Диссертация (1145244), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Это позволяет объединить вязкий подслой и «буферную» зону в е д и н у ю область, охваченную, как будет видно из дальнейшего, т у р б у л е н т н ы м движением.Далее рассмотрим уравнение переноса корреляции ̅̅̅2 , которая является компонентом тензора напряжений Рейнольдса, приведенного к безразмерному виду.Согласно [102]:̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 2 ̅̅̅2 ̅ + ̅ + 22̅̅̅̅ − 2+ ̅+++2̅̅̅̅1∞2̅̅̅̅ 3̅̅̅̅2̅̅̅̅̅ ++2 +̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅222̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 2 2 2(2 ( ) + 2 () + 2 ( ) − ( ) − − ( ) − ( )) = 0,где ν - кинематическая вязкость.Введя новую переменную = , и подставляя решения в виде асимптотических разложений по степеням , для членов нулевого порядка ( 0 ), имеем (обозначения оставлены без изменений)2072̅̅̅2̅̅̅2 ̅̅̅3 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 2 2̅̅̅̅2++ 2̅̅̅̅−2+ ̅++++ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅2 2+ 2 ( ) −() = 0.(6.2.9)̅̅̅̅3 2 ̅̅̅̅Пренебрегая членами содержащими третьи степени пульсаций, (, , счи-тая, что ~2 и т.
д), при → 0, находим, что̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅2̅ 22̅̅̅̅+ 2 ( ) −() = 0.Отметим, что выражение подобного типа, полученное из чисто качественных рассуждений, приведено в [39].Аналогичное рассмотрение уравнений переноса корреляций̅̅̅̅ 2 , ̅̅̅̅ и̅̅̅̅ 2 приводит соответственно к следующим уравнениям (в первом случае удержаны члены порядка ε, во втором ε2, а в третьем – ε0 )̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 2 ̅̅̅̅2̅̅̅+ 2−= 0, 2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅2̅ 22̅̅̅̅+ 2 ( ) −() = 0,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅2 22 ( ) −() = 0.Затем, подставляя в эти уравнения корреляции производных из (6.2.5), получим:̅̅̅2 ̅̅̅̅̅ 2 ̅̅̅̅+2−= 0, 2̅̅̅2 2 ̅̅̅̅ 22̅̅̅̅ 2+ 2 −= 0, 2(6.2.10)208̅̅̅2 2 ̅̅̅2̅̅̅̅ ̅ 22+ 2 −= 0, 2̅̅̅̅2 2 ̅̅̅̅22−= 0. 2̂2̅ ̅Видно, что при заданных, , , ̂ и (где , ̂ и - преобразованныефункции после введения новой переменной Y) полученные уравнения представляют собой систему четырех обыкновенных дифференциальных уравнений отно̅̅̅2 , ̅̅̅̅сительно трех неизвестных: ̅̅̅̅, 2 и ̅̅̅2 .В случае безградиентного обтекания плоской пластины имеем [39]:̅− ̅̅̅̅ = = .Следовательно, остаются неопределенными̅ ̅, , , ̂ и .
В самом началенашего анализа, при представлении случайной гидродинамической величины ввиде ряда, величины , ̂ , как и другие, считались функциями декартовыхкоординат (, , ), однако потом, из анализа размерностей, был сделан вывод, что , ̂ , линейны относительно (и , соответственно). Поэтому, в рамкахасимптотического анализа ( → 0), положим: = = ̂ ≡ . Следовательновведенное ранее разложение случайной величины в ряд по некоторым функциямстановится рядом Тейлора.После этого система (6.2.10) приобретает вид̅̅̅̅ 2 2 ̅̅̅̅ 22 + 2̅̅̅̅ − = 0, 2̅̅̅2̅2̅̅̅̅ 222̅̅̅ + 2 − 2 = 0, 22̅̅̅̅ ̅ 2 2 ̅̅̅2 22̅̅̅ + 2 − = 0, 2(6.2.11)209̅̅̅̅22 2 ̅̅̅̅2 2− = 0.
2При → 0 получим, соответственно̅̅̅̅ = 0,̅̅̅2 = 0,(6.2.12)̅̅̅2 = 0,̅̅̅̅ 2 = 0.Это общепринятые, так называемые условия прилипания. Взглянем теперьна задачу по-другому. Для этой цели обратимся к тому, что понимается под словом«стенка». В гидроаэромеханике встречаются в основном два случая: гладкой и шероховатой поверхностей. Причем в последнем случае чаще всего речь идет об искусственной шероховатости определенной конфигурации. Рассмотрим естественную шероховатость, для которой – среднее арифметическое отклонение профиляот средней линии. Это базовая линия, определенная так, что среднее квадратичноеотклонение профиля шероховатости от неё минимально [114].
После этого, вместоасимптотического условия → 0 введем более конкретное: → . Тогда (6.2.11)можем записать так:̅̅̅2 ̅ 2 ̅̅̅̅ 22 + 2̅̅̅̅ − = 0, 2 ̅̅̅̅̅ 2 ̅̅̅2 − 2 + 22 ̅̅̅̅2 2 2 = 0,2̅̅̅̅ ̅ 2 2 ̅̅̅2 22̅̅̅ + 2 − = 0, 2 2 ̅̅̅̅2 22̅̅̅̅2 − = 0.
2 (6.2.13)210При старшей производной стоит малый параметр (для фюзеляжа самолета,например, ~10−6 м [114]). Поэтому, если пренебречь членами, содержащими 2 (т. е. не учитывать шероховатость), то получим обычные условия прилипания– (6.2.12). В общем же случае, при надлежащим образом определенных̅и̅,приходим к системе второго порядка, имеющей нетривиальное решение. Для егоотыскания опять воспользуемся методом сращиваемых асимптотических разложений. Обозначим 2 через , а внешние решения ищем в виде:̅̅̅̅(, ) = (̅̅̅̅)0 +∙∙∙,̅̅̅̅̅̅2 ) +∙∙∙,2 (, ) = (0(6.2.14)̅̅̅̅̅̅2 ) +∙∙∙, 2 (, ) = (0̅̅̅̅̅̅̅̅2 ) +∙∙∙.
2 (, ) = (0Подставляя соотношения (6.2.14) в систему (6.2.13) и удерживая члены нулевогопорядка ( 0 ), находим:̅̅̅2 ) = (̅̅̅2 ) = (̅̅̅̅2 ) = 0,(̅̅̅̅)0 = (000т. е. обычные условия прилипания.В данном случае получили внешние решения. Для отыскания решений вовнутренней области, необходимо произвести её растяжение, имея в виду, что изменение независимой переменной определенным образом связывает асимптотические последовательности для представления решений.Введем новую переменную =жений, ищем решения в виде:. Ограничиваясь первыми членами разло-211̅̅̅̅(, ) = (̅̅̅̅)0 +∙∙∙,̅̅̅̅̅̅2 ) +∙∙∙,2 (, ) = (0(6.2.15)̅̅̅2 (, ) = 2 (̅̅̅2 ) +∙∙∙,0̅̅̅̅̅̅̅̅2 ) +∙∙∙. 2 (, ) = (0Подставляя соотношения (6.2.15) в систему (6.2.13), получим систему уравнений:2(̅̅̅̅)0 δγ̅1 2 (̅̅̅̅)0 1− 2+12̅̅̅+ −= 0,( )0 2̅̅̅2 ) 2 (10 1−22 ) +̅̅̅̅̅̅(2(̅̅̅̅)0 δγ+1 −= 0,02 ( 2 )02 2 ̅̅̅̅̅̅ 22γ+12̅̅̅(2( )0 +̅̅̅̅)0 δ− = 0, 22 ) −̅̅̅̅̅̅2(0̅̅̅̅2 ) 2 (02 1−2 = 0,где индекс «» (inner) символизирует внутреннюю область течения.Из этой системы видно, что =12удовлетворяет всем уравнениям.В этом случае система уравнений (6.2.13) распадается на четыре независимыхобыкновенных дифференциальных уравнения:2(̅̅̅̅)0 −2 )̅̅̅̅̅̅2(0−̅̅̅̅)02 ( 2̅̅̅̅2)2 (0 2= 0,= 0,(6.2.16)2122 ̅̅̅̅̅̅2 ̅̅̅2 ) − ( )0 = 0,2(0 22 ) −̅̅̅̅̅̅2(0̅̅̅̅2 ) 2 (02= 0.Общее решение каждого из уравнений этой системы можно представить следующим образом:(̅̅̅̅)0 = √2 + −√2 ,̅̅̅̅̅̅(2 )0 = √2 + −√2 ,(6.2.17)̅̅̅2 ) = √2 + −√2 ,(02 ) = √2 + −√2 .̅̅̅̅̅̅(0Константы , , , и , , , должны быть определены из условий на стенке исращивания с «внешним» решением.
При = 0 ( = = 0):1 = + ,2 = + ,3 = + ,4 = + .Условия сращивания имеют вид:lim ( (̅̅̅̅)0 ) = lim (̅̅̅̅)0 ,→∞→0̅̅̅2 ) ,(2 )0 ) = lim (lim (̅̅̅̅̅̅0→∞→0̅̅̅2 ) ) = lim (̅̅̅2 ) ,lim ( 2 (00→∞→02132 ) ) = lim (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅2 ) .lim ((00→∞→0Тогда из первого уравнения системы (6.2.17), получаем: lim √2 + lim −√2 = 0.→∞→∞Отсюда видно, что второй предел имеет место при л ю б о м конечном А; равенствоже нулю первого предела возможно только, если ≡ 0. Аналогично: = = ≡ 0.Таким образом,−(̅̅̅̅)0 = ̅̅̅̅ ,−̅̅̅̅̅̅(2 )0 = ̅̅̅̅2 ,̅̅̅2 ) = ̅̅̅2̅ − ,(0(6.2.18)−̅̅̅̅̅̅( 2 )0 = ̅̅̅̅.2 То, что ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅2 , ̅̅̅̅ 2 и ̅̅̅2̅ в общем случае не равны нулю, говорит о том,что и ̅̅̅̅, ̅̅̅̅2 , ̅̅̅̅̅ 2 и ̅̅̅ 2 в таком случае тоже отличны от нуля, а это в свою очередь, допускает существование турбулентного движения уже на стенке (с естественной шероховатостью), где, видимо, и происходит его зарождение.
Отличныеот нуля пульсационные составляющие скорости можно трактовать как составляющие скорости вихря, образовавшегося из-за отрывного обтекания бугорка шероховатости. Полученные результаты поясняет рисунок 6.1.214Рис.6.1. Схема течения вблизи бугорка естественной шероховатости.6.3. Зарождение индуцированного магнитного поля в окрестности бугорков шероховатости при течении проводящей жидкости во внешнем однородном магнитном полеЧисленное моделирование пульсационных турбулентных МГД – теченийпредставляет в настоящее время серьёзные трудности.
В основном они связаны спрактически полным отсутствием надежных экспериментальных данных о пульсациях магнитных и электрических величин, что существенно тормозит создание наих основе математических моделей, необходимых для описания течений в сложныхфизических условиях [92]. Эти сложности отчетливо проявляются даже при рассмотрении простых течений. В качестве примера рассмотрим турбулентный поток215в плоском канале. Движение обеспечивается продольным перепадом давления−= .На рисунке 6.2 показана схема плоскопараллельного течения между двумяпараллельными стенками.Рис.
6.2. Схема течения в плоском канале.Установившееся движение происходит в направлении оси x под действиемприложенного перепада давления, поэтому все искомые величины зависят толькоот поперечной координаты y. Внешнее магнитное поле 0 приложено произвольным образом.
В этом случае, уравнение движения, при пренебрежении массовымисилами, можно представить в виде [77]: 1−+ 0= 0. 0В этом уравнении τ – составляющая напряжения вязкого трения,(6.3.1)–заданный поусловию задачи перепад давления, обеспечивающий течение, 0 – магнитная проницаемость проводящей жидкости. По сравнению с течением непроводящей жидкости это уравнение содержит дополнительное слагаемое – последнее в левой части. Как видно из уравнения, присутствие этого члена возможно только в случаеприложения магнитного поля, направленного вдоль оси – (0, 0 , 0).
Если поле216направлено вдоль оси – ( 0 , 0, 0) и вдоль оси – (0, 0, 0 ), уравнение движенияупрощается и приобретает следующий вид, характерный для течений непроводящей жидкости: −= 0. Можно сделать вывод о том, что при течении проводящей жидкости в плоском канале, наличие составляющих магнитного поля направленных вдоль оси иоси , не приводит к дополнительной (пондеромоторной) силе, она здесь равнанулю. Это подтверждается опытным фактом при ламинарном течении [20, 116].Однако, в случае турбулентного режима, поток проводящей жидкости подверженвоздействию магнитного поля при любом его направлении [2, 22].
Это связано сналичием всех трёх компонентов пульсационной скорости.Рассмотрим течение проводящей жидкости около шероховатой поверхности при наличии однородного вертикального магнитного поля. Как показано в параграфе 5.3, круговое движение проводящей жидкости в однородном магнитномполе приводит к появлению индуцированного пространственного магнитного поля.Таким образом, можно говорить об изменении (усилении) начального магнитногополя. Обтекание шероховатой поверхности в этом случае показано на рисунке 6.3.На этом рисунке 0 – вектор напряженности однородного внешнего магнитного поля.
Штриховая линия – направление индуцированного магнитного поля, его направление, в общем случае, отлично от направления начального поля.217Рис. 6.3. Схема отрывного обтекания бугорка шероховатости.Для того, чтобы найти распределение индуцированного поля, в частностиего горизонтальной– компоненты, направленной вдоль по течению, восполь-зуемся приведенным в [77] уравнением движения проводящей жидкости (6.2.18).При этом обратимся к известному экспериментальному факту [123], согласно которому в рассматриваемой внутренней зоне напряжения Рейнольдса и вязкого трения одного порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
