Диссертация (1145244), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Этим уменьшается суммарное количество переменных итем самым, в определенной мере, упрощается задача. Для нахождения инвариантовследует решить уравнение:() = () =0 = (1, … , ).(2.14)В нашем случае = 11 и (2.14) примет следующий вид() = + + + + + + + +++ + = 0.Координаты векторного поля , = (1, … ,4) и , = (1, … ,7) находятся изуравнений Ли и формул преобразования растяжения (2.13). Имеем последовательно: == 2̂|=1 = 2̂,| =168 =аналогично находим = ̂ и = ̂ , =аналогично находим −1̂( ̂) = − 2 |== −̂,| =1 =1 = −̂и = −,̂̂̂ ) = − |̂== −|(−1 , =1 2 =1 =аналогично находим= ̂,| =1̂ = − =и̂ , = −̂ −22̂.( ̂ ) = − 3 |== −2| =1 =1Окончательно оператор группы растяжения примет вид («галочки» над переменными опущены для упрощения записи) = 2+++ −−−− 2−−− − .(2.15)Заметим, что в отсутствии магнитного поля ( = = ≡ 0), оператор(2.15) упрощается и получается хорошо известный результат для группы растяжений допускаемой уравнениями Навье-Стокса.Теперь, согласно (2.15), инварианты можно найти из уравнения:() = 2+++ −−−− 2−−− − = 0,или из системы уравнений характеристик, для вышеприведенного уравнения69 ====−=−=−=−=22=−=−=−Так, например, интегрирование уравнения =2даёт:12√ln 1 = ln − ln = lnчто позволяет найти первый инвариант –√, откуда 1 =√,.Подобным образом можно найти и другие инварианты:=−, интегрируя получим ln 2 = ln() 2 = ,22=−→ ln 3 = ln(√) → 3 = √2=−→ ln 4 = ln(√ ) → 4 = √ .2В результате, инварианты имеют вид:,,√ √ √, , √, √, √, √ , √, √ .Введя автомодельные переменные=√,где (, , Ϛ) и (, , ), можно инвариантные решения (1.19) записать как:=1√=(, , Ϛ) ≡1√(),1√(),(2.16)701 = ().В координатной форме первые два уравнения (2.16) будут выглядеть следующимобразом:==1(, , Ϛ), =(, , Ϛ), =√1√=1√(, , Ϛ), =1√ (, , Ϛ),1√1√ (, , Ϛ),(2.17)Ϛ (, , Ϛ).Эти выражения вместе с выражением для давления надо подставить в исходныеуравнения (2.8) и (2.9).
Учитывая довольно громоздкие преобразования, сделаемэто только для проекций соответствующих уравнений (2.8)′ и (2.9)′ на ось . Нопрежде всего, распишем подробно последнее слагаемое в правой части (2.8)':[( × ) × ] = ( − ) − ( − ).Теперь (2.8)' примет вид2 2 2 ( +++ )=−+ ( 2 + 2 + 2) ++ ( ( − ) − ( − )).Преобразовываем последовательно отдельные слагаемые: 1 −11 1 = ( ) = ( 2 ) +=−+ (++)= √2√ √ Ϛ √ =−2√+1Ϛ( (− ) +(− ) +(− )) =22Ϛ2√ =−12√( + ++ Ϛ ).Ϛ1 1 1 = ( ) = (++,)= ()= √ √ Ϛ √√ 71ипреобразовываются аналогично и будут равны: =,=.
√ √ Слагаемое с градиентом давления примет вид: 11 1 1 == (++.( ) =)= Ϛ √ Теперь преобразуем лапласиан:2 1 ===()(())()= 2 √ 1 Ϛ1 2= ( ( )+ ( )+ ( ) )=. Ϛ √ 2Слагаемые2 2и2 2преобразуются аналогично и будут равны:21 2=, 2 √ 221 2=. 2 √ Ϛ2Наиболее просто преобразуется последние два слагаемых в правой части уравнения(2.8)' – простой подстановкой распределений (2.17): ( − ) − ( − ) =1 √(Ϛ ( − Ϛ ) − ( − )).Собирая все преобразованные слагаемые вместе, получим окончательно1− ( + ++ Ϛ ) + (++ )++2ϚϚ2 2 2+ ( 2 + 2 + 2 ) + (Ϛ ( − Ϛ ) − ( − )).Преобразуем теперь уравнение (2.9)', предварительно расписав подробнее последнее слагаемое в правой части72[∇ × ( × )] =( − ) − ( − ).Так же, как и в случае с уравнением (2.8)' преобразуем последовательно отдельныеслагаемые.1 11 = ( ) = ( −2 ) += √√ =−2√=−2√+ ++()= Ϛ √ +Ϛ((− ) +(− ) +(− )) =22Ϛ2√ 11=−12√( + ++Ϛ).ϚТеперь преобразуем лапласиан : 2 1 ===()(())()= 2 √ 1 Ϛ1 2 = ( (+ (+ (.))) )= Ϛ √ 2Подобным же образом получаем: 2 1 2 =, 2√ 2 2 1 2 =.
2√ Ϛ2Последнее слагаемое преобразуется простой подстановкой: Ϛ−−( − ) − ( − ) =()− () √ √ √ √ √ √ √ √1 Ϛ= ( ( − )− ( − Ϛ ) ) = Ϛ=1( ( − ) − ( − Ϛ )).Ϛ√ 73Собрав все преобразованные слагаемые вместе, получим:11 2 2 2 − ( + ++Ϛ++)=()+2Ϛ 22Ϛ2+(( − ) − ( − Ϛ )).ϚОпуская подобные преобразования уравнений (2.8) и (2.9) для и −компонент, запишем окончательно преобразованную систему уравнений в векторнойформе:∙=0(− − ( ∙ ) + 2( ∙ )) + = ∆ + ( × ) × 1{2(− − ( ∙ )) =1 (2.18)∆ + × ( × ).Теперь учтём наличие электрического поля. Уравнение переноса векторанапряжённости электрического поля может быть получено следующим образом.Подействуем оператором на уравнение×=−∂∂системы уравнений Максвелла: × × = − ×= − ( × ) = − ( × (0 )) = −0 ( × ).Используя уравнение × = , обобщённый закон Ома = ( + × ) иправила векторного анализа, получим:1=∆ − ( × ). Найдём группу растяжений в этом случае.
Неоднородные растяжениявсех переменных представим в виде (по аналогии с (2.10)):̂ ; = ̂ ; = ̂ .̂ ; = ̂ ; = = ̂ ; = 74Проведя преобразования и вычисления подобно тому, как было сделановыше, найдём̂; = = 2 ̂ ; = 1111̂; = ̂ ; = .̂; = ̂22Таким образом оператор группы растяжения примет вид («галочки» над переменными опущены для упрощения записи) = 2+++ −−−− 2−−− − − 2− 2− 2.Теперь инвариантные решения ищутся в виде==1√1√(, , Ϛ) ≡1√(),(),1 = (),1 = ().В координатной форме первые три уравнения будут выглядеть следующимобразом:===1(, , Ϛ), =(, , Ϛ), =√1√1√(, , Ϛ), =1√1√1√1 (, , Ϛ), = (, , Ϛ),1 (, , Ϛ), = (, , Ϛ),Ϛ (, , Ϛ),1 = Ϛ (, , Ϛ).Эти выражения вместе с выражением для давления надо подставить в исходные уравнения (2.8), (2.9) и полученное уравнение переноса вектора напря-75жённости электрического поля . Опуская подробные преобразования уравнений, запишем окончательно полученную систему уравнений в векторнойформе:∇∙=0(− − ( ∙ ∇) + 2( ∙ ∇)) + ∇ = ∆ + ( × ) × 211(− − ( ∙ ∇)) =∆ + ∇ × ( × )2 11(− − ( ∙ ) − ( ∙ )( × ) ) =∆ + × .
{ 2(2.18)′Таким образом, построена фактор-система для уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой изотермической проводящей жидкости. Видно, чтодифференциальные уравнения связывают только инварианты допускаемой группынеоднородных растяжений. Главным упрощением является тот факт, это системане эволюционного типа, в отличие от первоначальной. Уменьшение числа независимых переменных – результат безусловно существенный, но это только начало.На следующем этапе возможны два пути.
Первый путь заключается в том, что численно или с помощью других приближенных методов ищется решение полученнойсистемы. После его нахождения и соответствующей формы представления осуществляется переход от инвариантов к исходным переменным и тем самым решение уже будет зависеть и от времени. Второй путь состоит в поиске группы допускаемой фактор–системой для дальнейшей редукции и поиска классов частных решений – инвариантных и частично-инвариантных. Именно этот путь будет рассмотрен в параграфе 2.4.2.3. Инвариантность уравнений магнитной гидродинамики в случае постоянного внешнего магнитного поляПодобного рода задачи свойственны, в частности, морской электродинамике,где постоянным магнитным полем служит геомагнитное поле Земли.
При этом возникают определенные упрощения в уравнении переноса вектора напряженности76магнитного поля (1.3). Рассмотрим их, разлагая вектор напряженности магнитногополя на две составляющие: = 0 + , где 0 = .Тогда, уравнение (1.3) примет вид:∂(0 + )1=∆(0 + ) + ∇ × ( × (0 + )).∂tЗдесь магнитное число Рейнольдса. Полагая, что слагаемые в правой частиодного порядка, получим:1∆ ~ ∇ × ( × (0 + )),и, следовательно, ~ (0 + ).Таким образом:~ |1 − 0 ≈ 0 .
<1Для задач морской гео- и гидрофизики магнитное число Рейнольдса есть величинамалая, поэтому индуцированное поле значительно меньше внешнего поля 0 .Исходя из этого, уравнение переноса вектора напряженности индуцированногомагнитного поля в безразмерном виде можно представить так:∂∂t=1∆ + ∇ × ( × 0 ).(2.19)Уравнение (2.8), при этом, также упрощается:(+ ( ∙ )) = − + ∆ + ( × 0 ) × 0 ,(2.8)′′где 0 (0,0, 0 ) индукция геомагнитного поля Земли. Именно в такой форме уравнениями пользуются многие исследователи [105]. Анализ этих уравнений позволяет сделать важное заключение: при заданном внешнем постоянном магнитномполе, происходит «расщепление» системы уравнений – уравнение движения (2.8)′′можно решать отдельно от уравнения переноса вектора индуцированного магнитного поля (2.19).
При этом, для решения последнего необходимо знать распределение вектора скорости в пространстве. Этим существенным упрощением активнопользуются при проведении моделирования гео- и гидрофизических процессов вокеане [109,110].77Теперь так же, как и в предыдущем параграфе, рассмотрим действие группырастяжения на преобразованную систему уравнений (2.8)′′ и (2.19). Можно предположить, что при этом постоянный вектор 0 будет преобразовываться точно также как и вектор . Несмотря на это, введем различные степенные законы преобразования.
С учетом этого, дополним (2.10) еще одной зависимостью:̂ ; = ̂ ; 0 = ̂0 .̂ ; = ̂ ; = = ̂ ; = После несложных преобразований, аналогичных проделанным выше, получим:̂∂1 ̂+̂ × (̂ 0 ).̂×=∆̂∇ ∂̂ 2Соответствующая система уравнений для показателей степеней примет вид=2−2 = 1→ {.{ ++−−1 = −1=1При получении этих соотношений учтены полученные при рассмотрении уравне = −1ния движения значения показателей {. = −1Таким образом, сделанное выше предположение подтвердилось – группарастяжений осталась прежней.Обращает на себя внимание еще один факт. Значение показателя = 2 получилось из–за наличия диффузионного слагаемого как в уравнении движения, таки в уравнении переноса индукции магнитного поля. Поэтому структура группы неизменится, если пренебречь – исходя из физической постановки задачи – этим слагаемым в одном из уравнений, оставив его в другом.
Достигаемое таким образомупрощение очевидно: диссипативное слагаемое повышает порядок уравнения спервого до второго.2.4. Поиск группы, допускаемой фактор–системой уравнений морскойэлектродинамикиКак уже указывалось, одна из основных возможностей группового анализа для интегрирования уравнений (системы уравнений) состоит в том, что знание78допускаемой группы позволяет находить новые решения по уже имеющимся. Этоособенно эффективно, если допускаемая группа многопараметрическая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
