Задачи автоматического синтеза многоцелевыхзаконов управленияПри рассмотрении вопросов стабилизации движения морского судна по заданному курсу, как и в подразделе 2.4 главы 2, будем представлять математическую модель объекта управления в виде LTI-системыx[k + 1] = Ax[k ] + bδ[k ] + hd [k ],δ[k + 1] = Tu[k ] + δ[k ], y[k ] = cx[k ],(7.1.1)где отклонение рулей δ , управляющий сигнал u , внешнее воздействие d и регу-258лируемая переменная y (угол курса) являются скалярными величинами.

Здесь,как и ранее, x ∈ E n – вектор состояния, A , b , h и c – заданные матрицы с постоянными компонентами: a11A =  a21 0a12a22T0 h1  b1   0  , b =  b2  , h =  h2  , c = (0 0 1) .001   T = const – период дискретизации по времени.Далее будем рассматривать законы цифрового управления с многоцелевойструктурой, имеющие видz[k + 1] = Az[k ] + bδ[k ] + g( y[k ] − cz[k ]),u[k ] = μ(z[k + 1] − z[k ]) + ν y[k ] + ξ[k ],(7.1.2)ξ[k ] = F * (q )( y[k ] − cz[k ]),что может быть представлено в эквивалентной формеz[k + 1] = Az[k ] + bδ[k ] + g ( y[k ] − cz[k ]),u[k ] = kz[k ] + k0δ[k ] + ν y[k ] + ξ[k ],(7.1.3)ξ[k ] = F * (q )( y[k ] − cz[k ]).Здесь k = μ( A − E − gc) , k 0 = μb , ν = μg + ν , g – вектор коэффициентов наблюдателя, μ и ν – коэффициенты базового скоростного законаu[k ] = μ( x[k + 1] − x[k ]) + ν y[k ](7.1.4)управления по состоянию, F * – передаточная функция динамического корректора. Напомним, что указанный скоростной закон управления приводится к эквивалентному позиционному базовому законуu[k ] = kx[k ] + k 0 δ[k ] ,(7.1.5)~~где k = k + νc , k = μ ( A − E) .В соответствии со свойствами многоцелевой структуры, вектор g долженбыть таким, чтобы матрица A − gc была шуровской, а выбор вектора μ и числа νAb – таким, чтобы была шуровской матрица A c =  базовой замкнутой Tk Tk0 + 1259системы.

Характеристики

Список файлов диссертации