Диссертация (1145244), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для уравнений с частными производными существует алгоритм поиска допускаемых группи классов частных решений. Введем некоторые необходимые для дальнейшегоопределения и продемонстрируем поиск допускаемой группы на конкретном примере.Система дифференциальных уравнений (, , … , ) = 0,где – номер уравнения, –порядок старшей производной в уравнении с номером, допускает группу с инфинитезимальным оператором: = ()+ (, )тогда и только тогда, когда выполняются условия (, , … )|=0 = 0 ( = 1,2, … , ).(2.20)Эти равенства составляют инфинитезимальный критерий инвариантности.Переменные = (1 , 2 , … , ) называются независимыми переменными, а переменные = (1 , 2 , … , ) – зависимыми (дифференциальными). Компоненты() и (, ) называют инфинитезималями.
В этой связи, основное пространствозависимых независимых переменных необходимо продолжить в пространство, содержащее помимо указанных ещё и частные производные, присутствующие в рассматриваемой системе дифференциальных уравнений. В дальнейшем, для сокращения записи, принято обозначение =. Формула продолжения на первыепроизводные: 1 = () + (, ) + Ϛ(1) (, , 1 )1 ;(1)Ϛ (, , 1 ) = Ɖ () − Ɖ ( ),где Ɖ – оператор полного дифференцирования:79Ɖ =+ + + ⋯.Формула продолжения на вторые производные 2 = () + (, ) + Ϛ(1) (, , 1 )1 + Ϛ(2) (, , 1 , 2 )2 ;(2)Ϛ (, , 1 , 2 ) = Ɖ (Ϛ ) − Ɖ ( ).По дважды (вверху и внизу) встречающимся индексам предполагается суммирование.
Следующий пример [34] хорошо иллюстрирует применяемую ниже методику.Пример. Найдем группу, допускаемую уравнением Бюргерса: = + .(2.21)Ищем оператор симметрии, допускаемый уравнением (2.21) в виде = () + (, , ) + (, , ) .(2.22)Для этого оператора формулы продолжения имеют вид0 = Ɖ () − Ɖ () − ′ () ,1 = Ɖ () − Ɖ (),2 = Ɖ2 () − Ɖ2 () − 2 Ɖ (),гдеƉ2 () = + 2 + 2 + ,Ɖ2 () = + 2 + 2 + .Используя эти формулы, запишем определяющее уравнение0 − 2 − 1 − = 0.(2.23)Заменим на + и приравняем к нулю члены с . Это первое расщепление:2 + 2 − ′ () = 0.Уравнение (2.23) расщепляется ещё на два уравнения: = 0,802 − ′ () = 0.Первое из них показывает, что зависит только от , . Интегрирование второгоуравнения дает1 = ′ () + ().2(2.24)Из этого выражения следует, что Ɖ2 () = 0.
Тогда определяющее уравнение (2.23)сводится к следующему:112 + [ ′ () + ′′ () + ′ () + 2 + ] + + − = 0.22Это уравнение расщепляется на три: = 0, + − = 0,(2.25)1 ′1 () + ′′ () + ′ () + 2 + = 0.22Первое из уравнений (2.25) позволяет определить η: = (, ) + (, ).В этом случае третье уравнение (2.25) приобретает вид:11( ′ () + ) + ′′ () + ′ () + 2 + = 0.22Отсюда, очередное расщепление дает:1 = − ′ (),21 = − ′′ () − ′ ().2Таким образом1122 = − ′ () − ′′ () − ′ ().В результате, подстановка (2.26) во второе уравнение (2.25) дает(2.26)811 ′′′ () + ′′ () = 0,2 ′′′ () = 0 и ′′ () = 0.откудаСледовательно,() = 1 2 + 22 + 3 ,() = 4 + 5.Учитывая (2.24) и (2.26), получаем окончательное решение определяющего уравнения (2.23): = 1 2 + 22 + 3 , = 1 + 2 + 4 + 5 , = −(1 + 2 ) − 1 − 4 .Это решение содержит произвольные константы 1 , 2 , 3 , 4 и 5 .Таким образом, инфинитезимальные симметрии уравнения Бюргерса (2.21)образуют пятимерную алгебру Ли с линейной оболочкой, образованной линейнонезависимыми операторами:1 =,2 =,3 = 4 = 25 = 2−, +−,+ − ( + ) .Разобранный пример наглядно иллюстрирует процедуру нахождениягруппы допускаемой уравнением в частных производных.82Определим коммутатор [1 , 2 ] двух операторов1 = 1 (, )+ 1 (, ),2 = 2 (, )+ 2 (, )формулой[1 , 2 ] = 1 2 − 2 1 .(2.27)Коммутатор двух линейных дифференциальных операторов первого порядка является оператором того же вида:[1 , 2 ] = (1 (2 ) − 2 (1 ))+ (1 (2 ) − 2 (1 )).Операторы 1 , 2 , … , образуют алгебру Ли , представляющую собойлинейное векторное пространство, порожденное этими операторами и всей совокупностью их коммутаторов (2.27).
Имеет место вторая теорема Ли [87], котораяутверждает, что – мерное векторное пространство с базисом 1 , 2 , … , образует алгебру Ли в том и только в том случае, если коммутаторы базисных операторов также принадлежат , т.е. выполняется условие: ,[ , ] = ∑ , = 1, … , ,=1где – вещественные числа, называемые структурными константами.Подсчет коммутаторов базисных операторов удобно представлять в видетаблицы Кэли. В этой таблице значение коммутатора [ , ] располагают на пересечении i – строки и j – столбца.Подпространство называется подалгеброй, если [, ] ∈ для всех, ∈ и идеалом алгебры , если [, ] ∈ для всех ∈ и всехЕсли идеал некоторого порядка алгебры обращается в нуль:() = 0для всех > 0, ∈ .83то алгебра разрешима.Теперь перейдем к поиску группы, допускаемой фактор–системой (2.18)при наличии заданного постоянного внешнего магнитного поля в отсутствии электрического поля.
Как правило, одновременно уравнения для и не решают, аэлектрическое поле находят из выражения [105]:=1 × − ( × 0 ),где 0 геомагнитное поле Земли. Поэтому уравнение переноса вектора не рассматривается, а преобразованные уравнения движения и переноса вектора индуцированного магнитного поля упрощаются (см. уравнения (2.8)′′ и (2.19)).Предварительно сделаем некоторые замечания. Поиск указанной группы задача технически довольно сложная и громоздкая с трудоемкими выкладками. Поэтому он будет продемонстрирован только частично, а не в полном объёме. Крометого, наличие большого числа индексов, обозначающих как составляющие векторов, так и производные по соответствующим переменным, приводит к необходимости ввести упрощающие и более привычные обозначения.
Так составляющиевекторов и (см. уравнения (2.16) и (2.17)) обозначим как (, , ) и (, , ),а вектора – как привычные (, , ). Помимо этого, не нарушая общности рассмотрения, примем что величина внешнего магнитного поля, плотность жидкости, коэффициенты вязкости и электропроводности равными единице. При этихсоглашениях исследуемая система (2.18) такова:1− [ + ++− 2 (++ )] +=22 2 2=++− , 2 2 21− [ + ++− 2 (++ )] +=22 2 2= 2 + 2 + 2 − ,841− [ + ++− 2 (++=)] +22 2 2=++, 2 2 21 2 2 2 − [ + ++ ]=+++,2 2 2 2 (2.28)1 2 2 2 − [ + ++ ]= 2 + 2 + 2 + ,21 2 2 2 − [ + ++ ]=++−−,2 2 2 2 ++= 0. Анализ системы (2.28) позволяет сделать важное заключение. При заданиивнешнего постоянного однородного магнитного поля (например, геомагнитноеполе Земли) уравнения «расщепляются». Первые три уравнения – проекции уравнения движения – не зависят от индуцированного магнитного поля.
В то же время,уравнение переноса вектора индуцированного магнитного поля зависит скоростисреды, а значит от решения первых трёх уравнений.Используя общепринятое обозначение =, будем искать оператор сим-метрии, допускаемый системой (2.28) в виде: = (, , ) + (, , ) + (, , ) + (, , , ) ++ (, , , ) + (, , , ) + (, , , ) + (, , , ) ++ (, , , ) + (, , , ) .(2.29)Наличие в системе (2.28) вторых производных требует вычисления соответственно первого и второго продолжений оператора (2.29).
Первое продолжениеимеет вид:1 = + + + + + + + +85+ + + + + + + + ++ + + + + + .(2.30)Аналогично выписывается второе продолжение:2 = 1 + + + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + .(2.31)В исследуемой системе (2.28) семь уравнений, поэтому будет семь условийтого, что система уравнений допускает преобразование симметрии: (, , , , , , , , , , … , , , , … )|=0 = 0,(2.32)( = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).Условие симметрии последнего уравнения системы (2.28), уравнения неразрывности получается, если на него подействовать оператором (2.30):1 ( ++) = 0.
Следовательно, + + = 0,(2.33) = Ɖ () − Ɖ ( ).гдеВыражения для инфинитезималей , , имеют следующий вид: = + − − − , = + − − − , = + − − − .Подставляя эти выражения в (2.33) и учитывая, что=−−, получим: + − − − + + − − − +86+ − ( + )− − + ( + ) = 0.Произведем перегруппировку слагаемых, тогда последнее уравнение примет следующий вид: ( − − + ) − − − − ++ ( − − + ) + − + + + = 0.Производим расщепление по производным от дифференциальных переменных:( )0 : + + = 0,(a) : − − + = 0,(b) : = 0,(c) : = 0,(d) : = 0,(e) : − − + = 0,(f) : = 0,(g) : = 0,(h) : = 0.(j)Из выражений (a) и (j) следует, что = ().Из выражений (e) и (h) следует, что = ().Аналогично из выражений (d) и (g) находим = ().Найденные зависимости = (), = (),(2.34) = ()будут использованы в дальнейшем при нахождении первых и вторых продолженийдругих операторов симметрии.87Теперь, прежде чем подействовать оператором (2.31) на первое уравнениесистемы (2.28), выпишем необходимые для этого значения инфинитезималей: = + − , = + − , = + − , = + − , = + − ,(2.35) = + − , = + − , = + − , = + − , = + − .Дальше надо найти инфинитезимали для второго продолжения операторасимметрии (2.31), в связи с наличием вторых производных: , и .В этом случае:(2) = Ɖ ((1)) − Ɖ ( )и соответственно выражение для примет следующий вид: = Ɖ ( ) − Ɖ ( ) − Ɖ ( ) − Ɖ ( ),(2.36)где Ɖ = + + + + оператор полного дифференцирования в этом случае.
Теперь, подставляя в (2.36) выражение для из (2.35) иучитываю зависимости (2.34), получим: = + 2 + 2 + − − 2 .(2.37)Аналогично вычисляются и : = + 2 + 2 + − − 2 ,(2.38)88 = + 2 + 2 + − − 2 .(2.39)Теперь можно записать условие, к которому приводит первое уравнение системы (2.28):−1 ( + + + + + + − 2( + +2+ + + + )) + = + + − .В это уравнение надо подставить значения соответствующих инфинитезималей изусловий (2.35) – (2.39) а также выражение для из первого уравнения системы(2.28) – что соответствует ограничению = 0 уравнения (2.32). В результате получаем:− + 2 + (2 − ) + (2 − ) + (2 − ) + (2 − )+ (2 − )( − ) + (2 − ) + (2 − )( − ) + (2 − ) + (2 − )( − ) + 2 + 2 ( − ) − 2− 4 − 22 + 2 −2( − 2 ) − 2− 4 − 22 + 2 − 2( − 2 ) −−2− 4 − 22 + 2 + 2( − 2 )( + + + −2 − 2 − 2 − 2 + 2 + 2 − 2) = 0.(2.40)После приведения подобных слагаемых произведем расщепление по степеням производных от дифференциальных переменных: :2 − + 2 − 4− = 0, :2 − + 2 − 4− = 0,(b)′ :2 − + 2 − 4− = 0,(c)′2 := 0,(d)′(a)′2 := 0,(e)′2 := 0,(f)′89 :2 − 2 = 0,(g)′ :2 − 2 = 0,(h)′ : − = − 2 ,(j)′( )0 : + (2 − ) + (2 − ) + (2 − ) + 2 − 2−−2− 2− ( − 2 ) = 0.(k)′Выписанные условия позволяют получить определенную информацию овиде искомых функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
