Диссертация (1145289), страница 46
Текст из файла (страница 46)
По формулам (7.4.12) определить коэффициенты ν1 , ν 2 и ν 3 уравнений(7.4.11) корректора в пространстве состояний, для которого выражение (7.4.19)является передаточной функцией от входа ζ к выходу ξ .3.4. Вычислить интенсивность управления Aδe (ρ) для замкнутой системы(7.4.1), (7.4.2) с найденным корректором (7.4.11) по формуле (7.4.16). При этомдвижение происходит под воздействием нормированного гармонического возмущения d = {d [k ]} d [k ] = Ad sin ωk . В формуле (7.4.16) Aδ (ω, ρ) = Fdδ (e jω , ρ) , гдеFdδ ( z ) – передаточная функция замкнутой линейной части системы (7.4.1),(7.4.2), (7.4.11).3.5.
Найти решение уравнений замкнутой системы со сформированнымкорректором (7.4.16) на отрезке времени k ∈ [0, Tp ] . При этом начальные условияпо векторам состояния x и z принять нулевыми, а в качестве внешнего воздействия – нормированное ступенчатое возмущение d = {d [k ]}, d [k ] = d s 0 ⋅ 1[k ] .
В результате получить значение J m (ρ) функционала (7.4.14).4. В результате выполнения цикла получить значение ρ = ρ 2 , для которогоинтенсивность управления Aδe (ρ) достигает своего минимального значения, т.е.ρ 2 = arg min Aδe (ρ) ,ρ∈Ω ρ(7.4.20)где допустимое множество значений параметра имеет видΩρ = {ρ ∈ [ρin , ρ st ] : J m (ρ) ≤ J mk } ,(7.4.21)где J mk = 2.5 J ma (ограничение (7.4.15)).5. Для найденного значения ρ = ρ 2 по формулам (7.4.8) и (7.4.10) вычисля-293ются искомые коэффициенты ϕ1 , ϕ0 и µ 01 , µ 0 передаточной функции (7.4.19) корректора или коэффициенты ϕ1 , ϕ0 и ν1 , ν 2 , ν 3 уравнений (7.4.11) его нормальнойформы.Приведенные шаги алгоритма синтеза повторить для следующих скоростейхода судна: V = {2.5 3.25 4.0 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0} м/с.
Полученные данные сохранить в памяти: далее они линейно интерполируются для вычисления коэффициентов при любой скорости хода судна.Обратим внимание на то, что предложенный здесь алгоритм наиболее легкоприменить для настройки корректора на работу в режиме фильтра: достаточноположить H yδ (e jω ) = 0 при выполнении второго шага.0Для иллюстрации применения разработанной схемы вычислений на рис.7.4.1 в качестве примера приведены графики функций J m (ρ) и Aδe (ρ) для указанного выше судна с водоизмещением 4000 т, движущегося со скоростью 15 м/с.В данном случае для ограничения J mk = 5.8o имеем минимальную интенсивностьуправления Aδe (ρ) = 2.5o , достигаемую при степени устойчивости ρ = 0.983 .Рис. 7.4.1.
Пример графиков функций J m (ρ) и Aδe (ρ) .На рис. 7.4.2 приведены реакции на нормированное ступенчатое возмущение и частотные характеристики замкнутой системы с многоцелевой структуройзакона управления. Синий цвет соответствует выключенному фильтру, а красный– полной структуре с включенным фильтром.2941F2no F300-125-2Af (grad)20-3-4-51510-65-7-8010203000.511.5ω (1/s)Рис. 7.4.2.
Пример переходных процессов и частотных характеристик замкнутыхсистем с фильтром и без него.7.5. Особенности автоматической настройки корректорав режиме «точный»Как было отмечено выше, корректор может работать либо в режиме фильтра («экономичный» режим движения), либо в режиме компенсатора («точный»режим движения). В последнем варианте возможно плавное изменение меры точности: от полной компенсации волновых возмущений с максимально достижимойинтенсивностью работы рулей до предельного уменьшения интенсивности с наихудшей точностью управления, соответствующей режиму фильтрации.Для настройки динамического корректора на работу в режиме «точный»выполняется автоматический расчет на борту с помощью специального метода,основанного на теории среднеквадратичной оптимизации.
Ядро этого метода базируется на идее динамической компенсации регулярного волнения, представленной в главе 2.Как и ранее, будем рассматривать модель динамики судна и многоцелевойобратной связи в видеx[k + 1] = Ax[k ] + bf δ ( δ[k ]) + hd [k ],δ[k + 1] = Tf u ( u[k ]) + δ[k ], y[k ] = cx[k ],(7.5.1)295 a11A = a21 0a12a22T0 b1 0 , b = b2 , c = (0 0 1) .01 z[k + 1] = Az[k ] + bδ[k ] + g( y[k ] − cz[k ]),u[k ] = μ(z[k + 1] − z[k ]) + ν y[k ] + ξ[k ],(7.5.2)ξ[k ] = F * (q )( y[k ] − cz[k ]).Будем считать, что заданы параметры μ и ν базового закона управления, атакже вектор g коэффициентов наблюдателя.В состав регулятора (7.5.2) включен динамический корректорξ[k ] = F * (q )( y[k ] − cz[k ]) .(7.5.3)Задача настройки динамического корректора для работы в режиме «точный» состоит в поиске такой его передаточной функции F * ( z ) , чтобы выполнялись следующие требования:1.
Для поддержки астатизма замкнутой системы должно выполняться условие F * (1) = 0 или F * ( z ) ≡ F ( z )( z − 1) .2. Корректор должен быть асимптотически устойчивым.3. Для передаточной функции H yδ ( z ) замкнутой системы (7.5.1), (7.5.2) влинейном варианте должно выполняться равенствоH yδ ( ejω 0) = r + jq ,(7.5.4)определяемое оптимальной компенсацией регулярного волнения.4.Придействииступенчатоговнешнеговозмущенияd = {d [k ]}, d [k ] = d 0 ⋅1[k ] максимальное отклонение по курсу для замкнутой сис-темы (7.5.1), (7.5.2) не должно превышать заданную величину, что определяетхорошую динамику на низких частотах.5.
При действии стационарных возмущений d = {d [k ]} с частотным спектром, сосредоточенным в заданном диапазоне ω ∈ [ω01 , ω02 ] (что позволяет учитывать реальные свойства морского волнения), интенсивность работы рулейдолжна быть как можно меньшей.296Как и в предшествующем подразделе, в качестве передаточных функцийкорректора будем рассматривать рациональные дробиF * ( z ) = Q ( z ) Φ ( z ) , Q ( z ) = ( z − 1)(µ 01 z + µ 0 ), Φ ( z ) = z 2 + ϕ1 z + ϕ0 ,(7.5.5)обеспечивающие выполнение условия астатизма. При этом полагаяΦ ( z ) = z 2 + ϕ1 z + ϕ0 ≡ ( z + ρ) 2 , т.е.
ϕ0 = ρ 2 , ϕ1 = 2ρ ,(7.5.6)обеспечим устойчивость корректора, при любых вещественных ρ : ρ < 1 .Теперь обратимся к требованиям 3 – 5, вводя в рассмотрение следующиефункционалы на движениях замкнутой системы (7.5.1), (7.5.2).Если на систему действует регулярное волнение d = {d [k ]} d [k ] = A sin ω0 k ,то ее динамику будем характеризовать функционалами1 N 21y [k ] = Ay2 ,∑N →∞ N k =02J y = J y (W ) = y 2 = lim1N →∞ NJ δ = J δ (W ) = δ 2 = limN(7.5.7)1∑ δ2[k ] = 2 Aδ2(7.5.8)k =0точности и интенсивности управления. Здесь Ay и Aδ – амплитуды курса и отклонения рулей соответственно, W = W ( z ) – передаточная функция канала управления от y к δ .Если на систему действует нормированное ступенчатое возмущениеd = {d [k ]}, d [k ] = d 0 s ⋅ 1[k ] , то характеристикой будет служить функционалJ m = J m (ρ) = max ϕ[k , ρ] ,k ∈[ 0 ,T p ](7.5.9)определяющий максимальное отклонение от заданного курса.И, наконец, если на систему действует нормированное нерегулярное волнение d = {d [k ]} со спектром, сосредоточенным в заданном диапазоне ω ∈ [ω01 , ω02 ] ,в качестве функционала примем интенсивность управленияω02Aδe = Aδe (ρ) = A f∫ A (ω, ρ) dω ,δ(7.5.10)ω01где Aδ (ω, ρ) = Fdδ (e jω , ρ) , Fdδ ( z ) – передаточная функция замкнутой линейной297части системы (7.5.1), (7.5.2).Для оптимизации поведения замкнутой системы на регулярном волнениирассмотрим задачу среднеквадратичного синтезаJ a (W ) → min , J 0 = min J a (W ) , W0 ( z ) = arg min J a (W ) ,W ∈Ω 0W ∈Ω 0(7.5.11)W ∈Ω 0где Ω 0 – множество рациональных дробей W , обеспечивающих устойчивостьзамкнутой линейной системы,J a (W ) = λ2 J y (W ) + J δ (W )(7.5.12)– среднеквадратичный функционал, где λ2 – заданное вещественное число, однозначно определяемое ограничением J δ (W ) ≤ δ z для регулярного волнения.Как и в предшествующем параграфе для обеспечения выполнения требований 4 и 5 будем обращаться к задачеAδe (ρ) → min , т.е.
ρ 2 = arg min Aδe (ρ) ,(7.5.13)ρ∈Ω ρρ∈Ω ρгде допустимое множество значений параметра ρ имеет видΩρ = {ρ ∈ [ρin , ρ st ] : J m (ρ) ≤ J mk } ,(7.5.14)с заданным допустимым отклонением J mk от курса.Имеет место следующее базовое утверждение:Т е о р е м а 7.1. Пусть для некоторого ρ : ρ < 1 по формуле (7.5.5) по-строена передаточная функция корректора F * ( z ) со знаменателем (7.5.6) и скоэффициентами числителя, определенными по формуламµ 01 = β sin ω0 , µ 0 = α − µ 01 cos ω0 ,α = Re[Φ (eгде F * (ejω 0jω 0) F * (ejω 0) (ejω 0− 1)], β = Im[Φ (ejω 0) F * (e(7.5.15)jω 0) (ejω 0− 1)],) – комплексное число такое, что для замкнутой системы с включен-ным корректором выполняется равенствоH yδ [ejω0*, F (ejω0)] = −λ2 B (eA(eA( z ) = det(Ez − A) , B( z ) = A( z )c(Ez − A ) −1 b .− jω0− jω0))= r + jq ,(7.5.16)298Тогда обратная связь (7.5.2) с корректором (7.5.3), имеющим данную передаточную функцию, обеспечивает решение задачи (7.5.11) для регулярного волнения с заданной частотой ω0 .Доказательство.
Прежде всего, напомним, что, как было отмечено в под-разделе 2.3, решение задачи (7.5.11) не является единственным. В соответствии сработами [16, 26, 60, 167], таким решением будет любой регулятор δ = W ( z ) y спередаточнойW (ejω0) = Wa 0 (eфункциейjω0из множестваΩ 0 , удовлетворяющейравенству) , где Wa 0 ( z ) – передаточная функция оптимального регулято-ра в задачеJ a (W ) → min , J a 0 = min J a (W ) , Wa 0 ( z ) = arg min J a (W ) ,W ∈Ω aW ∈Ω aW ∈Ω a(7.5.17)о поиске абсолютного минимума функционала (7.5.12) на множестве Ω a ⊃ Ω 0 –любых рациональных дробей.
В свою очередь, по аналогии со статьей [26], легкопоказать, что решением задачи (7.5.17) будет передаточная функцияWa 0 ( z ) = −λ2 B ( z −1 )−1A( z ).(7.5.18)Таким образом, если передаточная функция H yδ ( z , F * ) канала управления смногоцелевым законом (7.5.2) и принятой передаточной функцией корректораудовлетворяет соотношению (7.5.16), то указанный канал можно трактовать, какоптимальный регулятор в задаче (7.5.11) для заданной частоты ω0 .
Принадлежность этого регулятора множеству Ω 0 гарантируется выбором шуровского полинома Φ (z ) .Дополнительным свойством обратной связи по отношению к задаче (7.5.11)является астатизм замкнутой системы по курсу. ■С л е д с т в и е 1. Для выполнения требований 1 – 5 можно осуществитьпоиск решения задачи (7.5.13) на конечной сетке (7.5.14) значений параметраρ : ρ < 1 . На каждом шаге поиска формируется передаточная функция F * ( z ) динамического компенсатора в виде (7.5.5). Ее коэффициенты определяются по299формулам (7.5.6) и (7.5.15) для такого значения F * (ejω0) , которое обеспечиваетвыполнение равенства (7.5.16).Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
