Автореферат (1145258), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

На основе введения трех скалярныхфункций в § 7.9.2 проводится редукция исходной системы уравнений к одному скалярному уравнению, решение краевых задач длякоторого содержится в параграфах 7.10–7.13. А именно, в § 7.10 рассматривается задача об излучении волн во вращающуюся несжимаемую электропроводную жидкость горизонтальной и вертикальнойстенками, совершающими, начиная с начального момента времени, гармонические колебания. С помощью преобразования Лапласа удается получить явное решение задачи, что позволяет провестианализ предельного поведения решения, т. е. сделать вывод о существовании режима установившихся колебаний с предельной амплитудой, описывающей установившуюся плоскую волну.

В парагра-– 25 –фах 7.11–7.13 строятся решения начально-краевых задач для полученного в § 7.9.2 в результате редукции уравнения, описывающиераспространение волн малой амплитуды в бесконечно протяженномпо горизонтали прямолинейном слое, в длинном прямоугольном канале и в цилиндрическом кольцевом слое переменной глубины. Дляпериодической по времени и одной из пространственных координатразности магнитной индукции поля на границах слоя в случае зависимости глубины слоя от одной из пространственных координатрассматриваемая краевая задача сводится к краевой задаче для линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения пятого порядка с постоянными коэффициентами.

Полученодисперсионное соотношение. В случае периодической по времениразности значений магнитной индукции на границах слоя и произвольной функциональной зависимости глубины слоя показано, чтопериодическое по времени волновое решение удовлетворяет искомому уравнению, причем амплитуда волны есть решение уравненияПуассона. Для кольцевой цилиндрической области построено периодическое по времени волновое решение. Зависимость амплитудыволны от радиальной и угловой координат определяется решением краевой задачи для неоднородного уравнения второго порядкас переменными коэффициентами. Использование функций Бесселяи Неймана позволяет представить решение задачи в явном виде.В § 7.14 изучаются квазигеострофические движения во вращающемся слое электропроводной жидкости переменной глубины.

Наоснове анализа масштабов квазигеострофических движений приводится вывод основных уравнений. В предположении, что числаРоссби, являющиеся мерой отношения локального и адвективного ускорений к ускорению Кориолиса, одного порядка, решениезадачи сводится к решению системы трех нелинейных уравненийдля гидромагнитного давления и для двух функций, описывающих магнитное поле.

Для бесконечно протяженной по горизонталиэлектропроводной вращающейся жидкости в предположении приблизительного постоянства наклона поверхности, ограничивающейслой сверху, на расстоянии порядка длины волны получено точноерешение системы соответствующих нелинейных уравнений и дисперсионное соотношение. Представленные аналитические решенияпозволяют определять влияние рельефа границ слоя и их динамикина магнитогидродинамические характеристики волнового процесса– 26 –внутри слоя.

Границы слоя играют важную роль в его эволюции, вдинамических процессах, происходящих внутри жидкого слоя, например, в геофизике рельеф мантии регулирует скорость динамикитвердого ядра, что, в свою очередь, может влиять на скорость роста внутреннего ядра, и, следовательно, на мощность, необходимуюдля запуска механизма динамо. Характером и интенсивностью взаимодействия между жидким слоем и его границами определяетсяквазигеострофическое движение в слое.Глава 8. Магнитогидродинамические волны в стратифицированной вращающейся жидкостиВосьмая глава посвящена изучению волновых движений в неоднородной электропроводной вращающейся жидкости. В § 8.1 исследуются уравнения трехмерной динамики идеальной электропроводной стратифицированной вращающейся жидкости.

Эти уравнения вследствие представления магнитного поля и поля плотностив виде суперпозиции невозмущенных полей, соответствующих стационарному состоянию среды и индуцированных полей, обусловленных волновым движением, при помощи введения двух вспомогательных функций приводятся к скалярному уравнению длямодифицированной функции гидромагнитного давления, исследование которого позволяет установить разрешимость возникающихначально-краевых задач теории волн в электропроводных вращающихся жидкостях с неоднородностями плотности. В § 8.2 исследуются нелинейные волновые движения у границы тонкого сферического слоя устойчиво стратифицированной жидкости.

С использованием масштабов движений производится анализ математической модели, пригодной для расчета трехмерных движений сбольшими временным и пространственным масштабами. Указанный метод анализа позволяет, не ограничиваясь эвристическимирассуждениями, вывести общие нелинейные квазигеострофическиеуравнения, описывающие движения как однородной, так и стратифицированной электропроводной вращающейся жидкости. Основная идея анализа состоит в построении схемы последовательныхприближений, в которой геострофическое приближение являетсяпервым шагом. В § 8.3 изучаются крупномасштабные движения,горизонтальный масштаб которых сравним с радиусом слоя.

Проводится определение распределения плотности и всех магнитогидродинамических величин, возникающих в слое в результате термо-– 27 –динамических изменений у его границы. В представленном исследовании рассмотрена задача с переменной стратификацией без использования магнитострофического приближения и приближенияБуссинеска. Показано, что непосредственной причиной конвекцииявляется архимедова сила. В приложении к геофизике это означает,что на границе твердого и жидкого ядра образуется при кристаллизации избыток легкой компоненты, всплывание которой являетсяосновной причиной конвекции в жидком слое.

Возмущения, связанные с всплыванием легкого вещества, перемешивают веществои создают эффективный механизм турбулентной диффузии.Целью исследования § 8.4 является моделирование волновыхтрехмерных крупномасштабных движений невязкой, несжимаемойстратифицированной идеально проводящей вращающейся жидкости для особого случая геометрии рассматриваемого объема, который учитывает особенность экваториальной зоны сферическогослоя.Исследуются уравнения трехмерной экваториальной динамикиидеальной электропроводящей неоднородной вращающейся жидкости. Основополагающие уравнения вследствие представления магнитного поля и поля скорости в виде суперпозиции невозмущенныхполей, соответствующих стационарному состоянию среды, и индуцированных полей, обусловленных волновым движением, при помощи введения двух вспомогательных функций приводятся к специальному скалярному уравнению.

Исследование этого уравненияпозволяет решить проблему разрешимости возникающих начально–краевых задач теории волн, распространяющихся в окрестности экваториальной зоны сферического слоя электропроводящей вращающейся жидкости с неоднородной плотностью. Построены точныерешения представленного редуцированного уравнения, описывающие распространение волн малой амплитуды.Проведенный анализ позволяет сделать вывод о существованиинетривиальных волновых возмущений рассматриваемой среды взоне экватора, а именно, волн Кельвина, распространяющихся квостоку и к западу, причем зональная скорость в волне Кельвинане удовлетворяет геострофическому соотношению, как это обычно бывает в неэлектропроводной жидкости.

Вклад в отклонениеот геострофичности скорости вносит наличие магнитного поля, аименно, его меридиональная компонента.– 28 –Глава 9. Магнитогидродинамические волны во вращающейся жидкости с учетом диффузии магнитного поля.Девятая глава посвящена изучению динамики вращающегосяслоя электропроводной несжимаемой жидкости с учетом граничных эффектов и диффузии магнитного поля.Вводя в рассмотрение характерные масштабы изменения переменных в исходных уравнениях и оценивая порядки величин членов, входящих в уравнения, удается выделить главные и второстепенные члены, упростить уравнения и построить модель исследуемого процесса.При решении рассматриваемой задачи, как задачи геофизической гидродинамики, возникает необходимость построения приближенных вариантов основных МГД уравнений и строгого дальнейшего математического анализа этих приближенных уравнений. Приэтом, вводимые приближения необходимы для продвижения в решении поставленных задач.

Кроме того, формулируемые приближения, основанные на классических физических и интуитивныхсоображениях, приводят к изучению модельных задач, целью которого является получение качественных закономерностей, нежели детальное моделирование конкретного геофизического явленияи представление численного анализа.В общем случае магнитные силовые линии частично переносятся потоком жидкости и частично диффундируют через нее.

Именноэтот общий случай и рассматривается. Таким образом, принимается, что диффузионные члены в уравнении индукции магнитногополя имеют тот же порядок, что и конвективные. Учет диффузионных членов необходим при изучении динамики волн локального характера, т.е., когда горизонтальный масштаб движения многоменьше радиуса слоя, а также при очень великих масштабах времени. В представляемом исследовании производится учет диссипативных эффектов, а именно, изучается влияние диффузии магнитного поля на его генерацию.

Представляет также интерес ответна вопрос о возможности существования такого поля сколь угоднодлительное время и существование его при отключении фоновоговнешнего поля. Задача решается как в линейном, так и в нелинейном вариантах.С помощью введения вспомогательных функций систему уравнений в частных производных удается редуцировать, что позволяет– 29 –сделать вывод об аналитической структуре магнитогидродинамических характеристик.Представленные аналитические решения позволяют судить овлиянии динамики рельефа области на магнитогидродинамическиехарактеристики волнового процесса внутри жидкого слоя.Проведенные исследования позволяют сделать вывод о том, чтогенерация магнитных полей в электропроводной жидкости является следствием неустойчивости, характеризуемой соответствующими соотношениями между силами гравитации, Кориолиса, магнитной силой и особенностями топографии рельефа.В представленном исследовании с внешним магнитным полем,параллельным оси вращения слоя, диффузия магнитного поля способствует его затуханию.

Характеристики

Список файлов диссертации