Диссертация (1143492), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Пример таких векторныхполей представлен на рис. 4.26. В частном случае грань может иметь одну степень свободы: вдоль одной из осей или другого направления — и, следовательно, описыватьсяодним параметром. В этом случае векторное поле направлено, очевидно, вдоль соответствующего направления.Предположим, что оптимизируемая поверхность o () состоит из плоских граней()()o ≡ o (), = 1, . .
. , (см. рис. 4.26), отделенных бесконечно малыми прозрачнымипромежутками, где s = 0, d = 0 и = 0. Тогда формула (4.136) принимает вид∑︁ ^=2⟨o , ⟩o() () ,=1 = 1, . . . , ,(4.137)()где векторное поле o рассматривается отдельно на каждой грани o . В этом случае выражение (4.128) упрощается, поскольку на каждой грани имеет место равенство( ) = 0. Из-за наличия бесконечно малых промежутков коэффициенты отражения168s (), d () и черноты (), если они отличны от нуля, имеют разрывы первого родав вершинах граней. Это приводит к дельта-образному поведению их тангенциальныхградиента ∇ и дивергенции div на гранях.
Поясним это на примере обыкновенной производной (отсюда будет понятен смысл как для градиента, так и для дивергенции).()Предположим, что грань o представлена в локальных координатах интервалом [0, 0 ].Производная, например, коэффициента черноты равна′ () = (0)() + {′ }() − (0 )( − 0 ),где (·) — дельта-функция Дирака, {′ } — классическая производная [13, 52, 56]. Есликоэффициент черноты равен 1 на этой грани, то его производная равна′ () = () − ( − 0 ).Область в окрестности вершины ( , +1 ) на рис.
4.26 выпукла. Однако онаможет быть также вогнута. Поля скоростей , +1 в обоих случаях будут одинаковы. Заметим, что поля скоростей негладкие, хотя первоначальное предположение былоиное. Однако поверхность o () в окрестности вершины ( , +1 ) может быть аппроксимирована гладкой поверхностью с произвольной степенью точности. В таком случаеполя скоростей будут гладкими.
Переход к пределу даст необходимые поля скоростей.Это рассуждение основано на интуитивно очевидном факте, что вариационная производная ′ непрерывно зависит от поля скоростей и возмущений поверхности o (илиот возмущений поверхности , см. определение (4.59)). Впрочем, требуется математическое доказательство для обоснования вышеприведенных утверждений.Вычисление «направления» (векторного поля) o (4.126) сводится к вычислению(1)(2)(1)o и o .
Вычисление o просто: в «двухмерном» случае операторы ∇ и div совпадают, оба — обычные операторы дифференцирования (поскольку o () состоит из(1)линейных сегментов в координатах , ). Численная реализация o зависит от способадискретизации и квадратурных формул, используемых при решении прямой и сопря(2)женной задач. Если область выпукла в окрестности вершины ( , +1 ), то o = 0.(2)Если она вогнута в этой окрестности, то возникает необходимость вычисления o . Дляэтого мы аппроксимируем o () в окрестности вершины дугой ˜o касательной окружности, радиус которой равен (см. рис. 4.27), и после этого переходим к пределу при → 0.Чтобы получить приближение заменим поверхность o в соотношении (4.129) наповерхность ˜o .
Из формулы Эйлера для кривизны (4.99) получим, что нормальнаякривизна равна1(˜ , ) = − sin2 , ˜ ∈ ˜o169RRSo (p)n(φ2 )So (p)Dn(φ1 )Dn(φ)S̃oΩ̂Ωφr̃n(φ)yφ2ro (pi , pi+1 )zφ1xРисунок 4.27. Приближение оптимизируемой поверхности o () дугой ˜o касательнойокружности в окрестности вершины ( , +1 ). Область в окрестности вершины невыпукла.(поскольку главные кривизны поверхности ˜o в точке ˜ равны 0 и −−1 в главныхнаправлениях = 0 и = /2, соответственно).
Тогда(2))o (˜1= − ()∫︁0{︁}︁**^^[] (˜ , ) (˜ , ) + [] (˜ , ) (˜ , ) sin2 d,˜ ∈ ˜o ,где = (sin cos , sin sin , cos ),^ = (sin cos( + ), sin sin( + ), cos )(см. рис. 4.27). Поскольку на поверхности ˜od = dполучим⟨︀⟩︀(2)o , ˜o=−(︂∫︁21+∫︁2 + )︂1 + · ()(︂∫︁0*2)︂[] (˜ , ) (˜ , ) sin d d,170где = , + 1. Переходя к пределу при → 0, получим, что⟨︀(2)o , ⟩︀o ()== − ( o ) ·(︂∫︁2+∫︁2 + )︂1 +1()(︂∫︁*2)︂[] ( o , ) ( o , ) sin d d, (4.138)0где = , + 1, o ≡ o ( , +1 ) ≡ ( , +1 , )(см. рис. 4.27).4.2.10Модельная задачаЧтобы проверить формулу (4.138), рассмотрим модельную задачу, в которой градиент «конечно-параметрического» целевого функционала ^ выражается в явном аналитическом виде.
В этой задаче рассматривается перенос излучения в двухмерной области (см. рис. 4.28) = {(, ) : > 0} ∖ o ,гдеo ≡ o () = {(, ) : 6 1 , = 2 }, = (1 , 2 )— оптимизируемая поверхность, описываемая двумя параметрами 1 , 2 . Нагреваемойповерхностью d является ось абсцисс. Среда — поглощающая с коэффициентом поглощения , но не излучающая, то есть b = 0. Все поверхности черные: o = 1 и d = 1.Нагреваемая поверхность d холодная: b () = 0, ∈ d . Интенсивность черного телана оптимизируемой поверхности o равна b () = 1/, ∈ o (то есть поток черного тела на o равен 1). Все величины безразмерные.
Заметим, что в этой задаче компоненты(0)(1)(2)векторного поля o равны o = 0 и o = 0, следовательно, o = o .ySo (p) ≡ So (p1 , p2 )n(φ)Ωp2roDφSdxzp1xРисунок 4.28. Модельная задача. Направление , вообще говоря, не лежит в плоскости , .В этой задаче поток теплового излучения dinc (4.52), падающий на нагреваемую171поверхность, может быть легко вычислен, и оператор прямой задачи имеет вид2^[()]()≡ [(o ())]() =∫︁∫︁/20где = arcctg(︂exp −(︂1 − 2 2sin ′ sin )︂sin2 d sin ′ d′ ,)︂(см.
рис. 4.28).Целевой функционал (4.133) принимает вид^()=∫︁∞−∞(︁)︁2^[()]()− ¯dinc () d.Его частные производные равны ^=2где∫︁∞−∞(︁)︁^ ()^() [()]()− ¯dinc () d,(︂)︂∫︁^2 /2 2 ()() = −exp −.sin2 d sin 0sin sin Переходя от к , получим, что4 ^=1∫︁ ^4=−2∫︁∫︁0/20(︂)︂(︂)︂ 2exp −sin sin (︁)︁inc^sin d sin [()]() − ¯d () d2(4.139)и0∫︁0/2 2exp −sin sin (︁)︁inc^sin d cos [()]() − ¯d () d,2(4.140)где = 1 − 2 ctg .В этой задаче (в обозначениях формулы (4.138), см. также рис. 4.27)1 = 0,2 = ,() = (− sin , cos , 0), 1 ≡ (1, 0, 0), 2 ≡ (0, 1, 0),то есть 1 · () = − sin , 2 · () = cos , [] ( o , ) = 1/,⎧)︂ (︁(︂)︁⎪inc^⎨exp − 2[()]()−¯(), ∈ (0, ), ∈ (0, ),dsin sin * ( o , ) =⎪⎩0, ∈ (, 2).172После подстановки этих значений в формулу (4.138) формула (4.136) с 1 и 2 даетформулы (4.139) и (4.140), соответственно.4.2.11Общая схема процедуры вычисления градиента целевогофункционала (продолжение)Начало см.
в параграфе 4.2.7.Если оптимизируемая поверхность o определена конечным числом параметров = (1 , . . . , ), то есть может быть представлена в виде o (), то целевой функционал^является фактически функцией в конечномерном пространстве: ()≡ (o ()), см.(4.133). В этом случае градиент целевого функционала становится обычным градиентоми может быть вычислен следующим образом:^3. Градиент ∇(),см.(4.134), вычисляется по формуле (4.136), в которой векторноеполе определяется формулой (4.135).′3 . Если оптимизируемая поверхность o представляет из себя «двухмерный» многогранник, то градиент вычисляется по формуле (4.137).Примеры векторных полей, когда поверхность o () является «двухмерным» многогранником, представлены на рис. 4.26.4.2.12Тестовая задача с диффузными границамиВ этом разделе методика, описанная в предыдущих разделах, применяется к решению задачи оптимизации формы «двухмерной» области с плоскими диффузнымиграницами.
Все величины безразмерны.ЗадачаОбласть показана на рис. 4.29. Среда поглощающая с коэффициентом поглощения,равным = 0.2, и холодная, то есть b = 0. Граница области состоит из нагреваемойповерхности d , адиабатической поверхности f и поверхности нагревателя o , формакоторой должна быть оптимизирована. Область и поверхности симметричны относительно оси . Нагреваемая поверхность имеет видd = {(, 0) : || 6 4.5},она холодная, то есть b = 0, коэффициент ее черноты равен d = 0.5. Адиабатическиеповерхности имеют видf = {(, 0) : 4.5 < || 6 5} ∪ {(, ) : || = 5, 0 < < 1 },173где 1 — параметр, коэффициент их черноты равен f = 0.
Поверхность нагревателя —«двухмерная» многогранная поверхность, «опирающаяся» на адиабатические поверхности, и состоящая из граней, см. рис. 4.29. Каждая такая поверхность описываетсяс учетом симметрии = + 1 − ⌊( + 1)/2⌋ параметрами (⌊·⌋ — целая часть числа),включая 1 .Поверхность нагревателя излучает с постоянной интенсивностью черного телаb = 2/ (что соответствует потоку черного тела b = 2), коэффициент ее чернотыравен o = 0.9.
Цель оптимизации — найти форму поверхности нагревателя o , при которой обеспечивается постоянный тепловой поток на нагреваемой поверхности, равный¯dinc = 1.Heater surface (to be optimized): εo = 0.9, πIb,s = 22y1.51Medium: κ = 0.2, Ib = 00.5012345segmentsegmentssegmentssegmentssegmentsεf = 0εf = 0Design surface: εd = 0.5, Ib,s = 0-5-4-3-2-1012345xРисунок 4.29. Формы области в задаче с диффузными поверхностями, полученные в результате оптимизации.^Задача оптимизации сводится к минимизации целевого функционала ()(4.133),где = (1 , .
. . , ) — параметры, описывающие поверхность нагревателя. Градиент(4.134)–(4.136) целевого функционала вычисляется при помощи решения прямой и обратной задач. Обе задачи решаются численно методом, описанным в [27, 230] (это вариант метода дискретного переноса).
Описанный в этих статьях метод применяется крешению осесимметичных и трехмерных задач, однако он в равной степени применими двухмерным задачам.Форма области задавалась явно, и для каждого нового значения вектора параметров строилась новая численная сетка. Такое перестроение сетки вносило дополнительную ошибку. Кроме того, задача минимизации имеет ограничения: параметрыординаты неотрицательны и (при > 3) параметры-абсциссы упорядочены и ограничены интервалом изменения (или разность между смежными абсциссами неотрицательнаи ограничена интервалом изменения).
При таких обстоятельствах использование мето-174да сопряженных градиентов (при > 2) в этой задаче минимизации проблематично.Поэтому использовался простейший метод наискорейшего спуска.Задача решалась последовательно относительно числа параметров , начиная с^ ) очевидно имеет единственный мини = 1. При = 1 целевой функционал (1мум, который не зависит от начального приближения. Начальные приближения для > 2 выбирались близкими к решениям, полученным для меньших .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
