Диссертация (1145244), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Так уравнения (d)′– (f)′ позволяют сделать вывод, что имеет вид: = 3 (, , ) + 4 (, , ).(2.41)Условия (g)′ и (h)′ приводят к тому, что = = ,(2.42)откуда получаем: = 1 + 2 , = 1 + 3 ,(2.43) = 1 + 4 .Равенства (2.43) вместе с (b)′ и (f)′ (см. выше) позволяют сделать вывод о том,что: = = .(2.44)Отсюда, по аналогии с (2.43), можно записать вид зависимостей и : = 3 (, , ) + 5 (, , ), = 3 (, , ) + 6 (, , ).(2.45)Для дальнейшего анализа воспользуемся соотношением (a)′.
Подставив внего зависимость (2.41) и найденные с помощью (2.43) значения производных, получим:9021 + 2 − (23 + 21 ) − 24 + 43 = 0.Но так как 3 и 4 не зависят от , то 3 + 1 = 0, откуда следует:3 = −1 ,(2.46)24 = 21 + 2 .Из выражения (b)′ находим:25 = 21 + 3 .(2.47)26 = 21 + 4 .(2.48)Аналогично из (c)′ получим:Таким образом найден функциональный вид , и : = −1 + 1 +2,2 = −1 + 1 + = −1 + 1 +32,(2.49)4.2Из выражения (j)′ следует: = −21 ,откуда окончательно находим: = −21 + 1 (, , ).(2.50)Теперь подставим производные найденные из зависимостей (2.49) в условие (а): + + = 0.Это приводит к следующему:1 = 0.Таким образом зависимости (2.49) и (2.50) существенно упрощаются: =2,2 =32,(2.49)′91 =4,2 = 1 (, , ).Вид функциональной зависимости 1 (, , ) определяется из условия (k)′ и подобных ему условий, получающихся при анализе второго и третьего уравненийсистемы (2.28).
Подробное рассмотрение приводит к следующей зависимости: = − (2 + 3 − 4 ).(2.50)′Перейдем теперь к анализу четвёртого уравнения системы (2.28). Как ивыше прежде чем подействовать оператором (2.31) на это уравнение, выпишем необходимые для этого значения инфинитезималей. = + − , = + − ,(2.51) = + − , = + − .Теперь надо найти инфинитезимали для второго продолжения оператора симметрии (2.31), в связи с наличием вторых производных: , и .В этом случае:(2) = Ɖ ((1)) − Ɖ ( )и, соответственно, выражение для примет следующий вид: = Ɖ ( ) − Ɖ ( ) − Ɖ ( ) − Ɖ ( ),(2.52)где Ɖ = + + + + – оператор полного дифференцирования.
Теперь, подставляя в (2.52) выражение для из (2.51) и учитываю зависимости (2.34), получим: = + 2 + 2 + − 2 .Аналогично вычисляются и :(2.53)92 = + 2 + 2 + − 2 ,(2.54) = + 2 + 2 + − 2 .Запишем теперь условие, к которому приводит действие оператора 2 начетвёртое уравнение системы (2.28):−1 ( + + + + + + ) = + + + .2Подставляя в это уравнение выражения для соответствующих инфинитеземалей из(2.35), (2.51), (2.53) и (2.54), а также выражение для :2 = −2 − 2 − ( + + + ) − 2 ,получим: + + + ( − ) + + + ( − ) + + ++ ( − ) + 2+ 4 + 22 + 2 ( − 2 ) + 2+ 2 ( − ) ++2+ 4 + 22 + 2 ( − 2 )+2+ 4 +22 −−( − 2 ) − ( − 2 ) − ( − 2 ) − ( − 2 ) −−2 ( − 2 ) − 2 ( − 2 ) − 2 ( − 2 ) = 0.(2.55)Полученное определяющее уравнение допускает расщепление, результатом которого являются условия обращения в нуль множителей при степенях производныхот дифференциальных переменных.
После приведения подобных получим: : + + 4= 0,(a)′′ : + + 4= 0,(b)′′ : + + 4= 0,(c)′′2 : = 0,(d)′′2 : = 0,(e)′′932 : = 0,(f)′′ : 2 ( − ) = 0,(g)′′ : 2 ( − ) = 0,(h)′′ : − = − 2 ,(j)′′( )0 : + + + + 2+ 2+2+ ( − 2 ) = 0.(k)′′Выписанные условия позволяют получить определенную информацию о виде искомых функций.
Так из уравнений (d)′′ – (f)′′ можно сделать вывод о том, что имеет вид: = 7 (, , ) + 8 (, , ).(2.56)Рассмотрение выражений (a)′′– (c)′′, с учетом зависимостей (2.43), позволяет получить условия для нахождения производных:, , .(2.57)Однако, в этом нет необходимости, так как из условия (j)′′ следует : = 0,(2.58) = 8 (, , ).(2.59)и, следовательно,Функцию 8 (, , ) можно найти из условия ()′′в (2.55), которое после расщепления по , принимает вид: + + + + 2+ 2+2= 0.Решив это линейное дифференциальное уравнение в частных производных второгопорядка, можно найти , Тривиальное же решение, очевидно: = 0.(2.60)Подобное же рассмотрение условий симметрии для оставшихся уравненийсистемы (2.28) приводит к аналогичному результату (подробные выкладки опущены ввиду их громоздкости).
В частности,94 = 0, = 0.(2.61)В итоге проведённого анализа с учётом решений (2.60) и (2.61), оператор(2.29) принимает вид: = 2 + 3 + 4 +22 +32 +42 − (2 + 3 − 4 )Полагая в этом общем операторе 2 = 1, 3 = 4 = 0, затем 3 = 1, 2 = 4 = 0,и 4 = 1, 2 = 3 = 0, строим следующие операторы симметрии:1 = 1 1 +− , 2 4 2 = 1 1 +− , 2 4 3 = 1 1 ++ .
2 4 Найденные операторы позволяют построить подалгебру Ли, которая можетбыть наглядно представлена в виде таблицы Кэли. Эта подалгебра абелева.Таблица Кэли для операторов 1 , 2 , и 3 :123100020003000Построим для операторов 1 , 2 и 3 соответствующие им преобразованиялокальной группы Ли.951 : ′= 1, ′ 1= ,2 ′ ′= 0,= 0, ′ ′= 0,= 0,′1= − ′4Начальные условия: = 0: ′ = , ′ = , ′ = ,{ ′ = , ′ = , ′ = , ′ = ′ = + 2 , ′ = , ′ = ,1 ′ = + 2 , ′ = ,′ = 21 ′′=− 2 .{42 : ′= 0, ′= 0, ′ ′= 1,= 0, ′ 1 ′= ,= 0,2 ′1= − ′4Начальные условия: = 0: ′ = , ′ = , ′ = ,{ ′ = , ′ = , ′ = , ′ = ′ = , ′ = + 3 , ′ = ,1 ′ = , ′ = + 3 ,′ = 21 ′′=− 3 .{4963 : ′= 0, ′= 0, ′ ′= 0,= 1, ′ ′ 1= 0,= ,2′1 ′=+ 4Начальные условия: = 0: ′ = , ′ = , ′ = ,{ ′ = , ′ = , ′ = , ′ = ′ = , ′ = , ′ = + 4 ,1 ′ = + 42 ′ = , ′ = ,{1′ = + ′ 4 .4В полученных решениях необходимо вернуться к исходным переменным.Напомним, что переменные , и были введены как более привычные вместо автомодельных переменных , , Ϛ .
Тогда окончательно можно записать: ′ = + 2 , ′ = , Ϛ′ = Ϛ,1 ′ = + 2 , ′ = ,′ = 21 ′′=− 2 ,{4 ′ = , ′ = + 3 , Ϛ′ = Ϛ,1′′′{ = , = + 2 3 , = 1′ = − ′ 3 ,4(2.62)97 ′ = , ′ = , Ϛ′ = Ϛ + 4 , ′ = , ′ = ,{1 ′ = + 421′ = + Ϛ′ 3 .4Полученные преобразования действуют на уравнение движения и уравнениенеразрывности, при этом уравнение переноса вектора индуцированного магнитного поля остается инвариантным. Отчасти, это является следствием отмеченнойвыше декомпозиции задачи на гидродинамическую и электродинамическую части.В дальнейшем с помощью преобразований (2.62) можно найти многопараметрические семейства решений.98ВЫВОДЫ1.Найдена группа неравномерных растяжений, допускаемая системой не-стационарных МГД–уравнений, описывающих движение вязкой несжимаемойпроводящей жидкости.
Через инварианты найденной группы выражены автомодельные переменные, относительно которых получена фактор–система. В этой системе количество независимых переменных уменьшилось – исключена переменная, обозначающая время, т.е. система уравнений перестала быть системой эволюционного типа.2.Найдена группа преобразований, допускаемая указанной в первомпункте фактор–системой. Этим открывается возможность оптимизации поискаклассов частных решений, в том числе и инвариантных.99Глава 3.
ТЕСТИРОВАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ANSYS.CFXНА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ И МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХРезультаты данной главы основаны на публикациях [65–69].3.1. Численное моделирование турбулентного струйного теченияВ настоящее время на помощь научному работнику и инженеру пришла вычислительная гидромеханика, позволяющая реализовать в механике жидкости игаза вычислительный эксперимент. Основным элементом здесь является математическая модель – система уравнений вместе с начальными и граничными условиями,описывающими интересующий процесс.
При этом главным аспектом является приближение математической (виртуальной) модели к описанию процессов, реальнонаблюдаемым в эксперименте. В этой связи, необходимо не только воспроизведение интересующих параметров, но и правильное описание отдельных процессов,побочных явлений и их общее взаимодействие. Однако первоначально целесообразно провести серию тестовых расчетов и тем самым самому апробировать комплекс применительно к решению геометрически простых, но глубоко физичных задач в интересующей проблематике, например, по тепло- и массообмену или магнитной гидродинамике.Система МГД–уравнений (уравнения гидродинамики совместно с уравнениями классической электродинамики) с математической точки зрения замкнута.Её построение потребовало привлечения определенного числа физических гипотез,правомерность которых, как и всей методики в целом, достигается путем сопоставления с экспериментальными данными.
Однако во многих случаях не удается сравнить с экспериментом из-за отсутствия последнего для конкретных (или близких кним) условий численного моделирования. В подобных случаях методику апробируют на имеющихся надежных экспериментальных (или расчетных) данных, а за-100тем с той или иной степенью обоснованности применяют в интересующих условиях. С другой стороны, может возникнуть иная трудность – методика в целом, какрезультат совместного действия различных процессов может давать удовлетворительное совпадение с экспериментальными (расчетными) данными, хотя каждыйиз процессов в отдельности может быть описан неверно. Поэтому, наряду с проверкой метода в целом, необходима проверка адекватного описания отдельныхпроцессов. С одной стороны, гидродинамических, с другой стороны – магнитогидродинамических.Для решения первой задачи были проведены расчеты турбулентных струйных течений [65, 66].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
