Диссертация (1145289), страница 49
Текст из файла (страница 49)
То-312гда в качестве варьируемых переменных для задачи конечномерной оптимизациипринимаются следующие величины:1. Группа переменных, определяющая траекторию движения (ϕi , Si ) ,i ∈1, p . Отметим, что число независимых переменных здесь равно 2 ⋅ ( p − 1) , поскольку длина и курсовой угол последнего участка однозначно определяются положением предпоследней точки M p . Введем в рассмотрение вектор переменныхr = {(ϕ1 , S1 ), (ϕ2 , S 2 ), ... , (ϕ p , S p )}∈ E 2 p ,задающих траекторию движения, которую будем обозначать γ (r ) , определяя еенепосредственную зависимость от выбора вектора r . Траектория γ (r ) состоит измножества точек (ψ, λ ) , принадлежащих кривой, состоящей из участков, зависимых от вектора r . Будем считать, что точки A(ψ 0 , λ 0 ) и B(ψ1 , λ1 ) принадлежаттраектории γ (r ) для любого r .2.
Переменные, определяющие величину заданной скорости на каждом участке траектории Vi , i ∈1, p . Введем вектор переменных, определяющих скоростьдвижения по траекторииv = (V1 , V2 ,..., V p ) ∈ E p .Заданная пара совместно рассматриваемых векторов r и v однозначно определяет маршрут движения судна.В дальнейшем будем различать заданную и фактическую скорости судна.Заданная скорость отражает пожелания судоводителя, реализуемые через однозначную связь с оборотами винта, и соответствует скорости хода судна на тихойводе.
Фактическая скорость зависит от заданной скорости, однако не равна ей,поскольку на движение влияют внешние факторы, определяемые влиянием окружающей среды. Фактическая скорость удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений, которую можно трактовать, как математическую модельдвижения судна:313w& = f1 (t , w, n(v ), Pcurr , Pwave , Pwind ),ψ& = f 2 ( w, ϕ),λ& = f ( w, ϕ).(8.1.3)3Здесь w – фактическая скорость, n(v ) – зависимость частоты вращения гребноговинта от заданной скорости на тихой воде, ψ и λ – текущие широта и долготасоответственно. Воздействие на судно внешней среды представляется известными из прогноза погоды функциями Pcurr = Pcurr (t , ψ, λ ) , Pwave = Pwave (t , ψ, λ ) ,Pwind = Pwind (t , ψ, λ ) , которые определяют силы, задающие влияние течения, волнения и ветра соответственно на фактическую скорость движения.Отметим, что первое уравнение системы (8.1.3) описывает динамику движения с учетом погодных условий.
Для его составления необходимо задать рядтехнических параметров судна, включая водоизмещение, длину, ширину, осадкуи др. Оставшиеся два уравнения системы определяют динамику изменения географических координат с учетом известных геодезических соотношений [36].Очевидно, что первое уравнение системы (8.1.3) имеет положение равновесия, если заданная скорость и внешние силы постоянны на определенном промежутке времени. Данное положение равновесия w = ws находится из уравненияf1 (t , w, n(v ), Pcurr , Pwave , Pwind ) = 0(8.1.4)и приближенно соответствует фактической скорости движения, если внешние силы мало изменяются на рассматриваемом промежутке времени.
Следовательно,уравнение (8.1.4) можно использовать для вычисления фактической скоростивместо интегрирования системы дифференциальных уравнений (8.1.3). При этомфактическая скорость на траектории, состоящей из нескольких участков, должнавычисляться заново в соответствии с (8.1.4) в точках поворота траектории и налоксодромических участках с фиксированным временным шагом смены прогноза. Отметим, что уравнение (8.1.4) имеет смысл только в точках, принадлежащихдопустимой области Ω S .Пусть известны вектор r , определяющий траекторию γ (r ) , и вектор v за-314данных скоростей движения.
При этом будем считать, что γ (r ) ⊂ Ω S , т. е. траектория допустима по отношению к статическим ограничениям.Для характеристики качества конкретного выбранного маршрута введем врассмотрение следующие функционалы:1) функционал J T = J T (r, v ) , определяющий время движения из начальнойточки в конечную точку;2) функционал J F = J F (r, v ) , значение которого равно общему расходу топлива для заданного маршрута.Сформируем алгоритм вычисления времени движения J T = J T (r, v ) от начальной точки до момента попадания в заданную окрестность конечной точки идля вычисления суммарного расхода J F = J F (r, v ) топлива для выбранного маршрута. При реализации алгоритма будем считать, что расход топлива в единицувремени определяется известной функцией q = q (V ) для конкретной силовой установки судна, где V – заданная скорость хода.
В данном алгоритме используются формулы прямой и обратной геодезических задач [36].Пусть в начальный момент времени t = t0 судно находится в точке~A(ψ 0 , λ 0 ) . Обозначим через t время, оставшееся до очередного момента сменыпрогноза.Алгоритм вычисления состоит из следующих этапов:1. Рассчитывается фактическая скорость w на основании уравнения (8.1.4)при известных заданной скорости V1 , курсовом угле ϕ1 и внешних силах, соответствующих моменту t = t0 , на данном участке. Положим, что при этом J T = 0 иJF = 0.2. Определяется расстояние, которое сможет пройти судно с полученной~фактической скоростью w до момента смены прогноза S = w ⋅ t . Вычисляетсярасстояние L от текущей точки до следующей точки поворота траектории исравниваются величины S и L .3153.
Если S < L , то определяется следующее положение точки M (ψ, λ) натраектории в соответствии с формулами прямой геодезической задачи. При этомточка M (ψ, λ) остается на текущем участке i траектории, а время t попадания вновую точку соответствует моменту смены прогноза, вычисляемому по формуле~t =t+t .Далее пересчитываются значения суммарного времени нахождения в пути~~J T = J T + t и расхода топлива J F = J F + t ⋅ q (Vi ) . Для следующего этапа алгорит~ма полагается t = ∆T , где ∆T – шаг задания прогноза и определяется заново фактическая скорость w в новой точке для момента времени t , заданной скорости Viи курсового угла ϕi из уравнения (8.1.4).
Осуществляется переход к п. 2.4. Если S ≥ L , то в качестве следующего положения точки M (ψ, λ) принимается точка поворота траектории. В данном случае точка M (ψ, λ) переходит стекущего участка траектории i на следующий участок i + 1 . Обозначим через~t ′ = L / w время, необходимое для попадания в новую точку. Тогда время t попа~дания в новую точку вычисляется по формуле t = t + t ′ . Далее пересчитываются~значения суммарного времени в пути J T = J T + t ' и расхода топлива~J F = J F + t '⋅q (Vi ) .
Если данная точка поворота траектории совпадает с точкойB(ψ1 , λ1 ) , либо находится в ее заданной малой окрестности, то вычисления заканчиваются. При этом время попадания в окрестность конечной точки равно текущему моменту t1 = t . Если нет, то для следующего этапа алгоритма берется время~ ~ ~t = t − t ′ , оставшееся до смены прогноза, и рассчитывается заново фактическаяскорость w в новой точке для момента времени t , заданной скорости Vi +1 и курсового угла ϕi +1 по уравнению (8.1.4). Далее осуществляется переход к п.
2 и вычисления повторяются.Таким образом, приведенный алгоритм позволяет однозначно определитьвеличины функционалов J T = J T (r, v ) и J F = J F (r, v ) для заданного маршрутадвижения.316Для постановки оптимизационных задач, связанных с указанными функционалами, рассмотрим ограничения, которые налагаются на выбор маршрута.Прежде всего, введем терминальное ограничение, задавая его неравенством(ψ1 − ψ(t1 , r, v ))2 + (λ1 − λ(t1 , r, v ))2 < ε, t1 ≤ T1 ,(8.1.5)где ε > 0 – заданная малая величина. Суть данного ограничения состоит в том, чтотекущая точка M (ψ, λ) должна попасть в окрестность конечного положенияB(ψ1 , λ1 ) не позднее конечного момента задания прогноза T1 .Далее, введем в рассмотрение следующие ограничения на величину заданной скорости движения на каждом участке траектории:vmin ≤ Vi ≤ vmax , i = 1, p .(8.1.6)Здесь vmax и vmin – максимальная и минимальная скорости судна на тихой воде соответственно.Теперь обратимся к статическому ограничению (8.1.1), которое представимследующим образом:γ (r ) ⊂ Ω S ,(8.1.7)поскольку траектория γ (r ) полностью определяется заданием вектора r .Статические ограничения могут быть заданы набором замкнутых контуров,представленных точками с соответствующими географическими координатами.Каждый такой контур ограничивает зону, запретную для движения судна.
Например, замкнутый контур Γkg , являющийся границей множества Ω kg , может быть задан в следующем видеΓkg = {(ψ1 , λ1 ), (ψ 2 , λ 2 ),..., (ψ n , λ n )},причем точки задаются последовательно, в соответствии с направлением обходалибо по часовой стрелке, либо против нее. Для любой отдельно рассматриваемойзадачи, статические ограничения задаются не на весь земной шар, а только нарайон плавания Ω 0 .Заметим, что для проверки допустимости траектории, т.е. выполнениявключения (8.1.7), необходимо установить пересекается ли она с контурами, ог-317раничивающими запретные статические области.Наконец, перейдем к рассмотрению ограничений, определяемых погодными условиями.
Положение точки M (ψ(t , r, v ), λ(t , r, v )) на траектории в моментвремени t зависит от выбора траектории γ (r ) и вектора заданных скоростей v .Следовательно, определяемое опасными погодными условиями ограничение(8.1.2) имеет видM (ψ(t , r, v ), λ(t , r, v )) ⊂ ΩW (t ),∀t ∈ [t0 , t1 ].(8.1.8)Для проверки ограничения (8.1.8) следует рассмотреть функцию Tal (r, v ) ,значение которой равно времени нахождения в опасных зонах для выбранногомаршрута (r, v ) . Если для фиксированного маршрута значение данной функцииравно нулю, то он удовлетворяет ограничению (8.1.8), которое в этом случаеможно представить в форме:Tal (r, v ) = 0.(8.1.9)Будем считать, что момент отправления принадлежит интервалу времени,определяющему первый шаг задания прогноза t 0 ∈ [T0 , T0 + ∆T ] . На каждом шагезадания прогноза опасные зоны определяются набором ограничивающих их контуров, аналогично статическим ограничениям.
Следовательно, для каждого шагазадания прогноза можно установить набор сегментов, которые получаются в пересечении траектории движения γ (r ) с опасными зонами.Вычисление суммарного времени нахождения судна в опасных зонах длязаданного маршрута (r, v ) осуществляется с помощью следующего алгоритма.1. Полагается, что начальное значение суммарного времени нахождения вопасных зонах нулевое: Tal (r, v ) = 0 .2. Для i -го шага задания прогноза, соответствующего интервалу времени[ T0 + (i − 1) ∆T , T0 + i ∆T ] ,определяется сегмент траектории, который проходитсудно на данном интервале.
Этот сегмент может содержать точки траектории,принадлежащие нескольким соседним участкам.3. Устанавливается набор сегментов, соответствующих пересечению траек-318тории γ (r ) с опасными зонами на указанном интервале времени.4. Определяется, пересекается ли построенный на шаге 2 сегмент с полученным набором сегментов. Если есть пересечение, то рассчитывается время на~~хождения в опасных зонах по формуле Tal (r, v ) = Tal (r, v ) + tal , где tal ≤ ∆T – времянахождения в опасной зоне на данном шаге.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
