Диссертация (1143492), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Принимая во внимание это решение, можносделать оценки параметров в возможных кусочно-постоянных (технически реализуемых) решениях: число интервалов постоянства, начальные приближения для значенийпараметров. Кроме того, на рис. 4.14 представлены кусочно-постоянные решения, полученные параметрической регуляризацией с ограничением hnet > 0: Par555i – по 5интервалов на каждом из сегментов поверхности нагревателя, точки разрыва равны0.6 и 0.8 фиксированы, решение описывается 27 параметрами, Par434i – 4 + 3 + 4 интервалов (19 параметров) и Par313i – 3 + 1 + 3 интервалов (11 параметров). На рис.
4.15показаны распределения суммарного теплового потока hnet на поверхности нагревателя,131соответствующие полученным решениям, и на рис. 4.16 — распределения суммарноготеплового поток dnet на нагреваемой поверхности.10Tikh1mpPar555i9Par434iPar313iqh876540.40.50.60.70.80.91.0sРисунок 4.14. Распределения теплового потока h на поверхности нагревателя, полученныемодифицированной регуляризацией Тихонова первого порядка и параметрической регуляризацией на множестве кусочно-постоянных функций с ограничением hnet () > 0 (задача 4).Здесь следует отметить, что задачи оптимизации, поставленные как обратные задачи, несмотря на формальное сходство с собственно обратными задачами, принципиально от последних отличаются.
Действительно, в задачах оптимизации (в отличие отсобственно обратных задач) имеется некоторая свобода в выборе решения, наиболееподходящего с технической (инженерной) точки зрения, при этом цель проектирования dnet практически не изменяется. Это наглядно демонстрируется в рассмотренныхтестовых задачах.Интересно сравнить полученные решения, для которых имеет место ограничениеhnet > 0, с решениями этой же задачи, но без ограничений. На рис. 4.17 показанырешения h задачи, полученные итерационной регуляризацией (Iter) и стандартной имодифицированной регуляризацией Тихонова первого порядка (Tikh1 и Tikh1m, соответственно) без ограничения hnet () > 0.
На рис. 4.18 показаны распределения суммарного теплового потока hnet на поверхности нагревателя, соответствующие полученнымрешениям, и на рис. 4.19 — распределения суммарного теплового потока dnet на нагреваемой поверхности. Рисунки 4.16 и 4.19 демонстрируют, что полученные решения даютпрактически такие же распределения суммарного теплового потока dnet на нагреваемойповерхности, как и решения без ограничения.Заметим, что в [91] вместо распределения теплового потока h на поверхности132Tikh1mp5Par555iPar434i4h3qnetPar313i2100.40.50.60.7s0.80.91.0Рисунок 4.15.
Распределения суммарного теплового потока hnet на поверхности нагревателя(задача 4).-1.90dqnet-1.95-2.00DesignTikh1mp-2.05Par555iPar434iPar313i-2.100.050.100.150.20s0.250.300.35Рисунок 4.16. Распределения суммарного теплового потока dnet на нагреваемой поверхности(задача 4).133Tikh1mp8IterTikh1Tikh1m6qh75430.40.50.60.7s0.80.91.0Рисунок 4.17.
Распределения теплового потока h на поверхности нагревателя, полученныеитерационной регуляризацией и регуляризацией Тихонова первого порядка (задача 4).Tikh1mpIter3Tikh1Tikh1mhqnet210-10.40.50.60.7s0.80.91.0Рисунок 4.18. Распределения суммарного теплового потока hnet на поверхности нагревателя(задача 4).134-1.90dqnet-1.95-2.00DesignTikh1mp-2.05IterTikh1Tikh1m-2.100.10.2s0.3Рисунок 4.19. Распределения суммарного теплового потока dnet на нагреваемой поверхности(задача 4).нагревателя искомым решением является распределение суммарного теплового потокаhnet .
Это вызвано особенностями метода решения обратных задач оптимального проектирования (для сложного теплообмена), предложенных в [104, 116]. Поэтому решениянельзя сравнить непосредственно. Однако распределения суммарного теплового потока hnet (соответствующие решениям h ), показанные на рис.
4.15 и 4.18, можно сравнить с решениями, полученными в [91], наряду с соответствуюшими распределениямиdnet . Наибольшее отклонение от искомого суммарного потока dnet здесь равно приблизительно 2.5%. В [91] оно равняется приблизительно 5% (для решения, полученногорегуляризацией Тихонова нулевого порядка) и 4% (для решения, полученного при помощи параметрической регуляризации, отличной от кусочно-постоянной). Кроме того,что весьма существенно, последнее решение hnet из [91] не удовлетворяет ограничениюhnet > 0, то есть абсурдно с инженерной точки зрения.4.1.9Регулярное решение осесимметричных обратных задач оптимизации граничных значенийВажным и широким классом являются задачи оптимизации граничных значенийв осесимметричных задачах переноса излучения, поскольку многие высокотемпературные установки обладают осевой симметрией или же могут с достаточно высокой степенью точности считаться осесимметричными.
В работе [35] рассматриваются задачи,аналогичные или близкие к тем, которые изучались в декартовых координатах. Этизадачи отражают некоторые особенности реальных задач. Для решения применяются135те же методы, что и для задач в декартовых координатах.4.1.10РезюмеПредставленный способ решения задач оптимизации непосредственно распространяется на задачи, в которых присутствуют различные способы тепло- и массопереноса.Преимущества этого способа следующие: первое, регуляризации подвергается сама обратная задача, а не ее части, как в других подходах; второе, регуляризация происходитпри помощи решения прямой и сопряженной задач, причем сопряженная задача линейна, даже если прямая задача нелинейна.
Как прямая так и сопряженная задача могутбыть решены любым доступным достаточно точным и быстрым методом.Важно еще раз отметить, что сопряженная задача может решаться той же программой (пакетом программ), что и прямая. Поэтому градиент целевого функционаламожет быть вычислен любой доступной программой, способной обеспечить необходимую точность. Это дает принципиальное преимущество перед автоматическим дифференцированием, которое не может быть применено к программному обеспечению сзакрытым исходным кодом.4.2Оптимизация формы области в задачах переносаизлучения с диффузными и зеркальными границамиЭтот раздел основан на результатах статей [235, 241].4.2.1Постановка обратной задачи геометрической оптимизацииПрямая задачаРассматривается радиационный теплоперенос в стационарной постановке в области ⊂ R3 , содержащей серую поглощающую и излучающую среду (рассеянием дляпростоты пренебрегаем).
В этом случае перенос излучения описывается стационарнымуравнением переноса излучения [32, 143, 196] · ∇ + = b ,где ≡ (, ) — интенсивность излучения,2 4b ≡ b () =(4.47)136— интенсивность излучения черного тела.Мы предполагаем, что граница области состоит из оптимизируемой поверхности o , нагреваемой поверхности d и свободной от оптимизации поверхности f .Все поверхности серые (то есть без спектральной зависимости) и диффузно-зеркальноотражающие. В этом случае граничное условие имеет видinc^ + d () + b (),(, ) = s (, ) ∈ o ∪ d ∪ f ,n < 0,(4.48)где s ≡ s (), d ≡ d () и ≡ () — коэффициенты зеркального и диффузногоотражения и коэффициент черноты, соответственно, причем имеет место равенствоs + d + = 1,^ = − 2n (4.49)— закон зеркального отражения (см.
рис. 4.20), ≡ () — внешняя нормаль к границев точке , n = · ,∫︁ inc () =n′ >0n′ (, ′ ) d ′(4.50)— поток теплового излучения, падающий на поверхность, b — интенсивность черноготела на поверхности.nSDΩ̂ΩРисунок 4.20. Зеркальное отражение.Обратная задачаЗадача геометрической оптимизации формулируется следующим образом: при заданных распределениях температуры на всех поверхностях найти форму оптимизируемой поверхности o , которая позволила бы получить заданный тепловой поток нанагреваемой поверхности d . Чтобы формализовать задачу, введем оператор прямойзадачи соотношением(o ) = dinc(4.51)(см. рис. 4.21), гдеdinc () = inc (), ∈ d ,(4.52)137— поток теплового излучения, падающий на нагреваемую поверхность.
В общем случае оператор зависит не только от (формы) самой поверхности o , но также и отраспределения интенсивности черного тела b на ней.SoASfSfqdincSdРисунок 4.21. Оператор отображает форму оптимизируемой поверхности o в распределение теплового потока dinc на нагреваемой поверхности.Задача геометрической оптимизации ставится во введенных обозначениях как обратная задача: пусть задан тепловой поток ¯dinc на нагреваемой поверхности d , найтиформу оптимизируемой поверхности o такую, что(o ) = ¯dinc .(4.53)Обратная задача может быть сформулирована как задача минимизации: найти формуповерхности o из некоторого заданного класса, которая минимизирует целевой функционал⃦⃦2(o ) = ⃦(o ) − ¯dinc ⃦ .(4.54)dМы предполагаем, что нагреваемая поверхность диффузно отражающая, то естьна ней коэфициент зеркального отражения равен нулю: s = 0.
В этом случае на нагреваемой поверхности вместо падающего потока dinc можно задать результирующийтепловой поток(︀)︀dnet = b − dinc .Метод решения задачи геометрической оптимизации не изменится.4.2.2Градиент целевого функционалаВ градиентных методах минимизации необходимо знать (находить) градиент целевого функционала. В задаче геометрической оптимизации целевой функционал (o )зависит от поверхности o . Однако множество поверхностей не имеет никакой естественной структуры линейного векторного пространства, поскольку поверхности нельзяскладывать как вектора, и, поэтому, обычное определение градиента неприменимо.
Темне менее, градиент функционала (o ) может быть определен как обобщение понятияпроизводной по направлению.138Производная по направлению векторного поля и градиентСогласно определению производная функции (), = (1 , . . . , ) ∈ R , по направлению векторного поля = (1 , . . . , ) ∈ R , есть⃒⃒d( + ) − ()= ( + )⃒⃒ = ∇() · .d () = lim→0d=0def(4.55)Производная по направлению обобщает понятие частной производной. Она зависит линейно от . (Заметим, что слагаемое · ∇ в уравнении переноса излучения (4.47) этопроизводная интенсивности по направлению .)Если функция имет вид () = |() − |2 ,где — отображение из R в R , и = (1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
