Диссертация (1143492), страница 27
Текст из файла (страница 27)
рис. 4.23), символ Tобозначает транспонирование,^ = − 2n (4.73)(см. рис. 4.23),,inc() =∫︁n >0n (, ) d, ∈ .(4.74)Интегральное тождество (4.72) определяет слабое решение прямой задачи в возмущенной области через интенсивность , см. рис. 4.22.145Вспомогательные формулыПоскольку = + ,где — единичная матрица, и — якобиева матрица векторного поля (рассматриваемого как отображение) , имеют место соотношения2 = −1 = − + ( ),| T |−1| T |2= 1 − · T + ( ),2= 1 + · T + ( ),где (2 ) и (2 ) — слагаемые порядка малости 2 или выше при → 0+ (см.
[15]).Следовательно⃒⃒⃒d T ⃒⃒d⃒det( )⃒= div , ⃒= − T,dd=0+=0+⃒d T ±1 ⃒⃒= ∓ · T| | ⃒ ,d=0+⃒⃒d T| | det( )⃒⃒= div − · T ≡ div ,d=0+⃒⃒(︀)︀dT ⃒⃒= · T′ ≡ ′ () = − d =0+(︀)︀TT= − T = −( ) = − ∇ n + ( ) (4.75)def(здесь использованы соотношения (4.146) и (4.147), заметим, что ′ · = 0), и⃒⃒dn ⃒⃒= · ′ ≡ · ′ .d=0+Из соотношения (4.73) следует⃒⃒d^ ≡^ () =^ ⃒= −2 (n′ + n ′ ) ≡ −2 [( · ′ ) + n ′ ]⃒d=0+′′def^n и = ^′ · ^ = 0, n = −^ ). Следовательно(заметим, что ⃒⃒d ˙ )^^ + ∇ (, )^ ·^ ′,= (, (, )⃒⃒d=0+(4.76)146где ∇ — градиент интенсивности относительно , то есть∇ =1 +sin (4.77)где = (cos cos , cos sin , − sin ), = (− sin , cos , 0).Из соотношения (4.76) следует соотношение^ ·^ ′ = −2(, ) · ′ ,∇ (, )где[︁]︁[︁]︁^^ ≡ (, ) = ∇ (, ) + ∇ (, ) n .n(4.78)Используя стандартные правила дифференцирования интегралов, зависящих отпараметра, получимdd(︂ ∫︁)︂⃒⃒n d ⃒⃒n >0==0+∫︁n >0˙ d +n ∫︁n >0( · ′ ) d(производная интеграла по переменным пределам интегрирования при = 0+ равнанулю), в частностигде⃒∫︁d ,inc ⃒⃒inc ()⃒= ˙ () +( · ′ ) d = ˙inc () + · ′dn >0=0+inc˙ () =∫︁n >0и ≡ () =Производная от интегралаобразом.
Заметим, что∫︀n <0˙ ) d,n (,∫︁n >0 ∈ , (, ) d.(4.79)(4.80). . . d в левой части (4.72) вычисляется таким же⃒d ⃒⃒ ()= ∇b () · .d b ⃒=0+Субстанциальная производнаяПосле дифференцирования интегрального тождества (4.72) по , перейдем к пределу при → 0+ (предполагается, что lim→0+ = и lim→0+ ,inc = inc ), и используемвспомогательные формулы, полученные выше. В результате получим, что субстанци-147альная производная ˙ определяется интегральным тождеством∫︁ ∫︁˙ (− · ∇ + ) d d∫︁ ∫︁[︀]︀ · T∇+(−·∇+)divd d+ S2∫︁ {︂ ∫︁˙ dn +n >0]︂}︂[︂ [︁∫︁]︁ (︀)︀dinc′′˙ )^ − 2 · ++n s (,˙ + · d dn <0∫︁ {︂ ∫︁+ (n div + · ′ ) dn >0[︂]︂}︂∫︁inc′^ + d+s (, )+ b (n div + · ) d dn <0∫︁∫︁= (b div + ∇b · ) d d.
(4.81)S2S2Упростим это тождество.Из граничного условия (4.48) и тождестваn div + · ′ = n div − ( ) · ∫︀следует, что последний интеграл ( {. . .} d) в левой части (4.81) равен∫︁ ∫︁′S2 (n div + · ) d d ≡∫︁ ∫︁S2 [n div − ( ) · ] d d.(4.82)Используя равенство (4.69) с (div ) вместо и тожества · ∇[(div ) ] = ( · ∇) div + div [( · ∇) ] и( · ∇) = ,получим соотношение∫︁ ∫︁S2 (− · ∇ + ) div d d +∫︁ ∫︁n (div ) d d∫︁ S2∫︁=S2[ div( ) + b div ] d d. (4.83)148Из равенстваdiv [ ( ) ] = [∇ · ( )] + [div ( ) + ( ) · ∇]и формулы Гаусса-Остроградского следует соотношение∫︁ ∫︁S2 [div ( ) + ( ) · ∇] d d −∫︁ ∫︁[( ) · ] d d∫︁ ∫︁=−[∇ · ( )] d d.
(4.84)S2S2Заметим, что интенсивность в соотношении (4.84) в общем случае не гладкая (она может быть разрывна, если область не выпукла, см., например, рис. 4.24), и применениеформулы Гаусса-Остроградского, вообще говоря, неправомерно. Однако интенсивность можно аппроксимировать последовательностью гладких функций, которые стремятся к . Для таких функций соотношение (4.84) справедливо. Несложно показать, чтопосле перехода к пределу соотношение (4.84) будет справедливо для интенсивности .Из соотношений (4.83) и (4.84) следует, что сумма второго и последнего [равногоинтегралу (4.82)] интегралов в левой части равенства (4.81) равна∫︁ ∫︁S2 [( ) · ∇ + (− · ∇ + ) div ] d d∫︁ ∫︁+ [n div − ( ) · ] d d S2∫︁ ∫︁{b div − ∇ · ( )} d d.
(4.85)=S2В результате интегральное тождество (4.81) с учетом соотношения (4.85) и равенства = ( · ∇)149принимает вид∫︁ ∫︁˙ (− · ∇ + ) d d∫︁ {︂ ∫︁˙ d+n n >0]︂}︂[︂ [︁∫︁]︁ (︀)︀dinc′′˙ )^ − 2 · +˙ + · d d+n s (,n <0∫︁ ∫︁{∇ · [( · ∇)] + (∇b · )} d d=∫︁ S2∫︁≡[ · ∇(∇ · ) + (∇ · )] d d, (4.86)S2S2где последнее тождество следует из равенства · ∇(∇ · ) = ∇ · [( · ∇)] + ∇( · ∇) · и уравнения переноса излучения (4.47), вектора ′ , и определяются формулами (4.75), (4.78) и (4.80), соответственно.Дифференциальная формулировка задачи, определяющей субстанциальнуюпроизводнуюФормулировка задачи, определяющей субстанциальную производную, в виде уравнения и граничных условий не требуется.
Тем не менее такая формулировка представляет интерес.Эта задача выводится так же, как прямая задача (4.47), (4.48) выводится из ееинтегральной формулировки (4.70). Действуя таким образом, получим, что субстанциальная производная ˙ является решением задачи, которая состоит из неоднородногоуравнения переноса излучения · ∇˙ + ˙ = · ∇(∇ · ) + (∇ · ), ∈ , ∈ S2и граничных условий[︁]︁ (︀)︀′˙˙^n < 0,(, ) = s (, ) − 2 · + d ˙inc + · ′ , ∈ o ,inc˙ ) = s (,˙ )^ + d ˙ ,(, ∈ d ∪ f , n < 0.РезюмеСубстанциальная производная ˙ определяется интегральным тождеством (4.86).150ΩDΩSnI =1nDSnnI =0I =0I =1v ≡ constΩDI 0 = −v · ∇ISn0I =0nI0 = 0I 0 = −v · ∇Iv ≡ constΩDSnnI0 ≡ 0Рисунок 4.24. «Двухмерная» прямая задача, демонстрирующая возможное наличие сингулярностей в вариационной производной ′ , если область не выпукла (бесконечный цилиндрне принадлежит области и излучает с единичной интенсивностью).
Верхние рисунки показывают интенсивность для двух различных направлений . Нижние рисунки показываютвариационную производную ′ для этих же двух направлений. Субстанциальная производная˙ ) ≡ 0. Направления , вообще говоря, не лежат в плоскоститождественно равна нулю: (,рисунков.4.2.4ПримерЗдесь рассматривается простая, но показательная, прямая задача, в которой вариационная производная ′ может быть выражена явно. Эта задача служит в качествепримера, показывающего, что вариационная производная может иметь сингулярности,если перенос излучения происходит а невыпуклой области, при этом граница областии коэффициенты уравнения переноса излучения гладкие.Рассмотрим перенос излучения в области вне «двухмерного» цилиндра, см.рис.
4.24. Поверхность цилиндра черная, то есть = 1, она излучает с постояннойинтенсивностью b = 1. Поглощение в среде отсутствует, то есть = 0. Все величины безразмерные. Верхние рисунки на рис. 4.24 показывают интенсивности для двухразличных направлений . Эти рисунки иллюстрируют хорошо известный факт, чтоинтенсивность излучения может быть разрывна, даже если граница области и коэффициенты уравнения переноса излучения гладкие. Нижние рисунки на рис. 4.24 показывают вариационную производную ′ , соответствующую постоянному векторномуполю (направленному вертикально вверх), для тех же направлений. Субстанциаль-151˙ ) ≡ 0 (поскольку = const).
Поэтомуная производная тождественно равна нулю: (,вариационная производная равна ′ (, ) = − · ∇(, ). На левом нижнем рисункеона сингулярна на лучах, касательных к цилиндру и направленных вдоль направления, и обращается в ноль, если = const. На правом нижнем рисунке вариационнаяпроизводная тождественно обращается в ноль.4.2.5Вывод интегрального тождества, определяющего вариационную производнуюВ этом разделе выводится интегральное тождество, определяющее вариационнуюпроизводную ′ .
Оно выводится из интегрального тождества (4.86), определяющего суб˙ с использованием соотношения (4.67), выражающего ˙станциальную производную ,через ′ . Предполагается, что граница достаточно гладкая.Интегральное тождествоПодставим соотношение (4.67) в интегральное тождество (4.86) и выполним интегрирование по частям. Если область выпуклая, то можно использовать соотношение(4.68) с ∇ · и вместо и , соответственно, то есть∫︁ ∫︁S2(∇ · ) ( · ∇) d d∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁n (∇ · ) d d. (4.88)[ · ∇(∇ · )] d d +=−S2S2Из определений (4.79), (4.62) и соотношения (4.67) получимinc˙ () = ′,inc() +[︂ ∫︁n >0]︂n ∇(, ) d · , ∈ .(4.89)В результате из интегрального тождества (4.86), соотношений (4.67), (4.88), (4.89)и равенства = 0 на поверхностях d и f , следует, что вариационная производная ′определяется интегральным тождеством∫︁ ∫︁ ′ (− · ∇ + ) d d[︂]︂}︂∫︁ {︂ ∫︁∫︁ ′,inc′′^+n d +n s (, ) + d d dn >0n <0}︂∫︁ {︂ ∫︁[︁]︁d′′+n · − 2s · + · d d = 0, (4.90)on <0S2152где^ ≡ (, ) = − ∇(, ) + s ∇(, )∫︁d+n ∇(, ) d , n >0 ∈ o , n < 0.
(4.91)Интегральное тождество (4.90), которое должно выполняться для любой тестовой функции , определяет вариационную производную ′ и, следовательно, оператор ′ (o ) через определение (4.63). Интегральное тождество (4.90) является слабой (обобщенной)формулировкой инфинитезимальной задачи (sensitivity problem).Преобразуем выражение для . Сначала заметим, что имеет место представление∇ = ∇ + (∇ · ) , ∈ ,(4.92)где ∇ — тангенциальный градиент [см.
(4.141)], то есть ∇ · = 0. Используя этопредставление, граничное условие (4.48), соотношение (4.142) и соотношение∫︁n >0n ∇ (, ) d = ∇ inc (), ∈ ,(4.93)получим(, ) = (, ) + n (, ) , ∈ o ,n < 0,(4.94)где касательная компонента вектора относительно поверхности равна}︂ inc ()^+ ∇[b ()] , (, ) = − (∇ s ) (, ) + (∇ d ){︂ ∈ o ,n < 0, (4.95)а нормальная компонента равна^ ·n (, ) = − ∇(, ) · + s ∇(, )∫︁d+n [∇(, ) · ] d , n >0 ∈ o , n < 0.Далее используем представление = + n , ∈ ,(4.96)где и n — касательная и нормальная компоненты вектора относительно поверхности, соответственно. Из представлений (4.96), (4.92) и уравнения переноса излучения153(4.47) следует соотношение∇(, ) · = −1{[ · ∇ (, )] + [(, ) − b ()]} ,n ∈ .(4.97)Используя соотношение (4.97), граничное условие (4.48) и соотношений (4.93),∫︁n >0[ · ∇ (, )] d = div (),^n = −n , ∈ ,^ = ,получим, что нормальная компонента вектора равна{︂[︂]︂inc()1^ + d · ∇ s (, )+ b ()n (, ) =n[︂]︂inc()^ + d+ s (, )+ b () − b ()[︁(︁)︁]︁ }︂^^+ s · ∇ (, ) + (, ) − b ()]︂}︂{︂[︂∫︁d(, ) d − 2b () ,−div () + n >0 ∈ o ,n < 0.
(4.98)РезюмеВариационная производная ′ определяется интегральным тождеством (4.90), гдевектор вычисляется по формулам (4.94), (4.95), (4.98), вектора ′ , и определяются формулами (4.75), (4.78) и (4.80), соответственно.Интегральное тождество в случае невыпуклой границыЕсли область не является выпуклой, то интенсивность (·, ), вообще говоря,разрывна вдоль поверхностей, образованных прямыми, параллельными направлениям, и касательными к поверхности , см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
