Диссертация (1143492), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тем не менее численная ошибка не уменьшается по сравнению с задачей 2, болееtransparentnetspecularthe refractionindex of thetheshowncylinderinisFig.n = 8.2 and thatCalculatedradiantinterfaces;heat 9uxeson the bottomthe mediumcylinderinareтого,она увеличиваетсявместес высотой цилиндра.environmentisinterpolationn = 1.Inofthisproblemor extrapolationin the boundary conditions (10) are not neededCalculatedradiantheat 9uxeson the bottomthecylinderare theshownin Fig. from8. разрывЭта netошибкапредположительносвязананегладкостью(а фактическиsince thedirectionofa specularly“re9ected”beamofсcoincideswithdirectionthe discreteInthisprobleminterpolationorextrapolationintheboundaryconditions(10)arenotset. Nevertheless,the numericalзеркальногоerror does отраженияnot decrease;moreover, itкритическогоincreases withtheneededheight ofностью) коэффициентав окрестностиугла,см.sincethedirectionofaspecularly“re9ected”beamcoincideswiththedirectionfromthediscretethe cylinder.Френеля(3.33) и рис.Этоnotпохожена ложнуюдиффузию[87,with88] (аналогичset.
формулуNevertheless,the numericalerror3.8.doesdecrease;moreover,it increasesthe height ofWesupposethatthiserrorisconnectedwiththepeculiarityoftheFresnelre9ectivity,which isнуючисленнойвязкостиввычислительнойгидродинамике),котораявызванапространthe cylinder.in factWediscontinuousnear the criticalangle. withThis theis insome way thesimilarto discontinuousboundarysupposeдискретизациейthat this error isуравненияconnected переноса,peculiarityFresnel re9ectivity,which isственнойи котораяofпринегладких(или разрывconditions,which, as it isnearwellthroughnumericaldi-usionlead todistortion boundaryof numericalin factdiscontinuoustheknown,criticalangle.
кThisis in someway similarto thediscontinuousных)граничныхзначенияхприводитискажениямчисленногорешения.Негладкостьsolution.“Discontinuity”also leadsto theadditionaldistortionof numericalconditions,which, as itofis thewellFresnelknown, re9ectivitythrough numericaldi-usionleadto the distortionof numericalкоэффициентазеркальногоотражениятакжеведеткискажениючисленногорешения.solution.solution. “Discontinuity” of the Fresnel re9ectivity also leads to the additional distortion of numericalsolution.92Для проверки этого предположения численная схема была усовершенствована,чтобы исключить ложную диффузию, которая является результатом последовательного усреденения интенсивности вдоль направления при применении формулы (3.45).В усовершенствованной схеме уравнение переноса интегрируется вдоль характеристик,параллельных направлению , не внутри ячейки (как в формуле (3.45)), а от всех граней, лежащих на ближайшей к грани границе (или границе раздела), и испускающихизлучение на эту грань.
В результате вместо формулы (3.45) получим формулуinc=∑︁′ out +∑︁′ ,(3.47)∈∈где — множество граней, лежащих на границе (или границе раздела), и испускающих излучение на грань , — множество ячеек, лежащих между границей (илиграницее раздела), и испускающих излучение на грань .Распределения потока теплового излучения на верхнем основании цилиндра, вычисленные с использованием усовершенствованной формулы (3.47), показаны на рис.
3.22(ср. с рис. 3.21). Оставшиеся ошибки в численном решении вызваны, во-первых, низкимпорядком формулы (3.47), и во-вторых, лучевым эффектом, проявляющимся в усоверS.A. Rukolaine etal. / Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer 84 (2004) 371 – 382381шенствованнойсхеме.1.8N=32qrad1.6H=1H=2H=3H=4Exact, H=1Exact, H=1001.41.21.00.00.20.40.60.81.0rЗадача3. Распределениятепловогоизлученияна верхнемоснованииFig.
Рисунок9. Exact and3.22.calculatednet radiantheat 9uxes on потокаthe bottomof the cylinderfor variousheights. Fresnelinterface.цилиндра(точныеивычисленные),—высотацилиндра.УсовершенствованнаячисленнаяModi,ed numerical scheme.схема.To checkthis suppositionwe modi,edthe показывают,numerical schemeto eliminatenumericaldi-usion,Приведенныечисленныепримерычто задачипереносаизлучениясwhich results from successive averaging of the intensity along each direction j due to applicationзеркальными границами существенно сложнее для решения, чем задачи с диффузнымиof relations (8).
In the modi,ed scheme the RTE is integrated along the characteristics parallel toложной диффузии.the границами,directions из-заj from the nearest faces of a boundary (or interface) up to a given face k. As aresult, instead of relations (8) we obtain relationsIkjinc =ckljIljout +dknj Fnj ;(13)l∈(kjn∈Nkjwhere (kj is the set of the faces of the boundary (or interface), emitting radiation onto the face k,Nkj is the set of the cells between the boundary (or interface) and the face k, emitting radiationonto the face.Net radiant heat 9uxes on the bottom of the cylinder, calculated by the modi,ed scheme, are shownin Fig. 9.
One can see that now the calculated 9uxes are close to the exact ones. The residuary933.4.5Модификация численной схемыПоследняя тестовая задача из предыдущего параграфа демонстрирует трудности,возникающие при решении задач с прозрачными зеркальными границами раздела сред,и одновременно подсказывает направление их решения. В статье [27] предложена модификация численной схемы, предназначенная в первую очередь для решения задачс зеркальными границами, хотя может быть использована и в задачах с диффузнымиграницами.Разбиение области в модифицированной численной схеме точно такое же, как ив исходной. В отличие от описанных выше численных схем в этой схеме интенсивность излучения задается постоянными значениями не на всех гранях всех ячеек, атолько на тех гранях (ячеек, смежных с границами), которые принадлежат внешнимграницам или границам раздела.
В описанных выше численных схемах уравнение переноса интегрировалось вдоль характеристик внутри каждой ячейки. В предлагаемоймодификации уравнение переноса интегрируется вдоль характеристик внутри каждойподобласти, ограниченной внешними границами или границами раздела сред. Такаямодификация позволяет существенно снизить роль лучевого эффекта.3.5Применение при моделировании роста полупрозрачных кристалловЭтот раздел основан на результатах статей [34, 107, 281].В процессе роста кристалла Bi4 Ge3 O12 (германата висмута) из расплава низкоградиентным методом Чохральского на начальном этапе фронт кристаллизации был сильно выгнут в расплав, при этом качество кристалла было неудовлетворительно, позднеефронт кристаллизации становился более плоским, и качество кристалла становилосьхорошим [281], см. рис.
3.23 (схема установки для роста кристаллов представлена нарис. 3.15). Требовалось построить математическую модель, объясняющую такие изменения в форме фронта кристаллизации.Температура плавления кристалла Bi4 Ge3 O12 равна 1323 K. При такой высокойтемпературе перенос тепла излучением оказывает существенное влияние на общий теплои массоперенос в установке, в которой происходит рост кристалла. Кроме того, кристаллгерманата висмута полупрозрачен для теплового излучения, а именно прозрачен в частиинфракрасного спектра. Поэтому перенос тепла излучением значителен именно внутрикристалла и, следовательно, оказывает решающее влияние на процесс его роста.На рис. 3.23 видно, что форма кристалла несколько отличается от осесимметричной: на конической поверхности в верхней части кристалла и на боковой поверхностиимеется некоторое огранение. Однако, поскольку это огранение не очень велико, и,94кроме того, кристалл в процессе роста вращается вокруг вертикальной оси, в математической модели кристалл можно с некоторой степенью точности считать осесимметричным.На основе численных схем, описанных в этой главе, был разработан комплекс программ для решения осесимметричных задач переноса излучения.
Алгоритм численногорешения описан в параграфе 3.3.4. Этот алгоритм одинаков для численных схем, описанных в разделах 3.3 и 3.4. Для моделирования сложного тепло- и массобмена в процессе роста кристалла разработанный программный комплекс использовался совместнос коммерческим пакетом CFD-ACE [83] [34, 107, 227, 281]. Пакет CFD-ACE имеет радиационный модуль (для численно моделирования радиационного теплопереноса), однакоон не может моделировать прозрачные зеркальные границы, разделяющие среды с разными показателями преломления.
Результаты моделирования, см. рис. 3.24, показали,что такая форма фронта кристаллизации вызвана прозрачной зеркальной границеймежду кристаллом и газом [281].95V.S. Yuferev et al. / Journal of Crystal Growth 253 (2003) 383–397386(a)(b)(c)(d)Fig. 2. Variations of crystallization front with increase of the crystal length.Рисунок 3.23.
Эволюция фронта кристаллизации в процессе роста кристалла Bi4 Ge3 O12 [281].lization front in Fig. 2a. However, similar facetsare not necessarily formed at the beginning of thegrowth. The smaller the growth rate, the weakerthe tendency to facet formation. It is seen also thatthe decrease of convexity of the interface isfollowed by the increase of facets /1 1 2S.In Fig.
3, the photos of crystals illuminated byintensive lateral light beam are presented. Anumber of voids are visible, yet they are concentrated in the upper part of the crystals (length ofthe crystals is about 100 mm), while the rest ofboule is free from voids. The small amount ofvoids visible near the edges on the right-hand sideof Fig. 3c is related to the deviation of the thermalconditions from the optimal during the growth runof the crystal, which was chosen for illustration.
Inthe case when facets /1 1 2S were originated at theoutset of the process (Fig. 3b), the crystals turn outto be completely transparent near their axes. Thus,there is reason to believe that concentration ofvoids in crystals and shape of the solid–meltinterface are closely related.
It is seen also thatalthough the amount of voids is rather large theintensity of light along a ray varies insignificantly.The latter means that scattering of light in crystalsis probably small.96394V.S. Yuferev et al. / Journal of Crystal Growth 253 (2003) 383–397Fig. 7. Evolution of crystallization front and temperature field in crystal during the growth. Left side of each figure corresponds toРисунок3.24. Численное моделирование эволюции фронта кристаллизации и температурноdiffuse reflection, and right side to the specular one. (a–e) Variants 1–5, respectively. DT ¼ 0: Contour spacing for temperature is equalгоtoполяроста кристалла Bi4 Ge3 O12 [281].
На каждом рисунке слева — диффузная1 K forвallпроцессеvariants.прозрачная граница кристалла и газа (форма фронта неправильная), справа — зеркальнаяпрозрачная граница кристалла и газа (форма фронта правильная).temperature by 2.4 K for variant 2 and 7–9 K forvariants 1, 3, 4.
The positive temperature shift DTleads to an additional decrease of convexity of thecrystallization front (Fig. 8a) and, consequently, toits greater deviation from the experimental interface. Variations of the melt–solid interface ascrystal is pulled remained non-monotonic,although the non-monotonicity was diminished.In the case of specular reflection the shape ofsolid–liquid interface and its variations withcrystal growth are surprisingly similar to thatrepresented in Fig.
2. It is seen that the deflectionsof the crystallization front in Fig. 2a and 7a arerather close to each other. Moreover, in bothfigures the interface is teardrop-shaped withnarrow concave part near a triple point. Growthrates for the right-side pictures in Fig. 7 are equalto 6.1, 1.9, 6.7, 6.6 and 6.9 mm/h for variants 1–5,respectively and exceed the growth rates in the caseof diffuse reflection. The latter is quite naturalsince specular reflection increases the heat removalfrom the crystallization front (Fig.
6b). Growthrate 1.5 mm/h is reached at the positive temperature displacements, which are also higher than DTseem to be extremely large and are probablyresulting from the fact that we have used theexperimental crucible wall temperature in conjunction with the assumptions of axial symmetry andquasi-steady-state behavior. However, formationof solid–liquid interface significantly deflectedtoward the melt means that at the initial stage ofthe pulling the actual growth rate is greater than1.5 mm/h and varied with time. This has led to thedecrease of DT in variant 1. On the other hand,formation of the large facets /1 1 2S at thecrystallization front must increase the heat fluxesfrom the melt to the interface because rotation ofthe crystal with the faceted front leads to the riseof convective stirring.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
