Диссертация (1143492), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Относительные ошибки в распределениях теплового потока d на нагреваемой поверхности представлены на рис. 4.5. Дальнейшая минимизация в итерационной регуляризации и уменьшение параметра регуляризации в регуляризации Тихоновауменьшают ошибки в целевом потоке, но ведут к потере гладкости в распределенияхпотока h .С теоретической точки зрения решения Iter3, Tikh04 и Tikh15 подходят, вообщеговоря, так же как и распределения h1 и h2 , представленные на рис. 4.2. Все эти распределения h дают близкие распределения потока d на нагреваемой поверхности. Однакос технической точки зрения (проектировщика) предпочтительным является решение h2 ,поскольку в этом случае нагреватель представляет собой один нагревательный элементс постоянным тепловым потоком на его поверхности.1241.21.00.8qhExactIter20.6Iter30.4Tikh03Tikh040.2Tikh14Tikh150.00.00.51.0x1.52.0Рисунок 4.4.
Распределения теплового потока h на поверхности нагревателя, полученныеитерационной регуляризацией и регуляризацией Тихонова нулевого и первого порядка на множестве неотрицательных функций (задача 1).d0.00qd/q010.05-0.050.00.51.0x1.52.0Рисунок 4.5. Относительные ошибки в распределениях теплового потока d на нагреваемойповерхности (относительно потока d0 ) (задача 1). Символьные обозначания такие же, как ина рис. 4.4.1254.1.8Тестовые задачиВ этом параграфе рассматриваются двухмерные задачи.
Применяются методырегуляризации, описанные выше. Все величины безразмерны. Рассеяние отсутствует.Задача 2. Радиационный теплоперенос в области = (0, 2) × (0, 1), рис. 4.6.Среда внутри области прозрачна ( = 0). Верхняя поверхность ( = 1) — поверхностьнагревателя h , часть нижней поверхности (, ), ∈ (0.5, 1.5), = 0 — нагреваемая поверхность d , боковые поверхности и оставшаяся часть нижней поверхности —свободные от оптимизации поверхности f . Все поверхности черные: h = 1, d = 1,f = 1. Нагреваемая и свободная от оптимизации поверхности холодные: b,d () = 0 иb,f () = 0.
Надо найти распределение теплового потока h () на поверхности нагревателя, которое обеспечило бы тепловой поток, поглощенный нагреваемой поверхностью,равный d0 () = 1.q=1,hHeater1= ?h= T1,=00=00yDesign surface00.5x1.5=1,dT=0,d2q=1dРисунок 4.6. Схема задачи 2.
(Свободная от оптимизации поверхность имеет индекс 0.)На рис. 4.7 представлены решения h задачи, полученные итерационной регуляризацией, регуляризацией Тихонова первого порядка (параметр регуляризации равен = 10−6 ) и параметрической регуляризацией на множестве кусочно-постоянных функций (Par3i – 3 интервала (5 параметров), Par5i – 5 интервалов (9 параметров)).
Распределения теплового потока d на нагреваемой поверхности представлены на рис. 4.8.Когда ищется кусочно-постоянное решение, возникает вопрос: сколько интервалов должно иметь искомое решение, как выбирать начальные приближения для параметров? В случае итерационной регуляризации и регуляризации Тихонова проблема выбора начального приближения отсутствует, поскольку минимизируемые функционалы квадратичны. Поэтому решения, полученные итерационной регуляризациейи/или регуляризацией Тихонова, могут служить исходной точкой при поиске кусочно-126Iter2.5Tikh1Par3i2.0qhPar5i1.51.00.50.00.00.51.01.52.0xРисунок 4.7. Распределения теплового потока h на поверхности нагревателя, полученныеитерационной регуляризацией, регуляризацией Тихонова и параметрической регуляризацией(задача 2).1.02DesignIterTikh11.01Par3iqdPar5i1.000.990.980.51.0x1.5Рисунок 4.8.
Распределения теплового потока d на нагреваемой поверхности, соответствующие тепловым потокам на поверхности нагревателя, показанным на рис. 4.7 (задача 2).127постоянных (технически реализуемых) решений: первые помогают сделать разумныепредположения о числе интервалов постоянства, и сделать оценки для начальных значений параметров технически реализуемых решений. В рассматриваемой задаче решение симметрично, и, следовательно, число интервалов должно быть нечетным. Сначалабыли выбраны 5 интервалов, поскольку изначально было неясно, можно ли получитьприемлемое решение, кусочно-постоянное на 3-х интервалах.
Рис. 4.8 показывает, чтовсе решения h обеспечивают практически одинаковые распределения d . Постоянноерешение в этой задаче невозможно. Таким образом, решение Par3i, очевидно, предпочтительное.Поглощение среды может быть учтено в этой задаче без каких-либо проблем. Норешения в таком случае качественно не будут отличаться от полученных (см. [35, 232],где рассматривались осесимметричные задачи, однако в декартовых координатах решения будут качественно похожи).Задача 3.
Радиационный теплоперенос в области = (0, 4) × (0, 1), рис. 4.9. Среда внутри области прозрачна: ( = 0). Верхняя поверхность ( = 1) — поверхностьнагревателя h , нижняя поверхность ( = 0) — нагреваемая поверхность d , боковыеповерхности ( = 0 и = 4) — свободные от оптимизации поверхности f . Коэффициенты черноты поверхностей равны h = 0.9, d = 0.5 и f = 0. Распределение потокачерного тела на нагреваемой поверхности постоянно и равно b = 1. Необходимо найтираспределение теплового потока h () на поверхности нагревателя, которое обеспечилобы на нагреваемой поверхности результирующий тепловой поток, равный dnet () = −2(это означает, что поглощенный нагреваемой поверхностью поток равен d0 () = 2.5).Эта задача отражает некоторые особенности следующей тестовой задачи.hHeaterq=0.9,h= ?1=00=0yDesign surface0xd=0.5,Ib=1,netqd= -24Рисунок 4.9. Схема задачи 3.
(Свободная от оптимизации поверхность имеет индекс 0.)Здесь возможны неотрицательные решения h , которые все же не имеют физического смысла из-за того, что распределения суммарного теплового потока hnet наповерхности нагревателя принимают отрицательные значения, это означает, что потоктеплового излучения, излучаемый нагревателем, меньше, чем поток теплового излуче-128ния, падающий на него. Следовательно в этой задаче необходимо наложить ограничениеhnet > 0.На рис. 4.10 представлены решения h задачи, полученные регуляризацией Тихонова первого порядка (Tikh1), в которой = 10−6 и параметрической регуляризациейна множестве кусочно-постоянных функций (Par5i – 5 интервалов, Par3i – 3 интервала). Распределения результирующего теплового потока hnet на поверхности нагревателяпредставлены на рис.
4.11, распределения теплового потока dnet на нагреваемой поверхности представлены на рис. 4.12.18Tikh116Par5i14Par5i10Par3iqh121086401234xРисунок 4.10. Распределения теплового потока h на поверхности нагревателя, полученныерегуляризацией Тихонова первого порядка и параметрической регуляризацией на множествекусочно-постоянных функций с ограничением hnet > 0 (задача 3).В настоящем подходе к решению задач оптимального проектирования возможноналожение дополнительных ограничений на искомое решение.
Предположим, что в этойзадаче решение Par5i не вполне подходит из-за слишком больших величин тепловогопотока на крайних нагревательных элементах (то есть требуется слишком большаямощность нагревателей). В этом случае можно наложить дополнительные ограничениясверху на значения теплового потока на поверхности нагревателя. На рис. 4.10 показанорешение Par5i10 (5 интервалов), полученное с дополнительным ограничением h 6 10.Рис.
4.12 демонстрирует, что такое решение обеспечивает распределение суммарноготеплового потока dnet на нагреваемой поверхности, близкое к распределению, котороеобеспечивает решение Par5i.Задача 4. Эта задача изучалась в работе [91]. Рассматривается радиационный12912Tikh110Par5iPar5i10hqnet8Par3i642001234xРисунок 4.11. Распределения суммарного теплового потока hnet на поверхности нагревателя(задача 3).-1.90d-2.00qnet-1.95DesignTikh1-2.05Par5iPar5i10Par3i-2.10024xРисунок 4.12. Распределения суммарного теплового потока dnet на нагреваемой поверхности(задача 3).130теплоперенос в области с сечением, изображенным на рис. 4.13. Среда внутри областипрозрачна: = 0. Коэффициенты черноты поверхностей равны h = 0.9, d = 0.5 иf = 0. Поток черного тела на нагреваемой поверхности равен b = 1.
Необходимонайти распределение потоа теплового излучения h () на поверхности нагревателя, которое позволило бы получить на нагреваемой поверхности результирующий тепловойпоток, равный dnet () = −2 (в этом случае тепловой поток, поглощенный нагреваемойповерхностью, равен d0 () = 2.5).Heater:s = 0.8= 0.9, q = ?hhs = 0.6=0s = 0.15s = 0.25Design surface:= 0.5,dnetqd0=0I =1b= -20=0s = 1s = 0s = 0.05s = 0.35s = 0.4Рисунок 4.13.
Схема задачи 4. (Свободная от оптимизации поверхность имеет индекс 0.)На всей границе области задается параметр так, что поверхность нагревателяпредставляется как h = (0.4, 1), нагреваемая поверхность — как d = (0.05, 0.35) исвободная от оптимизации поверхность — как f = (0, 0.05) ∪ (0.35, 0.4), см. рис. 4.13.На рис. 4.14 представлено решение задачи, полученное модифицированной регуляризацией Тихонова первого порядка с ограничением hnet > 0. Модификация следующая: стабилизирующий функционал представляется как сумма интегралов по интервалам (0.4, 0.6), (0.6, 0.8) и (0.8, 1), см. (4.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
