Диссертация (1143492), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Формы области, полученные в результате оптимизации, показаны на рис. 4.29. На рис. 4.30 показаны соответствующие распределения теплового потока dinc , падающего на нагреваемуюповерхность.1.1qdinc1.051123450.950.901segmentsegmentssegmentssegmentssegments234xРисунок 4.30. Распределения теплового потока, падающего на нагреваемую поверхность, взадаче с диффузными поверхностями.4.2.13Тестовые задачи с диффузно-зеркальными границамиВ этом разделе методика, описанная в предыдущих разделах, применяется к решению задач оптимизации формы «двухмерных» областей с плоскими диффузно-зеркальнымиграницами.
Эти задачи частично адаптированы из задач, представленных в [93]. Всевеличины безразмерны.Детали численной реализацииПрямая и обратная задачи решались методом дискретного переноса (Discrete Transfer Method) [183]. Каждая грань области подразделялась на равные интервалы (поверхностные элементы) так, что их число было равно 200 на единицу длины. Была использована угловая дискретизация вида × : интенсивность излучения была представлена175в направлениях , = (sin cos , sin sin , cos ), = 1, . .
. , , = 1, . . . , 4 ,гдеcos =cos ˜−1 + cos ˜,2и =˜ =,2( − 0.5).2Соответствующие квадратурные веса равны, =(cos ˜−1 − cos ˜ ),то есть сумма весов равна 4. В следующих ниже задачах были использованы значения = 8 и = 500.Квадратуры, основанные на угловой дискретизации вида × , имеют не оченьвысокий порядок точности. Однако практически все квадратурные схемы на сфере непозволяют трактовать зеркальное отражение, поскольку они не предполагают какоголибо аналитического представления функции на сфере, и поэтому интенсивность зеркально отраженного луча, вообще говоря, не определена. В разделе 3.1 предложены квадратурные схемы PQLA, основанные на квазилинейной угловой интерполяциифункций на сфере. Однако в тестовых задачах требуется вычисление градиента поугловым переменным ∇ . В рамках квадратурных схем PQLA вычисление такогоградиента является нетривиальной задачей.
Поэтому для простоты была использованаугловая дискретизация вида × , которая сравнительно легко позволяет вычислятьугловой градиент.В методе дискретного переноса интенсивность излучения различных лучей, покидающих границу в одном и том же направлении, кусочно постоянна относительнопространственных переменных, поскольку интенсивность постоянна на каждом поверхностном элементе. Это ведет к дополнительной ошибке при вычислении градиента ∇ относительно угловых переменных. Чтобы уменьшить ошибку, выполнялась интерполяция интенсивности излучения по угловым переменным между узловыми точками насфере.Минимизация целевого функционала (4.133) осуществлялась методом сопряженных градиентов, вариант Полака-Рибьера [202], при помощи процедуры fmin_cg пакетанаучных вычислений SciPy [149] в среде языка программирования Python.176Задача 1Область показана на рис.
4.31. Граница области состоит из вертикальной поверхности нагревателя (коэффициент черноты = 1, поток черного тела b = 1), горизонтальной нагреваемой поверхности (коэффициент черноты = 1, поток черного телаb = 0), и двух зеркально-диффузных поверхностей рефлекторов (коэффициент зеркального отражения s = 0.65, коэффициент диффузного отражения d = 0.25, коэффициент черноты = 0.1, поток черного тела b = 0). Среда прозрачна, то есть = 0. Оптимизации подлежит положение рефлекторов, управляющие параметры —координаты левого верхнего ребра (1 , 2 ) между рефлекторами.Reflectoror(p1 , p2 )Heaterε=1qb,s = 1Reflect(0, 0)(1, 1)Design surfaceε = 1, qb,s = 0(1, 0)Рисунок 4.31.
Область, форма которой управляется двумя параметрами = (1 , 2 ).Цель оптимизации — найти положение рефлекторов, при котором обеспечиваетсяпостоянный тепловой поток на нагреваемой поверхности, равный ¯dinc = 0.7. На рис. 4.32представлена контурная карта целевого функционала, как функции координат (1 , 2 ).На рисунке часть карты — ниже линии, соединяющей точки (0, 0) и (1, 1) — не показана, поскольку в этой области значения целевого функционала далеки от минимальных.Добавление этой области сильно искажает контурную карту, и делает ее гораздо менееинформативной: уменьшается разрешающая способность карты. В области параметров,показанной на рисунке, есть только один локальный минимум целевого функционала,и, поэтому оптимальные параметры могут быть найдены при помощи одной только градиентной (локальной) минимизации.
Эта задача иллюстрирует минимизацию методомсопряженных градиентов, при этом градиент целевого функционала вычисляется припомощи сопряженной задачи.На рис.4.32 изображена также траектория спуска, начинающаяся в точке 0 =^ ) = 1.8 × 10−2 . Найденные опти(0.5, 0.5), в которой целевой функционал равен (0мальные параметры равны opt = (0.243, 0.816), при этом целевой функционал равен^ opt ) = 9.2 × 10−5 . Минимум был найден после 8 итераций, при этом целевой функци(онал и его градиент вычислялись по 28 раз каждый. Начальная и оптимальная формы1770.0140.0080.0280.02410.760.000.60.0200.012p20.032040.00.8020.00.0360.00.90.0 0.012 141.00.001.021434 20.00.0.0330280 0.0206240.
0..0222 80 .0.0100 610.00.011.10.5810.00.0160.0120.40.0080.30.10.00.00410.0.01200.2160.1 0.00.10.20.30.4p10.50.60.70.80.90.000Рисунок 4.32. Контурная карта целевого функционала в задаче 1, и траектория градиентногоспуска, начинающаяся в точке 0 = (0.5, 0.5). Конечная точка opt (глобального минимума)обозначена символом .178области показаны на рис. 4.33. Начальное и оптимальное распределения теплового потока на нагреваемой поверхности показаны на рис. 4.34.(1, 1)poptp0(0, 0)(1, 0)q(x)Рисунок 4.33.
Начальная и оптимальная формы области в задаче 1, 0 = (0.5, 0.5), opt =(0.243, 0.816).0.80.70.60.50.40.30.20.10.00.0qdq0qopt0.20.4x0.60.81.0Рисунок 4.34. Начальное (0 ) и оптимальное (opt ) распределения теплового потока на нагреваемой поверхности в задаче 1, ¯d — целевое распределение.Дополнительно были проведены вычисления с начальной точкой 0 = (0, 1), в^ ) = 2.2×10−2 . Минимум был достигнут после 3которой целевой функционал равен (0х итераций, при этом целевой функционал и его градиент вычислялись по 9 раз каждый.Соответствующий путь спуска на рисунке не показан.Задача 2В этой задаче область такая же, как и в задаче 1, см.
рис. 4.31. Различие в том, чтоповерхности рефлекторов — зеркальные, коэффициент зеркального отражения на нихравен s = 1. Среда прозрачная. Цель оптимизации — найти положение рефлекторов,при котором обеспечивается постоянный тепловой поток на нагреваемой поверхности,равный ¯dinc = 0.7.На рис.4.35 представлена контурная карта целевого функционала, как функциикоординат (1 , 2 ). В отличие от задачи 1 в этой задаче целевой функционал имеетнесколько локальных минимумов, что совершенно обычно для задач оптимизации.
Более того, имеются два глобальных минимума с почти не отличающимися значениями целевого функционала, они обозначены символом на рис. 4.35. Для нахождения179глобального минимума был использован комбинированный алгоритм, объединяющий(глобальный) простой случайный поиск и (локальный) метод сопряженных градиентов.Комбинированный алгоритм заключается в следующем: сначала используется случайный поиск (несколько сот испытаний) для нахождения начального приближения длялокальной минимизации градиентным методом. В качестве начального приближениявыбирается одна или несколько точек, в которых целевой функционал принимает наименьшие значения.
Чтобы понять, как работает комбинированный алгоритм, процедураминимизации была выполнена многократно. В подавляющем большинстве случаев случайный поиск давал начальную точку, которая лежала вблизи долины в левой частирис. 4.35, и последующая градиентная минимизация находила первый глобальный минимум. Второй глобальный минимум — в узкой серповидной долине правее и нижецентра рисунка — достигался в меньшинстве случаев. Описанная ситуация совершенноестественна, поскольку первый минимум лежит в широкой, а второй — в узкой долине.На рис. 4.35 изображены также две траектории спуска, начинающиеся в точках(1)(2)0 = (−0.6, 1.4) и 0 = (0, 1).
Соответствующие конечные точки (двух глобальных(1)(2)минимумов) — opt = (−0.900, 0.900) и opt = (0.006, 0.813) с практически одинаковыми−5^ (1)^ (2)значениями целевого функционала (opt ) = (opt ) = 3.6 × 10 . Первый минимумбыл достигнут после 3-х итераций, при этом целевой функционал и его градиент вычислялись по 11 раз каждый. Второй минимум был достигнут после 4-х итераций, приэтом целевой функционал и его градиент вычислялись по 14 раз каждый. Оптимальныеобласти представлены на рис.
4.36. Соответствующих распределения теплового потокапоказаны на рис. 4.37. Заметим, что минимум в правой верхней долине на рис. 4.35равен приблизительно 7 × 10−5 , что вполне удовлетворительно.Таким образом, в этой задаче есть две оптимальных формы области. Вторая представляется более оптимальной, поскольку она меньше первой. Однако эту форму труд(2)нее найти, поскольку область притяжения точки глобального минимума opt более уз(1)кая. В то же время, первая точка глобального минимума opt может быть сравнительнолегко найдена.Задача 3В этой задаче область такая же, как в задаче 2 с зеркальными поверхностямирефлекторов и прозрачной средой. Но теперь форма области контролируется тремяпараметрами, третий параметр — высота поверхности нагревателя, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
