Диссертация (1145289), страница 44
Текст из файла (страница 44)
чтобы имело место тождество∆ g ( z ) ≡ ( z + ρ) 3 ≡ z 3 + 3ρz 2 + 3ρ 2 z + ρ 3 .(7.3.5)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной z , получим алгебраическую систему, решение которой приводит к следующим формулам для вычисления коэффициентов наблюдателя с биномиальным законом распределения корней:g 3 = 3ρ + s1 + 1, g 2 = (3ρ2 − s2 + ( g 3 − 1) s1 ) T ,g1 = [ρ3 − ( g3 − 1)s2 + Ta11g 2 )]/ Ta21(7.3.6)Применение формул (7.3.6) при любом вещественном ρ : ρ < 1 гарантируютустойчивость наблюдателя, т.е. выполнение первого требования к вектору g .Для выполнения второго требования, прежде всего, необходимо ввести врассмотрение вполне определенное тестовое возмущение ступенчатого характера.В качестве такового будем использовать постоянную внешнюю силу и внешниймомент, компенсация которых, независимо от скорости хода, требует отклонениярулей δ = δ st = 10o .280Для их нахождения рассмотрим линейные уравнения судна, движущегосяпо заданному курсу:x1[k + 1] = a11 x1[k ] + a12 x2 [k ] + b1δ[k ] + F ,x2 [k + 1] = a21 x1[k ] + a22 x2 [k ] + b2 δ[k ] + M ,(7.3.7)x3[k + 1] = Tx2 [k ] + x3[k ],где F = h1d 0 – постоянная внешняя сила, а M = h2 d 0 – постоянный внешний момент, действующий на судно.В статике система (7.3.7) примет вид(a11 − 1) x1 + b1δ + F = 0,a21 x1 + b2δ + M = 0,откуда имеем формулу, определяющую компенсирующее положение руляδc = c1M + c2 F , c1 = − (a11 − 1) ( (a11 − 1)b2 − a21b1 ) ,c2 = a21 ( (a11 − 1)b2 − a21b1 ) .Далее будем считать, что единый источник возмущения d нормирован таким образом, что можно принять h1 = 1 , h2 = L / 2 , где L – длина корпуса судна.
Тогдаимеемδ c = c1L2c + Lc1d 0 + c2 d 0 = 2d0 ,22откуда непосредственно следует формула для возмущения, обеспечивающего желаемое компенсирующее отклонение δ st руля:d0 s =22δ (a b − a21b1 − b2 )δ st = st 11 2.2a21 − L(a11 − 1)2c2 + Lc1(7.3.8)Теперь, полагая, что на замкнутую систему (7.3.3), (7.3.4) с коэффициентами наблюдателя (7.3.6) действует ступенчатое возмущениеd = {d [k ]}, d [k ] = d 0 s ⋅1[k ] ,(7.3.9)на её движениях определим функционалJ m = J m (ρ) = max ϕ[k , ρ] ,k ∈[ 0 ,T p ](7.3.10)определяющий максимальное отклонение от заданного курса в процессе его аста-281тической стабилизации, где T p – длительность процесса.При этом второе требование к динамическому качеству наблюдателя можносформулировать в виде соотношенияJ m = J m (ρ) ≤ J m 0 ,(7.3.11)где J m 0 – заданное допустимое отклонение от курса, выполнение которого можнообеспечить соответствующим выбором параметра ρ .И, наконец, для математической формализации и обеспечения третьего требования, связанного с движением на волнении, введем в рассмотрение тестовоегармоническое возмущение заданной частоты ω0 .Сделаем это так, чтобы породить внешнюю силу и внешний момент, которые, независимо от скорости хода, определяют вынужденные колебания по курсус амплитудой Aϕ = 1.3o для объекта без обратной связи.
С этой целью рассмотримлинейные уравнения (7.3.7) объекта при условии δ[k ] ≡ 0 , учитывая указанныеранееравенстваF = h1d ,M = h2 d ,h1 = 1 ,h2 = c = L / 2иполагаяd = {d [k ]}, d [k ] = A sin ω0 k .Для системы (7.3.7) найдем передаточную функцию Fdω ( z ) от возмущенияd к угловой скорости ω = x2 :Fdω ( z ) =cz + a2(7.3.12)2z + a1 z + a0где a0 = a11a 22 − a12 a 21 , a1 = −(a11 + a 22 ) , a 2 = a 21 − a11c .В соответствии с формулой (7.3.12) и с третьим уравнением в (7.3.7), находимамплитудувынужденныхколебанийпокурсуAϕ = Amc ,mc = T Fdω (e jω 0 ) e jω 0 − 1 . Тогда искомым тестовым возмущением будет функцияd = {d [k ]} , гдеd [k ] = A f sin ω0 k , A f = Aϕ mc , mc = TFdω (eejω0jω0−1).(7.3.13)Теперь, полагая, что на замкнутую систему (7.3.3), (7.3.4) с коэффициента-282минаблюдателя(7.3.6)действуютгармоническиевозмущенияd = {d [k ]}, d [k ] = A f sin ωk различных частот в диапазоне [ω01 , ω02 ] с одинаковыми амплитудами A f (7.3.13), на её движениях зададим функционалω02Aδe = Aδe (ρ) =∫ A (ω, ρ) dω ,δ(7.3.14)ω01значение которого при заданном параметре ρ определяет интенсивность управления при стабилизации в условиях волнения.
Здесь Aδ (ω, ρ) = Fdδ (e jω , ρ) , Fdδ (z )– передаточная функция замкнутой линейной части системы (7.3.3), (7.3.4).Тогда третье требование к динамическому качеству наблюдателя можносформулировать в виде неравенстваAδe = Aδe (ρ) ≤ Aδ 0 ,(7.3.15)где Aδ 0 – заданная допустимая интенсивность. Выполнение соотношения (7.3.15)может быть обеспечено выбором параметра ρ : ρ < 1 .Итак, для настройки асимптотического наблюдателя с заданными коэффициентами (7.3.6) в составе астатического стабилизирующего закона управления(7.3.4), необходимо найти такое значение параметра ρ : ρ < 1 , определяющегостепень устойчивости наблюдателя, для которого будут выполнены неравенства(7.3.11) и (7.3.15).Заметим, что выбор указанного параметра имеет смысл осуществлять наконечном отрезке ℜ = [ρi1 , ρ i 2 ] вещественной положительной полуоси. Здесь величина верхнего предела, учитывая приближенную связь T p = − 3 ln ρ временипереходного процесса со степенью устойчивости, определяется простым соотношением ρi 2 = e−3 / t 2для второго момента t 2 переключения, указанного в предше-ствующем параграфе.
Если величина ρ будет больше этого значения, наблюдатель будет затягивать время переходного процесса в замкнутой системе. При этомвеличину нижнего предела, как показывают эксперименты, разумно принять втри раза меньшей: ρi1 = ρi 2 / 3 .283Теперь обратим внимание на то обстоятельство, что величина Aδ 0 в неравенстве (7.3.15) обычно заранее не известна. В связи с этим, разумно сформировать следующую оптимизационную задачу, отражающую стремление к одновременной минимизации и максимального отклонения и интенсивности управления:Aδe = Aδe (ρ) → min .(7.3.16)ρ∈Ω ρЗдесь допустимое множество значений параметра имеет видΩ ρ = {ρ ∈ [ρ i1 , ρ i 2 ] : J m (ρ) ≤ J m 0 } .(7.3.17)При этом можно принять J m 0 = 1.5ϕ max , где ϕ max = max ϕ[k ] , ϕ[k ] – отсчетыk∈[ 0, 5t2 ]процесса отработки ступенчатого возмущения (7.3.9) для объекта (7.3.3), замкнутого базовым регулятором (7.3.1) по состоянию.Рис.
7.3.1. Пример графиков функций Aδe (ρ) и J m (ρ) .На рис. 7.3.1 в качестве примера приведены графики функций Aδe (ρ) иJ m (ρ) для морского судна водоизмещением 4000 т, движущегося со скоростью 15м/с. В общем случае первая из них возрастает на указанном отрезке ℜ = [ρi1 , ρ i 2 ] ,хотя может иметь там локальный минимум, а вторая функция строго монотонноубывает.Решение задачи (7.3.16) легко получить перебором на конечной сетке значений параметров, принадлежащих отрезку ℜ = [ρi1 , ρ i 2 ] .На базе представленных выше соображений можно построить вычисли-284тельную схему синтеза асимптотического наблюдателя для обратной связи (7.3.4)с многоцелевой структурой.
Как и для базового регулятора, эта схема предполагает реализацию полностью в автоматическом режиме без вмешательства человека-оператора.Алгоритм7.3.1.Автоматическийсинтезасимптотическогонаблюдателя1. Выполнить нормировку внешних возмущений, определяющую стандартную реакцию на них по динамическим переменным.Нормированноеступенчатоевозмущениеимеетвидd = {d [k ]}, d [k ] = d 0 s ⋅1[k ] , где число d 0 s вычислить по формуле (7.3.8).Нормированноегармоническоевозмущениеимеетвидd = {d [k ]}, d [k ] = A f sin ω0 k , где амплитуду A f вычислить по формулам (7.3.12) и(7.3.13).2. Реализовать цикл вычислений, параметром которого служит степень устойчивости ρ наблюдателя, причем этот параметр возрастает с постоянным шагом на отрезке ρ ∈ [ρin , ρ st ] , где ρ st = e−3 / t 2, ρin = ρ st / 3 , t2 – это второй момент пе-реключения базового управления.
Для каждого текущего значения ρ выполнитьследующие действия:2.1. По формулам (7.3.6) найти коэффициенты g1, g 2 , g 3 асимптотическогонаблюдателяz1[k + 1] = a11z1[k ] + a12 z2 [k ] + b1δ[k ] + g1 ( y[k ] − z3[k ]),z2 [k + 1] = a21 z1[k ] + a22 z2 [k ] + b2δ[k ] + g 2 ( y[k ] − z3[k ]),(7.3.18)z3[k + 1] = Tz2[k ] + z3[k ] + g3 ( y[k ] − z3[k ]),обеспечивающие биномиальное распределение корней его характеристическогополинома ∆ g ( z ) ≡ ( z + ρ)3 .2.2. Найти решение уравнений замкнутой системы (7.3.3), (7.3.4) с найденными значениями (7.3.6) компонент вектора g = ( g1g2g 3 ) на отрезке времеTни k ∈ [0, Tp ] .
Начальные условия по векторам x и z взять нулевыми, а в качестве285возмущенияпринятьнормированноеступенчатоевоздействиеd = {d [k ]}, d [k ] = d 0 s ⋅1[k ] .2.3. В ходе построения решения вычислить значение функционалаJ m = J m (ρ) = max ϕ[k , ρ] , т.е. максимальное отклонение от заданного курса приk ∈[ 0 ,T p ]фиксированной величине ρ .2.4. Вычислить значение функционала Aδe = Aδe (ρ) =ω02∫ Aδ (ω, ρ) dω , опреде-ω01ляющего интенсивность работы управления при заданном значении ρ . Здесьω ∈ [ω01 , ω02 ] – контролируемый диапазон частот, Aδ (ω, ρ) = Fdδ (e jω , ρ) , Fdδ (z ) –передаточная функция замкнутой линейной части системы (7.3.3), (7.3.4).2.5. Вычислить значение ρ = ρ2 , для которого интенсивность управленияAδe (ρ) достигает своего минимального значения при условии ограниченностифункционала J m (ρ) , т.е.
найти точкуρ2 = arg min Aδe (ρ) ,(7.3.19)ρ∈Ω ρгде допустимое множество значений параметра имеет видΩρ = {ρ ∈ [ρin , ρst ] : J m (ρ) ≤ J m 0 } .(7.3.20)3. Для найденного значения ρ = ρ2 по формулам (7.3.6) вычислить искомыекоэффициенты наблюдателя, т.е. сформировать вектор g = ( g1g2g3 ) .TПриведенные шаги алгоритма синтеза повторяются для следующих скоростей: V = {2.5 3.25 4.0 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0} м/с. Полученные данные сохраняются в памяти и далее линейно интерполируются для вычисления коэффициентовпри любой скорости хода судна.7.4. Автоматический синтез динамического корректораПосле настройки асимптотического наблюдателя в составе многоцелевойструктуры закона управления следующим этапом автоматического синтеза явля-286ется формирование корректирующего устройства, предназначенного для работысистемы управления судном при наличии морского волнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
