Диссертация (1143492), страница 28
Текст из файла (страница 28)
рис. 4.24. В этом случае соотношение (4.88)не выполняется.Чтобы вывести справедливую формулу, подставим в соотношение (4.88) вместоинтенсивности достаточно гладкую «интенсивность» + , > 0, которая стремитсяк при → 0, и затем перейдем в соотношении (4.88) к пределу. Очевидно должнабыть определена лишь для достаточно малых .
Мы предполагаем, что «интенсивность» ≡ (, ) удовлетворяет однородному уравнению переноса излучения · ∇ + = 0, ∈ , ∈ S2 ,154то есть «интенсивность» + удовлетворяет исходному уравнению переноса излучения. Требуется поставить граничное условие для . Для этого рассмотрим точку 0 ∈ и предположим, что область в окрестности этой точки невыпукла.
Введем локальнуюсистему координат ˚, ˚, ˚ таким образом, что ее начало координат лежит в точке 0 , иось ˚ направлена вдоль внешней нормали 0 к поверхности в точке 0 , см. рис. 4.25. Оси˚и˚ направлены вдоль главных направлений поверхности в точке 0 , и соответствующие главные кривизны равны 1 и 2 , соответственно [99] (в отличие от [99] здесь знаккривизны преполагается положительным для строго выпуклых областей).
Рассмотримтакже локальную цилиндрическую систему координат ˚, ˚, ˚:˚=˚ cos ˚,˚=˚ sin ˚.Согласно формуле Эйлера [99] нормальная кривизна поверхности в точке 0 в направлении = (cos ˚, sin ˚, 0)(в локальной системе координат) равна( 0 , ) = 1 cos2 ˚ + 2 sin2 ˚, 0 ∈ ,0 ≡ · 0 = 0.(4.99)Нормальная кривизна ( 0 , ) это кривизна нормального сечения 0 , поверхности в точке 0 вдоль направления (см. рис. 4.25). Если сечение 0 , строго вогнуто вточке 0 (как на рис.
4.25), то интенсивность (·, ), вообще говоря, разрывна в точке 0 , и мы обозначаем этот разрыв символом [] ( 0 , ). Очевидно, что 0 , строговогнуто в окрестности точки 0 . В этом случае мы накладываем граничное условие для в окрестности 0 (, ) = [] ( 0 , ) (˚ ), = 0 + ˚ + ˚ 0 ∈ 0 , ,˚>0(4.100)(см. рис. 4.25), где () = 1 (/),1 — достаточно гладкая невозрастающая функция такая, что 1 (0) = 1 и 1 () = 0при > 1 (1 одна и та же для всех точек 0 и направлений ), ˚ > 0. Заметим, что (, ) = 0 при ˚ > .
Напомним, что достаточно мало. Граничное условие (4.100)накладывается в окрестности тех точек 0 ∈ и для тех направлений , касательныхк поверхности в 0 , для которых нормальное сечение 0 , строго вогнуто. Направление и нормаль определяют сечение , в точке , это сечение, вообще говоря,отличается от 0 , . Однако для достаточно близких точек и 0 сечение , строговогнуто в , если нормальное сечение 0 , строго вогнуто в 0 , и наоборот (и кривизны155имеют близкие значения). Поэтому, согласно граничному условию (4.100), (, ) ̸= 0только если |n | достаточно мало и сечение , строго вогнуто. Если |n | не мало илисечение , выпукло в точке , то (, ) = 0. В результате граничное условие для«интенсивности» может быть представлено в виде⎧⃒⃒⎪⎪⃒[] ( 0 , ) (˚ ), , строго вогнуто в ,⎪⎪⃒⎪⎪⃒⎪⎪⃒=+˚+˚∈,˚>0,,⎪000⎪⃒⎪⎪⃒⎪⎨и |n | ≪ 1, т.
е. 0 < ˚ < ≪ 1 ⃒⃒ (, ) =⃒ n < 0.⎪⃒⎪0,впротивномслучае,⎪⃒⎪⎪⃒⎪⎪⃒⎪т. е. , выпукло в ⎪⃒⎪⎪⃒⎪⎪⃒⎩или |n | ≪̸ 1⃒(4.101)Заметим, что если сечение , строго вогнуто в , то точка и направление определяют точку 0 однозначно для достаточно малых и |n |.nn0Dz̊ϑSr0 ,Ω ⊂ Srr0Ωρ̊Рисунок 4.25. Нормальное сечение 0 , поверхности в точке 0 вдоль направления .Разрыв интенсивности (·, ) в точке 0 равен [] ( 0 , ).
Нормаль к поверхности в точке ∈ 0 , , вообще говоря, не лежит в плоскости сечения (рисунка). — угол между и , тоесть cos = n .Предположим, что интенсивность падающего излучения достаточно гладкая вокрестности точки ( 0 , ) ∈ × S2 (эта окрестность образована теми точками (, ′ ) ∈ × S2 , близкими к ( 0 , ), для которых ′ · () > 0).
Предположим также, чтоинтенсивность исходящего излучения достаточно гладкая в окрестности точки ( 0 , )(эта окрестность образована теми точками (, ′ ) ∈ × S2 , близкими к ( 0 , ), длякоторых ′ · () < 0). В этом случае разрыв [] — достаточно гладкая функция вокрестности точки ( 0 , ) (эта окрестность образована теми точками (, ′ ) ∈ × S2 ,близкими к ( 0 , ), для которых ′ · () = 0), и «интенсивность» + — достаточногладкая функция в окрестности точки ( 0 , ) (эта окрестность образована точками(, ′ ) ∈ × S2 близкими к ( 0 , )).
Очевидно, что + стремится к при → 0.Заметим, что + не удовлетворяет граничному условию (4.48).Требуется связать (угол между и ) с ˚ в окрестности 0 при условии ∈1560 , , то есть при условии ˚ = const (см. рис. 4.25). Заметим, что 0 , может бытьстрого вогнуто в 0 , даже если ( 0 , ) = 0.Чтобы связать с ˚ , зададим поверхность локально в окрестности 0 соотношением˚ = (˚, ˚ ) или ˚ = (˚, ˚),где — достаточно гладкая функция (один и тот же символ используется независимоот системы координат).
Согласно формуле Тейлора1 2 + ( ) (˚, ˚),˚ = (˚, ˚) = − ˚2где > 3,(4.102) 2(0, ˚) = − ≡ −( 0 , ),˚2остаточный член равен( ) (˚, ˚)причем1=( − 1)!∫︁˚0 (, ˚) (˚ − )−1 d,˚ (0, ˚) ̸= 0.˚Заметим, что > 3, если 3(0, ˚) = 0,˚3..., −1 (0, ˚) = 0.˚−1Важно подчеркнуть, что( ) 1 (,˚)=(, ˚) ˚− ∝ ˚− ,˚( − )! ˚ = 0, . . . , ,при ˚ → 0,(4.103)где ∈ (0, ˚) (, вообще говоря, различны для различных ).Таким же образом, пользуясь формулой Тейлора (относительно ˚), получим(˚)(˚, ˚) = −1 cos ˚˚ + (˚, ˚),˚ > 2,(4.104) > 2,(4.105)и( )(˚, ˚) = −2 sin ˚˚ + ˚ (˚, ˚),˚где остаточные члены равны(˚)(˚, ˚)1=( − 1)!∫︁0˚ (, ˚) (˚ − )−1 d˚ ˚157и( ), ˚) ˚ (˚причем1=( − 1)!∫︁˚0 (, ˚) (˚ − )−1 d˚ ˚ (0, ˚) ̸= 0 и˚ ˚ (0, ˚) ̸= 0.˚ ˚Заметим снова, что( ) ˚(, ˚) ∝ ˚− , = 0, .
. . , ˚( )и ˚(, ˚) ∝ ˚− , = 0, . . . , ,˚при ˚ → 0. (4.106)Теперь можно связать с ˚ . Поскольку нормаль равна(︂)︂− ,− ,1 , = √︀˚ ˚1 + ‖∇ ‖21где∇ =и(︂)︂ ,,˚ ˚ = (cos ˚, sin ˚, 0),получим1cos ≡ n = − √︀.1 + ‖∇ ‖2 ˚В результате, используя соотношения (4.102)–(4.106), после некоторых преобразованийполучим1d cos2 = [− + (1)] d˚ при ˚ → 0,(4.107)2где (1) → 0 при ˚ → 0.Теперь мы подставляем в соотношение (4.88) вместо интенсивности «интенсивность» + :∫︁ ∫︁S2[∇( + ) · ] ( · ∇) d d∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁=−{ · ∇ [∇( + ) · ]} d d +n [∇( + ) · ] d d,S2S2и переходим в этом соотношении к пределу при → 0.
Поскольку + стремитсяк , подынтегральные выражения в интегралах по области стремятся к таковым в158соотношении (4.88). Интеграл по поверхности представим в виде∫︁ ∫︁S2∫︁ ∫︁n [∇( + ) · ] d d =n [∇( + ) · ] d d n >0∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁+n (∇ · ) d d +n (∇ · ) d d. (4.108)n <0n <0Первый интеграл в правой части соотношения (4.108) стремится при → 0 к∫︁ ∫︁n ( · ∇) d d.n >0Из граничного условия (4.101) следует, что⃒⎧⃒d⎪⃒⎪, , строго вогнуто в ,0 [] ( 0 , )⎪⃒⎪d˚⎪⃒⎪⎪⃒⎪=+˚+˚∈,˚>0,⎪,00⃒⎪0⎪⃒⎪⎪⎨и |n | ≪ 1, т. е. 0 < ˚ < ≪ 1 ⃒⃒∇ (, ) =⃒ n < 0.⃒⎪⎪⃒⎪0,в противном случае,⎪⃒⎪⎪⃒⎪⎪⃒⎪т.е., выпукло в ⎪⎪⃒⎪⃒⎪⎩⃒или |n | ≪̸ 1Чтобы преобразовать последний интеграл в сотношении (4.108), заметим, что 0 → при → 0 (для строго вогнутых , ) и 0 → при 0 → .
Поэтому, используясоотношение (4.107), для достаточно малых получим, что∫︁ ∫︁n <0=n (∇ · ) d d =∫︁ [︂∫︁02∫︁ [︂∫︁20(︂∫︁/2)︂]︂cos (∇ ) sin d d˚ · d)︂ ]︂(︂∫︁ d[− ( 0 , ) + (1)] d˚ d˚ · d(, )0 [] ( 0 , ) d˚0]︂∫︁ [︂ ∫︁ 2−−→[] (, ) − (, ) d˚ · d, (4.109)→00где − = min{, 0},(, ) =⎧⎪⎨1, , строго вогнуто в ,⎪⎩0, в противном случае.Заметим, что переменная интегрирования по поверхности в соотношении (4.109) —точка , а точка 0 связана с в соответствии с рис. 4.25.159Таким образом, вместо соотношения (4.88) получим∫︁ ∫︁(∇ · ) ( · ∇) d d)︂∫︁ ∫︁∫︁ (︂∫︁∫︁=−[ · ∇(∇ · )] d d ++n (∇ · ) d d S2n <0n >0]︂∫︁ [︂ ∫︁+[] (, )(, ) d · d, (4.110)S2{n =0, (,)<0}где d в последнем интеграле означает интегрирование по множеству ∈ S2 такому,что n = 0 и (, ) < 0 [если (, ) < 0 для всех направлений, то это множествоявляется большим кругом n = 0, в противном случае это множество образовано двумясимметричными дугами большого круга n = 0, см.
формулу Эйлера для кривизны(4.99)].В результате из интегрального тождества (4.86), соотношений (4.67), (4.110), (4.89)и равенства = 0 на поверхностях d и f , следует, что вариационная производная ′определяется интегральным тождеством∫︁ ∫︁ ′ (− · ∇ + ) d d]︂}︂[︂∫︁ {︂ ∫︁∫︁ ′,inc′′^ d d+n d +n s (, ) + dn >0n <0∫︁ {︂ ∫︁[︁]︁d′′n · − 2s · + · d+on <0}︂∫︁[] (, )(, ) d ( · ) d = 0, (4.111)−S2{n =0, (,)<0}где вектор выражается формулой (4.91).Инфинитезимальная задача (sensitivity problem)Чтобы вычислять градиент целевого функционала ′ (o ), необходимо уметь вычислять сопряженный оператор [′ (o )]* . Последний определяется сопряженной задачей, которая может быть выведена непосредственно из интегрального тождества (4.90).Поэтому формулировка инфинитезимальной задачи в виде уравнения и граничныхусловий не требуется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
