Диссертация (1143492), страница 18
Текст из файла (страница 18)
[174].883.4.2Дискретизация уравнения переноса и граничных условийДискретизация уравнения переноса в этой схеме осуществляется аналогично егодискретизации в упрощенной схеме. Различие вызвано тем, что теперь грани ячеекмогут иметь коническую или цилиндрическую форму, и поэтому характеристика можетпересекать одну и ту же грань в двух точках. В этом случае грань ячейки разбивается надве части: первая испускает излучение, на вторую излучение падает. Здесь и ниже этичасти граней рассматриваются как разные грани. Отметим, что различные направления делят одну и ту же грань различным образом, или не делят ее совсем.Действуя также, как в упрощенной схеме получим соотношения между интенсивностями.
Первое соотношение, полученное при помощи формулы Гаусса-Остроградского,имеет вид∑︁inc,out · + = ,(3.44)∈где — множество граней ячейки , — «усредненная» нормаль к грани , внешняяпо отношению к ячейке , — площадь грани , — объем ячейки , — средняяинтенсивность излучения в направлении в ячейке , — среднее значение вячейке . Это соотношение по форме не отличается от соотношения (3.36), но теперьмножество граней, вообще говоря, отличается, поскольку одна и та же неплоская граньможет разбиваться на две, одна из которых испускает, а вторая принимает излучение.Второе соотношение, полученное методом характеристик, имеет видinc=∑︁ out + ,(3.45)∈где = 1, . . .
, f , = 1, . . . , ,f — общее число граней, — множество граней ячейки , излучающих в направлении . Соотношение (3.45) по форме не отличается от соотношения (3.40) исходной схемы.Но теперь из-за более сложной формы граней коэффициенты , не могут бытьвычислены аналитически, и их требуется находить численно.Если грань не принадлежит границе двух сред с различными показателямипреломления, тоoutinc= .(3.46)Эти соотношения совпадают с соотношениями (3.41) упрощенной численной схемы.Дискретный аналог условия (3.25) (на непрозрачной диффузной границе) на грани89, принадлежащей границе, имеет вид (3.42)out= dinc+ (1 − d )b,s , · < 0,гдеinc2 ∑︁= =1∑︀∈, , · >0 ( ∑︀∈,· ) inc2 ∑︁≡ =1∑︀∈, , · >0 ( · )inc,— аппроксимация теплового потока, падающего на грань,2 ∑︁= =1∑︀∈, , · >0 ( ∑︀∈,· )2 ∑︁≡ =1∑︀∈, , · >0 ( · ),— аппроксимация числа (вместо числа берется его аппроксимация, чтобы для граничного условия выполнялся закон сохранения энергии), , — множество граней изразбиения области, соответствующего направлению , которые совпадают с гранью в разбиении , то есть являются в этом разбиении одной и той же стороной треугольника из разбиения (число таких граней равно , ), и — внешняя нормальк грани и ее площадь, соответственно.
Площади граней ∈ , при фиксированном равны, для разных их площади, вообще говоря, отличаются.Дискретизация условий (3.27) (на прозрачной диффузной границе раздела сред)осуществляется аналогично тому, как это делалось в упрощенной, см. параграф 3.3.3.3.4.3Алгоритм численного решенияАлгоритм численного решения такой же как и в упрощенной схеме.3.4.4Тестовые задачиТестовые задачи, которые решались при помощи упрощенной схемы, более илименее стандартны. Особый интерес представляют более сложные тестовые задачи, отражающие особенности реальных задач.
Здесь предлагаются новые модельные задачи,описывающие радиационный теплоперенос в областях с прозрачными (диффузнымии зеркальными) границами, разделяющими среды с разными показателями преломления. Эти задачи отражают некоторые особенности переноса теплового излучения привыращивании полупрозрачных кристаллов низкоградиентным методом Чохральского.Некоторые задачи могут быть решены аналитически и использованы в качестве эталонных тестов.4. Test resultsThe presented numerical scheme was applied to the solution of various test problems. 90Obtainedresults con,rm higher accuracy of the scheme compared to the scheme described in Ref.
[13].The aforementionedproblemsтепловогоare standard.Of considerableinterest are moretestЗадачи 1,test2. Переносизлученияв конусе, содержащемсерую complexнепоproblemsthat re9ect неизлучающуюvarious peculiaritiesof real problems.In (this=papertest probглощающую,и нерассеивающуюсреду0, b we= 0,proposes = 0).newКонусlems, theydescribe radiative heat transfer in domains with transparent Fresnel interfaces betweenокружающен также непоглощающей, неизлучающей и нерассеивающей средой.
Радиусmedia with di-erent refraction indices. These problems re9ect some peculiarities of radiative heatоснования конуса равен = 1, его высота равна = 1. Основание конуса излучает сtransfer in the Czochralski semitransparent crystal growth process. They admit analytic solutions andинтенсивностьюb,s = 4/, оно непрозрачное и черное (d = 0). В задаче 1can be постояннойused as benchmarkproblems.боковаяповерхностьдиффузнаяграницараздела с коэффициProblems1, 2.Radiative конусаtransfer—inпрозрачнаяa cone containinga graynon-absorbing,non-emitting andnon-scatteringmedium ( =0; Ib = 0изнутри,and s =равном0). Theis (коэффициентsurrounded byдиффузногоa medium, whichентом диффузногоотраженияd,1cone= 0.8also doesnotabsorb,emitandscatter.RadiusofthebaseoftheconeisR=1,itsheightis Z = 1.отражения снаружи равен d,2 = 0.2), см.
граничные условия (3.27). В задаче2 боThe bottomthe cone emitswithintensityIb; s = граница4=, it isраздела,opaque andblack (преd = 0). Inковаяofповерхностьконуса— constantпрозрачнаязеркальнаяпоказательProblem 1 the side surface of the cone is a transparent di-use interface and di-use re9ectivity fromломления среды в конусе равен = 2, окружающей среды — 2 = 1, см. граничныеthe internal side of the cone is d = 0:8.1 In Problem 2 the side surfaceis a transparent specularусловия(3.31).interface; the refraction index of the medium in the cone is n = 2 and that of environment is n = 1.результирующихтепловогоизлученияна боковойповерхThe resultsРаспределенияof the numericalsolution of theпотоковproblemsare presentedin Figs.6, 7, wherenet radiantностии егооснованиив задачах2 представленырис. 3.19,3.20.
Точныеheat 9uxesonконусаthe sidesurfaceand bottomof the1, coneare shown. наAnalyticsolutionsare calculatedby the (аналитические)mirror-image method[16].Comparisonof theresults[73,showsthat the presenceof Fresnelрешениязадачи2 полученыв статьях76]. Сравнениерезультатовinterfaceпоказывает,leads to anчтоappreciablylargererror in границыnumericalразделаsolution.One maysupposeбольшейthat this errorпрозрачныезеркальныеприводятк заметноis resultedfrominterpolationorextrapolationintheboundaryconditions(10).Consideranotherошибке в численном решении.
Можно предположить, что эта ошибка вызвана интерproblem, in which the error of interpolation or extrapolation is absent.поляцией и экстраполяцией значений интенсивности в граничных условиях (3.43).0.800.70N=16N=32N=480.650.600.0(a)0.20.4Nmeshes=5341.10qradqrad0.751.15Nmeshes=534r0.60.8N=16N=32N=481.051.000.950.01.0(b)0.20.4r0.60.81.0Рисунок net3.19.ЗадачаВычисленныепотоковтепловогоFig. 6.
Calculatedradiantheat 1.9uxeson the sideраспределения(a) and bottomрезультирующих(b) surfaces of thecone forvarious angularизлучениянабоковойповерхностиконуса(a)иегоосновании(b)дляразличныхзначенийdiscretizations. Di-use interface. . meshes ≡ — количество ячеек триангуляции сечения .Чтобы понять, насколько интерполяция и экстраполяция могут влиять на решение, рассмотрим другую задачу, в которой интерполяция и экстраполяция отсутствуют.Задача 3. Перенос теплового излучения в цилиндре, содержащем серую непоглощающую, неизлучающую и нерассеивающую среду. Радиус цилиндра равен = 1, еговысота равна = . Нижнее основание цилиндра излучает с постоянной интенсивностью b,s = 4/, оно непрозрачное и черное (d = 0), верхнее основание и боковаяповерхность цилиндра — прозрачные зеркальные границы раздела сред, показательпреломления среды в цилиндре равен 1 = 2, окружающей среды — 2 = 1, см.
граничные условия (3.31).38091S.A. Rukolaine et al. / Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer 84 (2004) 371 – 3820.843.0N=16N=32N=16N=482.0S.A. Rukolaine et al. / Journal of QuantitativeSpectroscopy& Radiative Transfer84 (2004) 371 – 382N=32Exact1.5N=48N=5340.84 meshesExact1.0 Nmeshes=534qrad380qrad2.53.00.4r0.6N=160.52.50.00.8N=161.0qrad0.2qrad0.830.00.20.42.0r0.6 N=320.81.0N=48ExactN=32(b)1.5N=48Nmeshes=534ExactРисунок3.20.Задача2.Точныеивычисленныераспределениярезультирующих1.0 andNmeshes=534 (b) surfacesExact and calculated net radiant heat 9uxes on the side (a)bottomof the cone forпотоковvarious(a)Fig. 7.angularтепловогоизлучения(a) и его основании (b) для различных0.83 на боковой поверхности конуса0.5discretizations.Fresnelinterface.0.00.2 0.4 сечения0.6 0.8 1.00.2— 0.40.6 0.8 ячеек1.0 триангуляциизначений .
meshes 0.0≡ количество .rr(a)(b)РаспределениятепловогоизлученияверхнемоснованиицилиндраFig. 7. Exactand calculated net потокаradiant heat9uxes on theside (a) and наbottom(b) surfacesof the conefor various поangular1.8discretizations.Fresnelinterface.N =32казаны на рис. 3.21.qrad1.6H=11.8H=21.41.6qradN=32H=3H=4H=11.2Exact, H=1H=21.4Exact, H=100H=31.00.01.20.2H=40.40.60.81.0Exact, H=1 rExact, H=1001.0 9uxes on the bottom of the cylinder for various heights. Fresnel interface.Fig. 8.
Exact and calculated net radiant heat0.00.20.40.60.81.0rЗадача3. Распределениятепловогоизлученияна верхнемоснованииFig.Рисунок8. Exact and3.21.calculatednet radiantheat 9uxes on потокаthe bottomof the cylinderfor variousheights. Fresnelinterface.Problem3. Radiativein a cylinderalso цилиндра.containing a gray non-absorbing, non-emittingцилиндра(точные иtransferвычисленные), — высотаand non-scattering medium, surrounded by a medium, which does not absorb, emit and scatter.RadiusProblemof theВ cylinderis R transfer=1, its inheightZ =alsoH . containingThe bottomcylinder emitswithconstantэтойзадачеинтерполяцияиis экстраполяциязначенийинтенсивностидлязер3.
Radiativea cylindera ofgraythenon-absorbing,non-emittingintensityIb; s = 4=,it isopaqueand black(da=medium,0), thetopand(3.43)the notsidesurfaceemitofпосколькуtheand кальноnon-scatteringmedium,surroundedbywhichdoesabsorb,andcylinderscatter. areотраженногоизлученияв граничныхусловияхне требуется,transparentspecularinterfaces;theitsrefractionthebottommediumin cylinderthe cylinderiswithn =constant2 and thatRadiusofthe cylinderis R =луч1,heightзадачеis Zindex=всегдаH . ofTheof theemitsмножествузеркальноотраженныйв этойпринадлежитдискретномуof environmentis 4=,n = it1.is opaque and black (d = 0), the top and the side surface of the cylinder areintensity Ib; s =лучей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
