Диссертация (1145289), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Наконец, третье уравнение в структуре (5.2.4) служит для вычисления управляющего сигнала. В отличие от базового закона (5.2.3), здесь присутствует корректирующее слагаемое, определяемое вектором ζ .Итак, многоцелевая структура (5.2.4) содержит настраиваемые параметрыK , H, F ( s ) , которые требуется выбрать с учетом цели управления (5.1.14) и требований устойчивости, астатизма и фильтрации.Т е о р е м а 5 .
4 . При отсутствии возмущений нулевое положение равновесия замкнутой системы (5.2.2), (5.2.4) глобально асимптотически устойчиво длялюбых гурвицевых матриц (− K ) , (− H ) и α базового закона, асимптотическогонаблюдателя и динамического корректора соответственно.Доказательство. Рассмотрим замкнутую систему (5.2.2), (5.2.4). С учетом(5.2.5), уравнения этой системы примут вид19500 ε E ε& − H z& = μ + H − K γ z + 0 d c (t ). p& β0 α p c 0 c (5.2.6)Согласно (5.2.6), характеристический полином замкнутой системы равен∆ ( s ) = det (Es + K ) det(Es + H ) det(E nc − α ) = ∆ 0 ( s )∆ a ( s )Φ ( s ),где ∆ 0 ( s ), ∆ a ( s ) и Φ (s) – характеристические полиномы базового закона, асимптотического наблюдателя и динамического корректора. Отсюда следует, что приотсутствии возмущений нулевое положение равновесия системы (5.2.6) асимптотически устойчиво для любых гурвицевых матриц (− K ) , (− H ) и α .
Следовательно, при t → ∞ имеем ε = e − z → 0 , z → 0 , а значит и вектор e = s − s d → 0 . ■Рассмотрим теперь вопрос обеспечения астатизма замкнутой системы(5.2.2), (5.2.4) по отношению к постоянному возмущению d c (t ) = d c 0 .Т е о р е м а 5 . 5 . Если передаточная матрица динамического корректораF (s ) удовлетворяет условиюF(0) = K ∆ , K ∆ = −K − H ,(5.2.7)то замкнутая система (5.2.2), (5.2.4) обладает свойством астатизма по отношению к вектору e = s − s d для любого постоянного возмущения d c (t ) = d c 0 .Доказательство. Рассмотрим положение равновесия в замкнутой системе(5.2.6), соответствующее постоянному возмущению d c (t ) = d c 0 :− Hε 0 + d c 0 = 0,v 0 + Hε 0 = 0,(5.2.8)v 0 = −Kz 0 + F (0)ε 0 = −Kz 0 + K ∆ ε 0 ,где введено обозначение K ∆ = F (0) .
Отсюда получаем, что каждому ненулевомувектору возмущений d c 0 соответствует ошибка ε 0 = H −1d c 0 , которую можно принять как возмущение во втором уравнении системы (5.2.8). Тогда из второго итретьего уравнений указанной системы имеемe 0 = K −1 (K ∆ + H + K )ε 0 .Следовательно, для того чтобы статическая ошибка e 0 была равна нулевому век-196тору при любом возмущении d c 0 должно выполняться условиеK ∆ = F(0) = −K − H .(5.2.9)С учетом выражения для передаточной матрицы F (s) корректора, окончательноусловие обеспечение астатизма принимает вид− γα −1β + μ = −K − H .(5.2.10)Итак, при выполнении условия (5.2.9) обеспечивается свойство астатизмазамкнутой системы (5.2.2), (5.2.4). ■Обратимся теперь к свойству фильтрации по отношению к внешнему возмущению d c (t ) в канале управления.
Обозначим ωi , i = 1,3 – три основные частоты спектра, то есть частоты настройки, на которых должна происходить фильтрация внешнего возмущения d c (t ) .Т е о р е м а 5 . 6 . Для обеспечения фильтрующего свойства по выходу регулятора изображения необходимо, чтобы его передаточная матрица F ( s ) удовлетворяла условиям:F( jωi ) = −P2−1 ( jωi )P1 ( jωi ) = R + Ij , i = 1,3 ,(5.2.11)где P1 ( s ) = −K (Es + K ) −1 H , P2 ( s ) = −K (Es + K ) −1 + E .Доказательство.
Найдем передаточную матрицу Fc ( s ) от вектора ошибки εк выходу v . Заметим, что внешнее возмущение d c (t ) и вектор ε с учетом первого−1уравнения системы (5.2.6) связаны передаточной матрицей H ε ( s ) = (Es + H ) . По-этому реакция управляющего сигнала v на возмущение d c (t ) определяется передаточной матрицей Fc ( s )H ε ( s ) .Рассмотрим многоцелевую структуру (5.2.4). Из первого уравненияполучаемz& = −Kz + ζ + Hε .Следовательно, при нулевых начальных условиях имеем−1−1z = (Es + K ) ζ + (Es + K ) Hε .197Подставив это выражение в формулу для управляющего сигнала, находим−1−1v = −K (Es + K ) ζ − K (Es + K ) Hε + F ( s )ε = [P1 ( s ) + P2 ( s )F ( s )]ε,где P1 ( s ) = −K (Es + K ) −1 H , P2 ( s ) = −K (Es + K ) −1 + E .
Таким образом, искомая передаточная матрица Fc (s ) равнаFc ( s ) = P1 ( s ) + P2 ( s )F ( s ) .(5.2.12)Тогда условие фильтрации внешнего возмущения d c (t ) на трех основныхчастотах ωi , i = 1,3 принимает видFc ( jωi ) = 0, i = 1,3.Или, учитывая (5.2.12), получаемF( jωi ) = − P2−1 ( jωi )P1 ( jωi ) = R + Ij , i = 1,3.(5.2.13)Здесь R и I – матрицы с вещественными компонентами, представляющие вещественные и мнимые части комплексных чисел.В результате, для выполнения свойства фильтрации передаточная матрицакорректора F (s ) должна удовлетворять условиям (5.2.13). ■Отметим, что матриц F (s ) , удовлетворяющих требованиям (5.2.7) и (5.2.11)существует бесконечное множество. В данной главе для ее построения используется алгоритм, аналогичный приведенному в главе 2.Рассмотрим второй этап синтеза – разработку алгоритма управления, цельюкоторого является обеспечение заданной скорости подвижного объекта, то естьположения равновесия ν = ν d и его глобальной асимптотической устойчивостидля замкнутой системы (5.1.12a), (5.1.18).Рассмотрим сначала наиболее простую ситуацию, когда вектор скорости νдоступен измерению.
Сформируем базовый закон, стабилизирующий заданнуюскорость, видаτ = −K d (ν − ν d ) + Mν& d + C(ν )ν + D(ν )ν + g (η) = ~τ + τ * ,где ~τ = −K d (ν − ν d ) + Mν& d , τ * = g (η) + C(ν )ν + D(ν )ν .Тогда для замкнутой системы (5.1.12а), (5.2.14) получаем(5.2.14)198Mν& = ~τ + τ e .(5.2.15)Введем вектор ошибки e v = ν − ν d . При этом уравнение (5.2.15) можно записать в видеMe& v = −K d e v + τ e .(5.2.16)Отсюда следует, что при отсутствии возмущений в положении равновесия имеемν = ν d .
Как видно из (5.2.16), устойчивость положения равновесия ν = ν d обеспечивается выбором любой положительно определенной матрицы K d .Отметим, что закон управления (5.2.16) обеспечивает воспроизведение заданного значения скорости при отсутствии возмущений. Если же присутствуетпостоянное или медленно меняющееся возмущение τ e (t ) = τ 0 , то при отработкезаданной скорости будет возникать статическая ошибка. В связи с этим вместо(5.2.16) будем представлять динамику ошибки системой уравненийMe& v = τ + τ e ,(5.2.17)где τ – управляющее воздействие, и рассмотрим многоцелевую структуру законауправления следующего вида:Mz& v = τ + H v (e v − z v ),ξ = Fv ( p )(e v − z v ), p = d / dt ,(5.2.18)τ = −K d z v + ξ.Здесь первое уравнение представляет асимптотический наблюдатель для оценкивектора e v , а второе – динамический корректор (фильтр) с матрицей Fv ( p ) . Запишем уравнения корректора в пространства состояний:p& ν = α ν p v + β ν ε ν ,(5.2.19)ξ = γ νp v + μ νε ν ,где ε v = e v − z v – вектор ошибки оценивания, p v – вектор состояния фильтра,α ν , βν , γ ν , μν(–Fv ( s ) = γ v E nv s − α vматрицы)−1спостояннымикоэффициентами,причемβ v + μ v , nv = dim(p v ) .
Многоцелевая структура (5.2.18) со-держит настраиваемые параметры K d , H v , Fv ( s ) , которые требуется выбрать сучетом требований устойчивости, астатизма и фильтрации.199Т е о р е м а 5 . 7 . При отсутствии возмущений нулевое положение равновесия замкнутой системы (5.2.17), (5.2.18) глобально асимптотически устойчиводля любых положительно определенных матриц K d , H v базового закона и асимптотического наблюдателя соответственно, и для любой гурвицевой матрицыα v динамического корректора.Доказательство. Запишем уравнения замкнутой системы (5.2.17), (5.2.18).В результате получимMε& v = − H v ε v + τ e ,Mz& v = −K d z v + γ v p v + (μ v + H v )ε v ,p& v = α v p v + β v ε v .(5.2.20)Рассмотрим два вспомогательных вектора состояния: ξ1 = ε v , ξ 2 = p v .
Тогда первое и третье уравнения системы (5.2.20) при отсутствии возмущений можно представить в видеS1 : ξ& 1 = −M −1H v ξ1 ,S : ξ& = α ξ + β ξ .22v 2(5.2.21)v 1Систему (5.2.21) можно трактовать как каскадную структуру [134]. При этом длялюбой положительно определенной матрицы H v нулевое положение равновесиясистемы S1 является глобально асимптотически устойчивым. Если же матрица α vгурвицева, то нетрудно проверить, что выполняются все условия теоремы 1 длякаскадных систем, приведенной в работе [134]. Отсюда следует, что нулевое положение равновесия системы (5.2.21) является глобально асимптотически устойчивым.Введем теперь еще два вспомогательных вектора состояния с компонентами x1 = z v , x 2 = (ε vp v ) . Тогда систему (5.2.20) можно представить в формеTΣ1 : x& 1 = −M −1K d x1 + A1x 2 ,Σ 2 : x& 2 = A 2 x 2 , − M −1H vгде A1 = (M (μ v + H v ) M γ v ) , A 2 = βv−1−1(5.2.22)0 .
Как показано выше, нулеα v 200вое положение равновесия системы Σ 2 является глобально равномерно асимптотически устойчивым. Для любой положительно определенной матрицы K d нулевое положение равновесия системы x& 1 = −M −1K d x1 является глобально асимптотически устойчивым.
Следовательно, условия теоремы 1 [134] для каскадныхсистем выполнены и нулевое положение равновесия замкнутой системы (5.2.20)является глобально равномерно асимптотически устойчивым. ■Рассмотрим условия обеспечения астатизма замкнутой системы (5.2.17),(5.2.18) по отношению к постоянному возмущению τ e (t ) = τ e 0 .Т е о р е м а 5 . 8 . Если передаточная матрица динамического корректораFv ( s ) удовлетворяет условиюFv (0) = K v∆ , K v∆ = −H v − K d ,(5.2.23)то замкнутая система (5.2.17), (5.2.18) обладает свойством астатизма по отношению к вектору e v = ν − ν d для любого постоянного возмущения τ e (t ) = τ e 0 .Доказательство.
По аналогии с доказательством теоремы 5.5 из уравнений(5.2.20) замкнутой системы получаем, что в положении равновесия имеет местосвязь между возмущением и вектором ошибки: ε v 0 = H v−1 τ e 0 , а управляющий сигнал равен τ 0 = −K d z v 0 + Fv (0)ε v 0 . Подставляя это выражение в первое уравнениесистемы (5.2.18), имеем:− K d z v 0 + Fv (0)ε v 0 + H v ε v 0 = 0 .Следовательно, ошибка воспроизведения заданной скорости ν d в положении равновесия представляется выражениемe v 0 = K −d1 (Fv (0) + H v + K d )ε v 0 .Тогда для обеспечения астатизма должно выполняться условиеFv (0) = −H v − K d ,что, с учетом выражения для передаточной матрицы, дает равенство− γ v α v−1β v + μ v = − H v − K d .Таким образом, при выполнении условия (5.2.23) обеспечивается свойство201астатизма замкнутой системы (5.2.17), (5.2.18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
