Диссертация (1143492), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Рис. 5.1a, 5.2a показывают различные203плотности: плотность экспоненциального распределения() = e−и плотность степенного распределения() =−1(︂)︂−(+1)1+.−1Оба распределения имеют одинаковые средние, равные 1/. Рис. 5.1b, 5.2b показываютрешения задачи Коши для уравнения диффузии (в двух- и трехмерном пространствах) − Δ = 0, ∈ R(5.41)( = 2, 3), с начальным условием|=0 = (),(5.42)и с коэффициентом диффузии, заданным формулой (5.40), в которой 1 = 0 (то естьрассеяние изотропно). (В выбранной системе координат графики решений остаютсянеизменными со временем.) Коэффициент диффузии, соответствующий степенномураспределению при = 3, оказывается в этом случае в два раза больше коэффициента диффузии, соответствующего экспоненциальному распределению.
При = 2.5отношение коэффициентов диффузии уже равно трем, а при = 2.1 — одиннадцати.Как следствие, решения существенно отличаются.b 0.60.50.40.30.20.10.0ExponentialPower-likep1.21.00.80.60.40.20.0ExponentialPower-like2πrρ(r,t) tp(l)/σa 1.40123σl4560123p456r/ tРисунок 5.1. (a) Экспоненциальное и степенное ( = 3) распределения с одинаковыми средними (общее среднее отмечено вертикальной штрих-пунктирной линией). (b) Соответствующиерешения задачи Коши (5.41), (5.42), = 2.2040.60.50.40.30.20.10.0ExponentialPower-likep1.21.00.80.60.40.20.0b 0.7ExponentialPower-like4πr2 ρ(r,t) tp(l)/σa 1.40123σl5460123p456r/ tРисунок 5.2. (a) Экспоненциальное и степенное ( = 3) распределения с одинаковыми средними (общее среднее отмечено вертикальной штрих-пунктирной линией).
(b) Соответствующиерешения задачи Коши (5.41), (5.42), = 3.5.A5.A.1ПриложенияАсимптотическое разложение ядра В этом параграфе получено асимптотическое разложение ядра .Мы предполагаем, что средняя длина свободного пробега⟨⟩ ≡∫︁0∞(, ) d ≡∫︁∞(, ) d0мала и имет порядок , где — малый параметр. (Средняя длина свободного пробегазависит от скорости, но мы опускаем ее в обозначениях.) Представим среднюю длинусвободного пробега в виде ⟨⟩ = ⟨⟩, где ⟨⟩ = (1) при → 0 [символ используетсяздесь в строгом смысле и означает «строго порядка», то есть = () означает =() и ̸= ()]. Для того, чтобы это было справедливо, коэффициент ослабленияпредставляется в виде(︂)︂1(, ) = ¯ ,,где коэффициент ослабления ¯ не зависит от . Это приводит к представлениям(︂(, ) = ¯ ,)︂,(︂)︂1(, ) = ¯ ,,(︂)︂1 ¯(, ) = 2 ,,где вероятность дожития ¯ (см.
(5.8)), плотность распределения ¯ и ядро ¯ не зависятот , (, )¯ ) = ℒ¯ℒ(,¯ ) ,ℒ(,и∫︁ ∞e− () dℒ() =0205— преобразование Лапласа. Первый и второй моменты ¯ задаются соотношениями∫︁⟨⟩ ≡и2⟨ ⟩ ≡∞0∫︁0∞¯(, ) d ≡2∫︁ ¯(, ) d ≡ 22∞0∫︁0¯ ) d < ∞(,∞¯ ) d < ∞.(,Мы предполагаем также, что ⟨ ⟩ = (1) при → 0.¯ ) по степеням приводит к разложениямРазложение ℒ¯ (, ) и ℒ(,1 2ℒ¯ (, ) = 1 − ⟨⟩ + ⟨ ⟩2 2 − . . .2и¯ ) = ⟨⟩ − 1 ⟨2 ⟩ + .
. .ℒ(,2Следовательно¯ ) = ¯ + ¯ + ¯ 2 2 + . . .ℒ(,012где коэффициенты имеют вид1¯0 ≡ ¯0 () =⟨⟩2⟨ ⟩and ¯1 ≡ ¯1 () =− 1.2⟨⟩2(5.43)(выражение для ¯2 здесь не нужно). В результате мы имеем асимптотическое разложение для ядра :(︂)︂1¯ ,∼ ¯0 () + ¯1 ′ () + ¯2 ′′ ()2 + . . .при → 0(5.44)(мы рассматриваем это разложение в слабом смысле).5.A.2Разрешимость интегральных уравнений Фредгольма второго рода (5.27)В этом параграфе исследуется разрешимость уравнений (5.27). Зависимость функций и операторов от и в этом параграфе опускается.Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода(ℐ − ) () = (),(5.45)206где ℐ — тождественный оператор, иdef() =∫︁V( · ′ , , ′ )( ′ ) d ′— оператор рассеяния с ядром (, ′ ) ≡ ( · ′ , , ′ ). Условие∫︁ ∫︁VV|(, ′ )|2 d ′ d < ∞означает, что оператор и его сопряженный * — операторы Гильберта-Шмидта, а это,в свою очередь означает, что они компактны в пространстве 2 (V).
Из нормировки∫︁(, ′ ) d = 1V⇔(ℐ − * ) 1 = 0(5.46)следует, что * () ≡ 1 — собственная функция сопряженного оператора * , соответствующая собственному числу 1. Из альтернативы Фредгольма следует условие разрешимости∫︁ () d = 0.(5.47)VИз строгой положительности ядра и из уравнения (5.46) следует, что собственное число 1 это наибольшее по абсолютной величине и простое собственное число оператора , и соответствующая собственная функция положительна, то есть существуетфункция () > 0 такая, что(ℐ − ) = 0,(5.48)см. [165].
Собственные функции, соответствующие другим собственным числам, не являются неотрицательными [165]. Поскольку среда изотропна, собственная функция не зависит от направления , то есть () ≡ ().Пусть нужно решить интегральное уравнение с правой частью () = () · .(5.49)Условие разрешимости (5.47) удовлетворяется. Разложим искомое решение по сферическим функциям ∞ ∑︁∑︁() = () (),=0 =−где имеет место соотношение1∑︁=−11 () 1 () ≡ 1 () · 207(функции 1 это не компоненты вектор-функции 1 ). Ядро также разложим по сферическим функциям:∞∑︁∑︁2 + 1′′ ( · ) ≡ (, ) () ( ′ ),( · , , ) = (, )4=0=−=0′′∞∑︁′где — полиномы Лежандра. В силу ортогональности сферических функций получимсоотношения [ () ()] = [ ()] (),где интегральные операторы имеют вид () =∫︁ (, ′ )( ′ )( ′ )2 d ′ ,и, следовательно(ℐ − ) [ 1 () · ] = (ℐ − 1 ) 1 () · .Из этого соотношения следует, что оператор (ℐ − 1 )−1 определен.
Действительно, если(ℐ − 1 ) 1 () = 0,то 1 () · = const ().Поэтому 1 () = 0.В результате получим, что решение интегрального уравнения (5.45) со свободнымчленом (5.49) имеет вид() ={︀[︀]︀}︀(ℐ − 1 )−1 () · + (),где — произвольная постоянная.В заключение напомним, что операторы , 1 и (ℐ − 1 )−1 зависят от .ЗаключениеВо второй главе рассмотрено 1 приближение к линейному уравнению Больцманапри доминирующем рассеянии.
Решенные задачи демонстрируют, что это приближениеоказывается, вообще говоря, лучше диффузионного, которое является фактически 0приближением. При этом, как показано в других работах, приближения при > 2демонстрируют очевидное нефизичное поведение. Тем не менее требуется более глубокое исследование 1 приближения в более широком круге задач.В третьей главе предложены методы численного решения прямых задач радиационного теплопереноса. Эти методы предназначены в первую очередь для решениязадач с зеркальными границами: как непрозрачными так и прозрачными. Несмотряна большое число методов решения задач переноса излучения, задачи с зеркальнымиграницами тем не менее представляют проблему.В первом разделе главы построены квадратурные схемы на единичной сфере, использующие кусочно-квазилинейную интерполяцию.
Эти схемы предназначены в первую очередь для решения задач с зеркальными границами.В последующих разделах главы предложены численные схемы решения задач переноса излучения в осесимметричных областях в областях сложной формы, которыемогут иметь зеркальные границы. На основе этих численных схем был разработан комплекс программ, который был использован при численном моделировании роста полупрозрачных кристаллов из расплава.В четвертой главе предложен единый подход к решению задач оптимизации граничных значений и формы области в задачах переноса излучения. Такие задачи представляют большой практический интерес. При этом они сложны и до сих пор часторешаются методом проб и ошибок.
Единого подхода к решению таких задач до сих порне существовало. Отдельные задачи решались методами и приемами, применимостькоторых была ограничена решаемыми задачами, или которые могли быть распространены на довольно узкий класс задач. Предложенный подход комбинирует глобальныйи градиентный (локальный) методы минимизации.
Сам по себе этот подход не нов, нов задачах переноса излучения он до сих пор не применялся из-за их сложности.Известно, что использование градиентных методов для нахождения глобального минимума проблематично, а глобальные методы требуют очень много вычислений208209минимизируемой функции. В используемом подходе глобальный метод используетсядля нахождения окрестности глобального минимума, а градиентный метод используется для более эффективного поиска самого минимума.
Для нахождения градиентацелевого функционала используется метод сопряженной задачи, позволяющий вычислить градиент при помощи решения сначала исходной (прямой), а затем сопряженнойзадачи, причем этот метод используется как в «краевых» (нахождение оптимальныхграничных (краевых) значений), так и в «геометрических» (нахождение оптимальнойформы области) задачах. Заметим, что как определение, так и вычисление «градиента» функционала, зависящего от формы области, представляет из себя нетривиальнуюзадачу.Важно подчеркнуть, что решение сопряженной задачи не сложнее решения исходной, поскольку сопряженная всегда линейна, даже если исходная нелинейна. Крометого, значение целевого функционала в точке, в которой ищется градиент, все равновычисляется, то есть решается исходная задача.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
