Диссертация (1143492), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В сделанных предположениях обобщенное линейное уравнение Больцмана (5.16) принимает вид + · ∇ = ( − ℐ) ℳ + ,(5.21)где ℐ — тождественный оператор.Если средняя длина свободного пробега мала и имеет порядок , где — малыйпараметр, то коэффициент ослабления представляется в виде(︂)︂1¯ ,,(, ) = (5.22)где коэффициент ослабления ¯ не зависит от , см.
параграф 5.A.1. В этом случае ядро (5.13) имеет вид(︂)︂1 ¯(, ) = 2 ,,(5.23)где ядро ¯ не зависит от . Предполагается, что альбедо рассеяния имеет вид = 1 − 2 .(5.24)Это означает, что рассеяние в среде доминирует, а поглощение мало и имеет порядок2 . В заключение предполагаем, что плотность источников мала, имеет порядок , ипредставляется в виде = ¯ .(5.25)5.4.2Уравнение и представление решенияС учетом сделанных предположений обобщенное линейное уравнение Больцманапринимает вид + · ∇ =[︂ ∫︁[︀]︀ 22= (1 − ) − ℐ 0]︂1 ¯(︁ )︁ ,( − , − , ) d + 2 ¯ . (5.26)Чтобы найти асимптотическое решение, мы представляем плотность в виде(, , ) = o (, o , ) + i (, i , ),гдеo = и i = ,196 o и i — внешнее и внутреннее решения, соответственно. Внешнее решение аппроксимирует плотность вне пограничного слоя, а внутреннее решение — внутри пограничногослоя.5.4.3Внешнее решениеМы предполагаем, что внешнее решение o раскладывается в асимптотическийряд o ∼ 0o + 1o + 2o 2 + .
. .при → 0.Подставляя это разложение и асимптотическое разложение (5.44) для ядра в уравнение (5.26), и приравнивая члены с одинаковыми степенями , получим цепочку интегральных уравнений Фредгольма второго рода:0 :1 :2 :)︀(︀(5.27a)(ℐ − ) ¯0 0o = 0,(︀)︀[︀(︀)︀]︀− (ℐ − ) ¯0 1o = · ∇0o + (ℐ − 1 ) ¯1 ∇0o ,(5.27b)(︀)︀− (ℐ − ) ¯0 2o = o 0o + · ∇1o[︂]︂12ooo+ (ℐ − ) ¯1 o 0 + ¯1 · ∇1 + ¯2 ( · ∇) 0(︀)︀o+ ¯ − ¯ .(5.27c)00Заметим, что временна́я переменная здесь o .Из уравнения (5.27a) следует представление (см. параграф 5.A.2)0o (, o , ) = (, )(, o ),где (, ) =1 (, ),() ¯0 — положительное решение уравнения() =∫︁(ℐ − ) = 0,Vd ≡ 4¯0 ∫︁d¯0— нормирующий коэффициент, а плотность пока не определена.Заметим, что выполняется соотношениеo(, ) =∫︁V0o (, o , ) d≡ 4∫︁0o (, o , ) 2 d,(5.28)197то есть это суммарная плотность частиц в точке вне зависимости от их скорости вэтой точке.Замечание: Вместо ядра (5.20) можно использовать ядро общего вида (, , ′ ),наложить условие ≡ 1 и предположить, что ¯0 = 0 ≡ const как в статье [136].
Вэтом случае вместо представления (5.28) получим0o (, o , ) =1(, o ).0Из уравнения (5.27b) следует, что его решение имеет вид (см. параграф 5.A.2)11o (, o , ) = − ¯ { · [ ∇( )] + }0 1= − ¯ { · [( ) ∇ + ( ∇ )] + } ,0 где оператор имеет вид = (ℐ − 1 )−1 + ¯1 ℐ, ≡ (, o ) — произвольная функция.Подставляя 1o в уравнение (5.27c), и используя условие разрешимости (см. параграф 5.A.2), получим, что плотность удовлетворяет уравнению диффузии со сносом,поглощением и источниками)︀(︀¯ ∇ + div (¯) + ¯ = ¯,o − div где коэффициент диффузии имеет вид4¯()=3∫︁1( ) 2 d,¯04¯ () = −3∫︁1( ∇ ) 2 d,¯0вектор сноса имеет видкоэффициент поглощения равен¯ () = 4∫︁¯0 3 d,плотность источников равна¯(, o ) =∫︁V¯ d.(5.29)198При выводе использовано соотношение∫︁ T d =S24,3где — единичная матрица.Подведем итог: член нулевого порядка 0o внешнего разложения дается соотношением (5.28), где плотность удовлетворяет уравнению (5.29).5.4.4Внутреннее решениеМы предполагаем, что внутреннее решение i раскладывается в асимптотическийряд i ∼ 0i + 1i + .
. .при → 0.Подставляя это разложение и асимптотическое разложение (5.44) для ядра в уравнение (5.26), в котором ¯ ≡ 0 [поскольку внешнее решение o уже удовлетворяет уравнению (5.26)], и приравнивая члены с одинаковыми степенями 0 , получим уравнение(︀)︀i 0i = ( − ℐ) ¯0 0i ,которое на самом деле является обыкновенным дифференциальным уравнением. Егорешением является⃒ )︀(︀1 ¯ i0i (, i , ) = ¯ e0 (−ℐ) ¯0 0i ⃒i =0 .(5.30)0 5.4.5Начальные условияНачальное распределение не зависит от , поэтому начальное условие (5.18)принимает вид[︀ o]︀⃒0 + 0i ⃒=0 = (, ).Внутреннее решение приближает плотность в только пограничном слое, поэтомудолжно выполняться условие 0i → 0 при i → ∞.
С учетом свойств оператора рассеяния (см. раздел 5.A.2) это накладывает ограничение на начальное «значение»⃒¯0 0i ⃒i =0 в уравнении (5.30), которое должно быть ортогонально в пространстве 2 (V)функции Ψ. Это приводит к начальному условию для внешнего решениягде⃒0o |=0 = (, )⃒=0 ,⃒⃒=0⟨︀⟩︀¯0 , (V)⟩︀ 2 ,= ⟨︀ ¯ , 02 (V)(5.31)199и к начальному условию для внутреннего решения⃒5.4.6Резюме⃒0i ⃒=0= (, ) −⃒⃒0o ⃒=0.(5.32)Асимптотическое решение обобщенного линейного уравнения Больцмана (5.21) скоэффициентом ослабления (5.22) [ядро в этом случае имеет вид (5.23)], альбедорассеяния (5.24) и плотностью источников (5.25) имеет вид0 (, , ) = 0o (, o , ) + 0i (, i , ),гдеo = и i = ,oнулевой член 0 внешнего разложения представляется формулой (5.28), где плотность удовлетворяет уравнению (5.29), нулевой член 0i внутреннего разложения представляется формулой (5.30). Из начального условия (5.18) следуют начальные условия (5.31)и (5.32) для и 0i , соответственно.
Заметим, что 0i стремится к нулю по временнойпеременной экспоненциально.5.5Диффузионное приближение к односкоростномуобобщенному линейному уравнению БольцманаЕсли абсолютная скорость движения частиц не изменяется, то плотность можетбыть представлена в виде ≡ (, , ).Ядро рассеяния представляется в этом случае в виде(, , ′ ) ≡ (, · ′ ),и оператор рассеяния принимает вид(, , ) =∫︁S2(, · ′ )(, , ′ ) d ′ .200Обобщенное линейное уравнение Больцмана (5.21) принимает вид односкоростного уравнения]︂[︂ ∫︁ 2( ) ( − , − , ) d + (, , ).
(5.33) + · ∇ = ( − ℐ) 0Начальное условие принимает вид|=0 = (, ).(5.34)Плотность представляется в виде(, , ) = o (, o , ) + i (, i , )гдеo = и i = ,oi и — внешнее и внутреннее решения, соответственно.Такими же рассуждениями, как в предыдущем разделе, получаем, что член нулевого порядка 0o внешнего разложения не зависит от направления , то есть0o (, o , ) ≡ 0o (, o ).В этом случае плотность частиц равнаo(, ) =∫︁S20o (, o ) d ≡ 40o (, o )и удовлетворяет уравнению диффузии с поглощением и источниками)︀(︀¯ ∇ + ¯ = ¯,o − div (5.35)в котором коэффициенты диффузии и поглощения и плотность источников имеют вид,соответственно,[︃2]︃⟨⟩ ⟨ ⟩1 ()¯()=+,23 2⟨⟩1 − 1 ()¯ =,⟨⟩¯(, o ) =∫︁¯ dS2(поскольку = 1, = (4)−1 , оператор это функция () = [1 − 1 ()]−1 + ¯1 ,коэффициенты ¯0 и ¯1 вычисляются по формулам (5.43)), коэффициент 1 () такойже, как и в разделе 5.A.2, но здесь он не зависит от и ′ .
Заметим, что в уравнении201(5.35) временная переменная o . Из начального условия (5.34) следует начальное условие|o =0 =∫︁(, ) d.(5.36)S2Чтобы получить диффузионное приближение, уравнение (5.35) умножается на .В результате получается уравнение диффузии с поглощением и источниками − div ( ∇) + = в котором коэффициенты диффузии и поглощения и плотность источников имеют вид,соответственно,[︂]︂1 ()⟨⟩ ⟨2 ⟩,+() =3 2⟨⟩2 1 − 1 ()(1 − )=,⟨⟩ (, ) =∫︁ (, , ) d.S2Из начального условия (5.36) следует начальное условие|=0 =∫︁(, ) d.(5.37)S2Замечание 1: Если ядро рассеяния не зависит от (то есть среда однородна),коэффициент диффузии принимает вид[︂]︂⟨⟩ ⟨2 ⟩1=+.3 2⟨⟩2 1 − 1Это совпадает с коэффициентом диффузии, полученным в статье [117], и отличаетсяот полученного в статье [169], на малую величину второго порядка малости.
Отметим,что этих статьях рассматривался стационарный перенос.Замечание 2: Если () = , распределение длины свободного пробега частицэкспоненциально, то есть() = e− , () = ().В этом случае односкоростное обощенное линейное уравнение Больцмана (5.33) становится обычным односкоростным линейным уравнением Больцмана + · ∇ = ( − ℐ) () + (, , ).(5.38)Моменты здесь равны⟨⟩ =1,⟨2 ⟩ =2,2и, если ядро рассеяния не зависит от (то есть среда однородна), коэффициенты202диффузии и поглощения принимают вид, соответственно,=,3 (1 − 1 ) = (1 − ).(5.39)Диффузионное приближение к уравнению (5.38) может быть получено методом разложения плотности по сферическим функциям [101, 196].
Этот метод дает коэффициентдиффузии,=3 (1 − 1 )который отличается от коэффициента диффузии (5.39) на величину порядка (2 ), поскольку = 1 − (2 ). Коэффициент поглощения и начальное условие, полученныеметодом разложения по сферическим функциям, совпадают с коэффициентом поглощения (5.39) и начальным условием (5.37), соответственно.Замечание 3: Если рассматривается перенос частиц в двухмерном пространстве2R , то коэффициент диффузии равен[︂]︂1 ()⟨⟩ ⟨2 ⟩+() =.2 2⟨⟩2 1 − 1 ()(5.40)Если 1 не зависит от координаты , то коэффициент диффузии (5.40) совпадает скоэффициентом диффузии, полученным в статье [251]: см. уравнение (3) в [251], в котором 1 = + (1 − )ℛ.
Это легко увидеть, если уравнение (1) в [251] записать ввиде]︂[︂∫︁∫︁+1 (, , ) =ℱ()−(, ′ ) ( − cos ′ , − sin ′ , ′ ) d′ d(мы используем использованное в [251] обозначение ℱ для плотности распределениядлины свободного пробега частиц, здесь это не означает преобразование Фурье), гдеядро рассеяния равно(, ′ ) ≡ (| − ′ |) = ( − ′ ) + (1 − )(| − ′ |).В этом случае средний косинус угла рассеяния равен1 =∫︁−ei () d = + (1 − )ℛ.ПримерВ заключение важно подчеркнуть, что поправка к коэффициенту диффузии из-занеэкспоненциального распределения длины свободного пробега может быть весьма значительной. Это иллюстрируется на рис. 5.1, 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
