Диссертация (1143492), страница 32
Текст из файла (страница 32)
рис. 4.38. Цельоптимизации — найти положение рефлекторов и высоту нагревателя, при которых обеспечивается постоянный тепловой поток на нагреваемой поверхности, равный ¯dinc = 0.8.В этой задаче был использован комбинированный алгоритм, как в предыдущейзадаче. Сначала выполнялся случайный поиск из 100 испытаний, в результате которо-1802.00.01.81.615600.00.0030.0090941.20.390.0330.0660.030.0360.030.0180.006210.0150.02180.00.01.00.80.60.40.012120.00.006060.0030.20.018210.00.0060.40.0240.00.0150.0030.60.0300.00940.80.0420.000.04250.0150.00481.00.048030.0450.0120.0540.07.020p20.0030.0.01.4180.003060.00120.0030.0150.00.2p10.00.20.40.60.80.000Рисунок 4.35.
Контурная карта целевого функционала задачи 2, траектории спуска, и траек(1)(2)тории градиентного спуска, начинающиес в точках 0 = (−0.6, 1.4) и 0 = (0, 1). Конечныеточки opt (глобальных минимумов) обозначены символом .181(1)p0(1, 1)(1)popt(2)(1, 1)p0(2)popt(0, 0)(1, 0)(0, 0)(1, 0)(1)Рисунок 4.36. Начальные и оптимальные формы области в задаче 2, opt = (−0.900, 0.900)(2)q(x)и opt = (0.006, 0.813).0.70.60.50.40.30.20.10.00.0qd(1)qopt(2)qopt0.20.4x0.60.81.0Рисунок 4.37. Оптимальные распределения теплового потока на нагреваемой поверхности в(1)(2)задаче 2, соответствующие оптимальным параметрам opt и opt .Reflect(0, 0)(1, p3 )Heaterε=1qb,s = 1or(p1 , p2 )ctorRefleDesign surfaceε = 1, qb,s = 0(1, 0)Рисунок 4.38. Область, форма которой управляется тремя параметрами = (1 , 2 , 3 ).182го находилась начальная точка для градиентной минимизации.
В результате, в качестве начальной была выбрана точка 0 = (−0.05, 1.15, 1.4), целевой функционал равен^ ) = 3.4 × 10−4 . Конечная точка траектории спуска — = (−0.251, 0.971, 1.503),(0opt−5^целевой функционал в ней равен (opt ) = 2.8 × 10 . Минимум был достигнут после8-ми итераций, при этом целевой функционал и его градиент вычислялись по 54 разкаждый. Большое число вычислений вероятно связано с поведением целевого функционала вблизи минимума, как на рис. 4.35 около серповидной долины, но в трехмерномпространстве.Начальная и оптимальная формы области показаны на рис.
4.39. Соответствующее распределение теплового потока показано на рис. 4.40.(1, popt3 )opt(popt1 , p2 )(0, 0)(1, 0)q(x)Рисунок 4.39. Начальная и оптимальная формы области в задаче 3, 0 = (−0.05, 1.15, 1.4),opt = (−0.251, 0.971, 1.503).0.80.70.60.50.40.30.20.10.00.0qdqopt0.20.4x0.60.81.0Рисунок 4.40.
Оптимальное распределение теплового потока в задаче 3.Задача 4В этой задаче область такая же, как в задаче 1, с зеркально-диффузными поверхностями рефлекторов (коэффициент зеркального отражения s = 0.65, коэффициентдиффузного отражения d = 0.25, коэффициент черноты = 0.1, поток черного телаb = 0). Среда прозрачна. Форма области контролируется тремя параметрами, как в183задаче 3, см. рис. 4.38. Цель оптимизации — найти положение рефлекторов и высотунагревателя, при которых обеспечивается постоянный тепловой поток на нагреваемойповерхности, равный ¯dinc = 0.8.Оптимальные параметры, найденные в предыдущей задаче, были использованы^ 0) =в качестве начального приближения, то есть 0 = (−0.251, 0.971, 1.503) with (7.0 × 10−3 .
Конечная точка траектории спуска — opt = (−0.136, 0.907, 1.615), значение−5^целевого функционала равно (opt ) = 4.3 × 10 . Минимум был достигнут после 2-хитераций, при этом целевой функционал и его градиент вычислялись по 5 раз каждый.Начальная и оптимальная формы области показаны на рис. 4.41.
Рапределениеоптимального теплового потока на нагреваемой поверхности показано на рис. 4.42.(1, popt3 )opt(popt1 , p2 )(0, 0)(1, 0)q(x)Рисунок 4.41. Начальная и оптимальная формы(−0.251, 0.971, 1.503), opt = (−0.136, 0.907, 1.615).0.80.70.60.50.40.30.20.10.00.0областивзадаче4,0=qdqopt0.20.4x0.60.81.0Рисунок 4.42. Оптимальное распределение теплового потока в задаче 4.Задача 5В этой задаче область такая же, как в задаче 1, с зеркально-диффузными поверхностями рефлекторов (коэффициент зеркального отражения s = 0.65, коэффициентдиффузного отражения d = 0.25, коэффициент черноты = 0.1, поток черного тела b = 0). Среда поглощающая с коэффициентом поглощения, равным = 0.1, и184холодная, то есть b = 0.
Форма области контролируется тремя параметрами, два изкоторых (1 , 2 ) — те же, что и в остальных задачах, а третий параметр 3 определяетточку (1, 3 ) на поверхности нагревателя, см. рис. 4.43. Поток черного тела на нижнейчасти поверхности нагревателя равен b = 1, на верхней части он равен b = 2. Цель оптимизации — найти координаты (1 , 2 , 3 ), при которых тепловой поток на нагреваемойповерхности равен ¯dinc = 0.8.Чтобы найти начальное приближение для градиентной минимизации, сначала выполнялся случайный поиск из 100 испытаний.
В качестве начального приближениябыла найдена точка 0 = (0.078, 0.443, 0.713), значение целевого фунционала в ней^ 0 ) = 8.4 × 10−4 . Конечной точкой градиентной минимизации была opt =равно (−5^(0.037, 0.588, 0.636), значение целевого фунционала в ней равно (opt ) = 1.0 × 10 .Минимум был достигнут после 9-ти итераций, при этом целевой функционал и его градиент вычислялись по 19 раз каждый.Начальная и оптимальная формы области показаны на рис. 4.43. Распределениеоптимального теплового потока на нагреваемой поверхности показано на рис. 4.44.(1, 1)(1, p03 )qb,s = 2(1, popt3 )opt(popt1 , p2 )Heaterε=1qb,s = 1(0, 0) Design surface (1, 0)ε = 1, qb,s = 0q(x)Рисунок 4.43.
Начальная и оптимальная формы области в задаче 5, 0 = (0.078, 0.443, 0.713),opt = (0.037, 0.588, 0.636).0.80.70.60.50.40.30.20.10.00.0qdqopt0.20.4x0.60.81.0Рисунок 4.44. Оптимальное распределение теплового потока в задаче 5.1854.2.14РезюмеПри решении задач оптимизации формы использована комбинация простого случайного поиска (глобальный метод) и метода сопряженных градиентов (локальный метод). Глобальный метод минимизации использовался, чтобы найти начальные приближения для параметров, использовавшиеся далее в локальном методе минимизации. Длянахождения градиента целевого функционала использовался метод сопряженной задачи. Для решения задач переноса использовался метод дискретного переноса, однако вкачестве метода решения может быть использован любой доступный метод, способныйобеспечить необходимую точность.В тестовых задачах, имевших несколько локальных минимумов, при случайномпоиске оказалось достаточно приблизительно 100 вычислений целевого функционала.Иногда было достаточно и 50 вычислений.
В результате порядка 150–200 вычисленийцелевого функционала было достаточно, чтобы найти решение. Здесь подразумевается,что решение сопряженной задачи не сложнее решения исходной прямой задачи, то естьвычисление целевого функционала и его градиента не сложнее двух вычислений целевого функционала. Важно отметить, что глобальные методы минимизации требуютдля нахождения минимума многих тысяч вычислений минимизируемого функционала.Таким образом, даже простейшая комбинированная методика позволила решатьрассмотренные задачи оптимизации формы при сравнительно небольших вычислительных затратах.В заключение заметим, что вполне возможны ситуации, когда задача оптимального проектирования не может быть решена при помощи только оптимизации формыобласти, если только температура нагревателей не оказалась подобрана удачно. Возникает задача оптимизации как граничных значений, так и формы области. Достоинствопредлагаемой методики, описанной в этой главе, заключается в том, что она непосредственно распространяется на такие «смешанные» задачи оптимизации.4.A4.A.1ПриложениеНекоторые формулы дифференциального исчисления наповерхностяхВ этом параграфе приведены некоторые формулы дифференциального исчисления на поверхностях (тангенциального дифференциального исчисления), использовавшиеся в основном тексте.
Подробное изложение дифференциального исчисления на поверхностях можно найти в [97, 254].Тангенциальный (касательный) градиент функции , заданной на поверхности186, определяется по формулеdef∇ = [∇ − (∇ · ) ]| ,(4.141)где — произвольное гладкое продолжение функции в окрестности поверхности , тоесть — произвольная гладкая функция, заданная в окрестности , такая, что = | , — нормаль к поверхности . Из определения следует, что · ∇ = 0, следовательнотангенциальный градиент произведения двух функций равен∇ ( ) = (∇ ) + (∇ ) ,(4.142)где — функция, заданная на поверхности .Тангенциальная (касательная) дивергенция векторного поля , заданного на поверхности , определяется по формулеdefdiv = [div − ( ) · ]| ,(4.143)где — произвольное гладкое продолжение поля в окрестности поверхности , тоесть — произвольное гладкое поле, заданное в окрестности , такое, что = | .Важно отметить, что поле — произвольное, не обязательно касательное к поверхности.
Из определения следует формулаdiv ( ) = ∇ · + div ,(4.144)где — функция на .Тангенциальная (касательная) якобиева матрица векторного поля ≡ (1 , 2 , 3 ),заданного на поверхности , определяется по формуле[︁( ) = ∇ 1 ∇ 2 ∇ 3]︁T(︀)︀⃒= − T ⃒ ,(4.145)где ∇ — вектор-столбец. Из определения следуют соотношения( ) = 0,и(︀)︀(︀ T )︀TT( )T = − · = ,( )T = ( ) .Таким образом,( )T = ( ) = ( ) .(4.146)187Тангенциальный градиент нормальной компоненты векторного поля может бытьвычислен следующим образом:∇ n ≡ ∇ ( · ) =3∑︁(∇ ) +=13∑︁T(∇ ) = ( )T + ( ) .(4.147)=1«Тангенциальная» теорема о дивергенции (Гаусса-Остроградского) имеет вид∫︁div d =∫︁ · d,где — внешняя нормаль к границе поверхности , касательная к .(4.148)Глава 5Обобщенное линейное уравнениеБольцмана, описывающеенеклассический перенос, иасимптотическое приближение к немуЭта глава основана на результатах статьи [243].В разделе 5.1 описывается модель переноса, в которой распределение длины свободного пробега частиц произвольно, а не экспоненциально, как принято в классическихмоделях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
