Диссертация (1145289), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Как и ранее, модель динамики судна примем в видеx[k + 1] = Ax[k ] + bf δ (δ[k ]) + hd [k ],δ[k + 1] = Tf u (u[k ]) + δ[k ], y[k ] = cx[k ], a11A =  a21 0a12a22T(7.4.1)0 b1  0  , b =  b2  , c = (0 0 1) .01  Для стабилизации объекта (7.4.1) будем использовать закон управления смногоцелевой структуройz[k + 1] = Az[k ] + bδ[k ] + g( y[k ] − cz[k ]),u[k ] = μ(z[k + 1] − z[k ]) + ν y[k ] + ξ[k ],(7.4.2)ξ[k ] = F * (q )( y[k ] − cz[k ]).Будем считать, что параметры μ и ν базового закона управления, а также векторg коэффициентов наблюдателя найдены указанными выше методами.В состав регулятора (7.4.2) в данном случае включен динамический корректор, уравнения которого можно записать в пространстве состояний:p[k + 1] = αp[k ] + β( y[k ] − cz[k ]),ξ[k ] = γp[k ] + ε( y[k ] − cz[k ]),(7.4.3)где p ∈ E n1 – вектор состояния, α, β, γ –матрицы с постоянными компонентами,которые совместно с числом ε удовлетворяют тождествуγ (Ez − α ) −1 β + ε ≡ F * ( z ) ,(7.4.4)где F * ( z ) – передаточная функция корректора.Задача настройки корректора состоит в поиске такой передаточной функции F * ( z ) или таких матриц α, β, γ и числа ε , связанных с ней соотношением(7.4.4), чтобы выполнялись следующие требования:1.

Матрица α , а следовательно – и знаменатель функции F * ( z ) , должныбыть шуровскими, т.е. динамический корректор, в соответствии с теоремой 1.1,287должен быть асимптотически устойчивым.2. Для поддержки астатизма замкнутой системы по курсу при включенномкорректоре должно выполняться условие F * (1) = 0 или F * ( z ) ≡ F ( z ) ⋅ ( z − 1) в соответствии с результатами, приведенными в [25].3. Для передаточной функции H yδ (z ) замкнутой системы (7.4.1), (7.4.2) влинейном варианте (при отсутствии ограничений на рули) от измеряемой переменной y к отклонению рулей δ должно выполняться условие настройки на заданную частоту ω0 волненияH yδ (e jω0 ) = r + jq ,(7.4.5)где r и q – заданные вещественные числа.4.Придействииступенчатоговнешнеговозмущенияd = {d [k ]}, d [k ] = d 0 ⋅1[k ] максимальное отклонение по курсу для замкнутой системы (7.4.1), (7.4.2) не должно превышать заданную величину, что определяетхорошую динамику на низких частотах.5.

При действии гармонических возмущений d = {d [k ]} d [k ] = Ad sin ωk счастотами в заданном диапазоне ω ∈ [ω01 , ω02 ] амплитуда отклонения рулейдолжна быть как можно меньшей, что позволяет учитывать реальный спектр морского волнения при настройке корректора.Покажем, что желаемую настройку корректораξ[k ] = F * ( z )( y[k ] − cz[k ])(7.4.6)можно обеспечить с помощью передаточной функцииF * ( z ) = Q ( z ) Φ ( z ) , Q ( z ) = ( z − 1)(µ 01 z + µ 0 ), Φ ( z ) = z 2 + ϕ1 z + ϕ 0 .(7.4.7)Легко видеть, что для этой функции справедливо F * (1) = 0 , что свидетельствует о сохранении астатизма при включении корректора (7.4.6) в многоцелевуюструктуру, т.е.

о выполнении требования 2.Для выполнения требования 1 зададим вещественное число ρ и сформируем знаменатель Φ (z ) в (7.4.7) по формуле288Φ ( z ) = z 2 + ϕ1 z + ϕ0 ≡ ( z + ρ) 2 , т.е. ϕ0 = ρ 2 , ϕ1 = 2ρ .(7.4.8)Очевидно, что требование 1 устойчивости корректора будет выполнено при любом вещественном ρ : ρ < 1 .Теперь обратимся к требованию 3. Будем считать, что найдено комплексноечисло F * (e jω0 ) = α 0 + jβ0 , определяющее реакцию корректора на частоте настройки, такое, что для замкнутой системы с включенным корректором выполняется равенство (7.4.5).Тогда, учитывая, что комплексное число F * (e jω0 ) нам известно, введемследующие обозначения:α = Re[Φ (eТогда(µ01e jω0изjω0) F * (ejω0условия) (ejω0Q (e− 1)], β = Im[Φ (ejω0) Φ (ejω0jω0) = F * (e) F * (ejω0)jω0) (ejω0следует− 1)]. (7.4.9)равенство+ µ 0 ) = α + jβ , из которого непосредственно имеем выражения для нахож-дения вещественных коэффициентов полинома Q ( z ) :µ 01 = β sin ω0 , µ 0 = α − µ 01 cos ω0 .(7.4.10)Таким образом, все коэффициенты передаточной функции F * ( z ) рассматриваемого фильтра второго порядка (7.4.7) однозначно вычисляются по формулам (7.4.8) – (7.4.10).Теперь представим уравнение (7.4.6) корректора в форме пространства состояний:p1[k + 1] = p2 [k ] + ν1 ( y[k ] − cz[k ]),p2 [k + 1] = −ϕ0 p1[k ] − ϕ1 p2 [k ] + ν 2 ( y[k ] − cz[k ]),(7.4.11)ξ[k ] = p2 [k ] + ν 3 ( y[k ] − cz[k ]),определяя неизвестные коэффициенты ν1 , ν 2 и ν 3 .

Передаточная функция Fζξсистемы (7.4.11) от входа ζ = y − cz к выходу ξ имеет видFζξ ( z ) = [ν 2 z − ν1ϕ0 + ν 3Φ ( z )] Φ ( z ) .Тогда из тождества Fζξ ( z ) ≡ F * ( z ) ≡ Q ( z ) / Φ ( z ) получаем289ν 2 z − ν1ϕ0 + ν 3 z 2 + ν 3ϕ1 z + ν 3ϕ0 ≡ µ 01 z 2 + (µ 0 − µ 01 ) z − µ 0 ,откуда следуют формулы для нахождения искомых величин:ν 3 = µ 01 , ν 2 = µ 0 − µ 01 − ν 3ϕ1 , ν1 = ( µ 0 + ν 3ϕ0 ) ϕ0 .(7.4.12)Итак, динамический корректор, удовлетворяющий перечисленным требованиям и подлежащий реализации на борту, описывается уравнениями (7.4.11) сучетом (7.4.8) – (7.4.10) и (7.4.12).Теперь обратимся к вопросу о поиске комплексного числа F * (ejω0) , опре-деляющего реакцию корректора на частоте настройки.

Это число должно бытьтаким, чтобы для замкнутой системы с включенным корректором выполнялосьравенство (7.4.5). Нетрудно убедиться в том, что для его вычисления может бытьнепосредственно применена формула (2.2.9) из главы 2. С учетом рассматриваемой частной ситуации эта формула весьма существенно упрощается, что позволяет легко применять ее на борту в режиме автоматических вычислений.Итак, при любом заданном числе ρ : ρ < 1 первые три требования, которымподчиняется настройка корректора, оказываются выполненными.Выполнение требований 4 и 5, как и при настройке асимптотического наблюдателя, можно обеспечить за счет выбора указанного числа ρ : ρ < 1 , определяющего степень устойчивости корректора.Для постановки соответствующей задачи на движениях замкнутой системы(7.4.1), (7.4.2) с настроенным корректором при воздействии ступенчатого возмущенияd = {d [k ]}, d [k ] = d 0 ⋅1[k ] ,(7.4.13)J m = J m (ρ) = max y (k , ρ) ,(7.4.14)зададим функционалk ∈[ 0,T p ]определяющий максимальное отклонение от заданного курса.Тогда требование 4 приводит к соотношению290J m = J m (ρ) ≤ J mk ,(7.4.15)где J mk = 2.5 J ma – заданное число.

Обратим внимание на то, что это число связано с максимальным отклонением J ma при выключенном корректоре. Это отражает тот факт, что включение корректора, увеличивает отклонение от курса, а неравенство (7.4.15) ограничивает это увеличение.Заметим, что в рамках этого ограничения выбор ρ не является единственным, что позволяет дополнительно выполнить требование 5.С этой целью полагая, что на замкнутую систему (7.4.1), (7.4.2) действуютгармонические возмущения d = {d [k ]} d [k ] = Ad sin ωk различных частот в диапазоне [ω01 , ω02 ] (здесь ω01 < ω0 < ω02 ) с одинаковыми нормированными амплитудами A f , на её движениях зададим функционалω02Aδe = Aδe (ρ) =∫ A (ω, ρ) dω ,δ(7.4.16)ω01значение которого при заданном параметре ρ определяет интенсивность управления при стабилизации в условиях волнения.Тогда полный комплекс требований к настройке динамического корректораможет быть формализован следующим образом:1.

При любом выборе параметра ρ в (7.4.8) должно выполняться условие(7.4.5), что достигается с использованием формул (7.4.9), (7.4.10).2. Величина функционала (7.4.16), должна быть минимальной в пределахвыполнения ограничения (7.4.15):Aδe = Aδe (ρ) → min .ρ∈Ω ρ(7.4.17)Здесь допустимое множество значений параметра ρ имеет видΩ ρ = {ρ ∈ [ρ k1 , ρ k 2 ] : J m (ρ) ≤ J mk } .(7.4.18)Заметим, что выбор указанного параметра имеет смысл осуществлять на конечном отрезке ℜ = [ρ k1 , ρ k 2 ] вещественной положительной полуоси.Эксперименты показывают, что величина верхнего предела здесь связыва-291ется простым соотношением ρ k 2 = 0.8ρ n со степенью устойчивости ρ n наблюдателя. Если величина ρ будет больше этого значения, корректор будет затягиватьвремя переходного процесса.

При этом величину нижнего предела, разумно принять в пять раз меньшей, чем ρ n .Подводя итог проведенных рассуждений и построений, сформируем вычислительную схему настройки динамического корректора, удовлетворяющегоуказанным выше трем требованиям: устойчивости, астатизма и желаемой реакциина частоте ω0 .В качестве исходных данных принимаются коэффициенты линейной модели, коэффициенты µ i (i = 1,3) и ν базового скоростного закона управления, компоненты g i (i = 1,3) матрицы наблюдателя, частота настройки ω0 и комплексноечисло H yδ ( jω0 ) = r + jq , значение которого определяется в зависимости от режима работы корректора.Алгоритм 7.4.1.

Автоматический синтез динамического корректора1. Осуществить нормировку внешних воздействий по формулам (7.3.8) и(7.3.13), исходя из тех же соображений, которые были использованы в рамках алгоритма 7.3.1 синтеза наблюдателя.2. Для заданного комплексного числа H yδ (e jω ) = r + jq по формуле (2.2.9)0определить комплексное число F * (ejω0) , обеспечивающее настройку на заданнуючастоту.3. Реализовать цикл вычислений с параметром ρ (степень устойчивостикорректора), причем этот параметр возрастает с постоянным шагом на отрезкеρ ∈ [ρin , ρ st ] , где ρ st = 0.8ρ n , ρ in = 0.2ρ n , ρ n – степень устойчивости синтезиро-ванного наблюдателя.Для каждого значения ρ выполнить следующие действия:3.1. Определить знаменатель Φ ( z ) передаточной функции корректора поформулам (7.4.8) и вычислить комплексное число Φ (ejω0).2923.2. По формуле (7.4.9) найти комплексное число α + jβ , а по формулам(7.4.10) определить коэффициенты µ 01 и µ 0 числителя передаточной функциинастроенного корректора, которая имеет видF * ( z) =Q ( z ) ( z − 1)(µ 01 z + µ 0 )=.2Φ( z )z + ϕ1 z + ϕ0(7.4.19)3.3.

Характеристики

Список файлов диссертации