Диссертация (1143492), страница 20
Текст из файла (страница 20)
As a result, the magnitudeof DT in variants 3–5 has also to be diminished.The positive temperature shift DT leads to thedecrease of the convexity of the interface towardthe melt. Nevertheless, this decrease is not toosignificant and does not change the similaritybetween calculated and experimental solid–liquidinterfaces.
Note that in contrast to diffuse reflection, variations of solid–melt interface with crystallength in the case of specular reflection turn out973.AПриложенияПриложения основаны на результатах статьи [226].3.A.1Вычисление интегралов по сферическим треугольникам,образованным дугами большого кругаВ этом параграфе описано, как вычисляются интегралы (3.8).Интегрирование осуществляется следующим образом. Пусть 0 , 0 — сферическиекоординаты нормали к плоскости, содержащей дугу большого круга (для сторонтреугольников эти координаты легко вычисляются), то есть⎛⎞ ⎛⎞sin 0 cos 0⎜ ⎟ ⎜⎟ = ⎝ ⎠ = ⎝ sin 0 sin 0 ⎠ .cos 0Уравнение дуги большого круга описывается в декартовых координатах , , уравнением + + = 0,где⎛ ⎞ ⎛⎞sin cos ⎜ ⎟ ⎜⎟⎝ ⎠ = ⎝ sin sin ⎠ ,cos или в сферических координатах , уравнениемsin 0 sin cos( − 0 ) + cos 0 cos = 0.Предположим, что 0 ̸= /2, тогдаctg = − tg 0 cos( − 0 ).Удобнее работать с координатами , , = cos (вместо сферических координат), вэтих координатах дуга большого круга описывается уравнением = √︀tg 0 cos( − 0 )= − √︀,1 + tg2 0 cos2 ( − 0 )1 + ctg ctg 20 ̸= /2.(3.48)Поскольку сферические треугольники ограничены дугами большого круга, вычисление98интегралов∫︀ () d сводится к интегрированию∫︁21∫︁2 () (, ) d d,1 ()где (, ) = (), а 1 () и 2 () находятся по формуле (3.48).
Внутренние интегралывычисляются аналитически, внешние интегралы находятся численно.3.A.2Интегрирование кусочно-квазилинейных функций первого типа по сферическим треугольникамВ этом параграфе описано, как интегрировать функции по сферическим треугольникам .Введем обозначения для вершин сферических треугольников, они происходят изобозначений для вершин плоских треугольников (на октаэдре).
Будем называть вершину -вершиной, если она противоположна стороне плоского или сферического треугольника , являющейся пересечением грани октаэдра с плоскостью = / .Обозначения для - и -вершин вводятся аналогично. Заметим, что для треугольникаoo величины o − , − и − либо положительны либо отрицательны за исключением сторон, противоположных , и -вершинам, соответственно. В-вершине имеют место равенства| o − | = 1,o − = 0,o − = 0,аналогичные равенства имеют место в - и -вершинах. Таким образом, в координатахoo(o , , ) функция, линейная в плоском треугольнике и равная в -вершине, —в -вершине и — в -вершине, имеет видoooo(o , , ) = | o − | + | − | + | − |.Следовательно, функция, квазилинейная в сферическом треугольнике , в координатах = ( , , ) имеет видгде⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒− ⃒ + ⃒− ⃒ + ⃒− ⃒⃒ ,( , , ) = ⃒‖‖‖‖‖‖‖‖ = | | + | | + | |.Чтобы проинтегрировать эту функцию по сферическому тругольнику заметим,что выражения под модулями либо положительны либо отрицательны (в треугольнике).99Поэтому∫︁ ⃒∫︁⃒⃒⃒(︂)︂⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒−d=−d⃒⃒⃒⃒ ‖‖⃒ ⃒‖‖⃒ ∫︁⃒⃒⃒⃒⃒= ⃒d − | |⃒ .⃒⃒‖‖ Аналогичные соотношения справедливы для остальных выражений.
В результате получаем, что∫︁ 3.A.3⃒⃒ ∫︁⃒⃒⃒⃒d − | |⃒() d = ⃒⃒⃒ ‖‖⃒ ∫︁⃒⃒ ∫︁⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒+ ⃒d − | |⃒ + ⃒d − | |⃒ .⃒⃒⃒⃒ ‖‖ ‖‖Построение квазилинейных функций второго типа на сфе-рических треугольникахВ этом параграфе описано, как строятся квазилинейные функции второго типа насферических треугольниках .Пусть Δ — плоский треугольник, вершины которого совпадают с вершинами сферического треугольника , то есть Δ — грань многогранника, вписанного в сферу. Пусть = ( , , ) — нормаль к треугольнику Δ.
Плоскость, содержащая Δ, задается уравнением + + = ,(3.49)где = 0 + 0 + 0 ,(0 , 0 , 0 ) — произвольная точка, лежащая на плоскости (такой точкой может быть,например, одна из вершин треугольника). Точка ( , , ) — радиальная проекцияточки = ( , , ) на плоскость, то есть( , , ) = ( , , ),где — длина вектора ( , , ), и + + = .100Очевидно=и, следовательно,, + + ⎛⎛ ⎞⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ =⎝ ⎠ . + + Пусть ( , , ), = 1, 2, 3, — вершины треугольников и Δ. Не умаляя общности, мы можем предположить, что > 0.
В этом случае треугольник Δ может бытьспроецирован на плоскость = 0, и вершины его проекции Δ имеют координаты( , ), = 1, 2, 3. Задача построения функции, линейной в координатах (, , ) в плоскости (3.49), эквивалентна задаче построения функции, линейной в координатах (, )в плоскости = 0.Для построения удобно использовать барицентрические координаты 1 , 2 , 3 :⎛ ⎞ ⎛⎞−1 ⎛ ⎞11 1 11⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎝2 ⎠ = ⎝1 2 3 ⎠ ⎝⎠ .31 2 3Из определения ясно, что каждая координата — линейная функция, причем ( , ) = 1 и ( , ) = 0, ̸= .Поэтому линейная функция, равная в точке ( , ), = 1, 2, 3, может быть представлена в виде 1 1 + 2 2 + 3 3 .Таким образом, если > 0, функция, квазилинейная в треугольнике и равная в точке ( , , ), = 1, 2, 3, может быть представлена в виде(︁1 2 3)︁⎛⎞−1 ⎛ ⎞1 1 11⎜⎟ ⎜ ⎟⎝1 2 3 ⎠ ⎝ ⎠ .1 2 3Глава 4Оптимизация граничных значений иформы области в задачах переносаизлученияВ разделе 4.1 рассматриваются задачи оптимизации граничных значений дляуравнения переноса излучения.
Задачи оптимизации формулируются как обратные задачи в вариационной постановке. Для решения обратных задач используются вариационные методы регуляризации, имеющие весьма высокую гибкость. Вариационныеметоды позволяют учитывать самую разную априорную информацию об искомом решении, например, его неотрицательность. В то время как, например, такой метод регуляризации как усеченное разложение по сингулярным числам (Truncated Singular ValueDecomposition, TSVD), не может учитывать неотрицательность решения.
Локальныйминимум целевого функционала (а если целевой функционал выпуклый, то и глобальный минимум) находится при помощи градиентных (локальных) методов минимизации.Градиент целевого функционала вычисляется при помощи метода сопряженной задачи,который применяется во всех используемых методах регуляризации.Применяемый в этой главе способ решения — более общий, чем способ, которыйбыл предложен в работах [91, 142]. Например, в этой главе использована конечнопараметрическая регуляризация, в которой искомое решение представляется в видекусочно-постоянной функции, при этом неизвестными являются не только значенияфункции на интервалах постоянства, но и координаты точек разрыва.
Такое представление искомой функции увеличивает множество допустимых решений. В то же времятакое представление приводит к тому, что ограничения в задаче минимизации становятся нелинейными. В результате применения более общего способа решения, в этойглаве удалось найти решения задачи, рассмотренной в работе [91], которые оказалисьлучше решений найденных в этой работе. Принципиальным достоинством предлагае101102мого способа решения оказывается то, что он легко обобщается на задачи, включающиедругие способы тепло- и массопереноса.В разделе 4.2 рассматриваются задачи оптимизации формы области в задачахпереноса излучения с диффузно- и зеркально-отражающими границами.
Для решенияэтих задач используется такой же подход, что и для решения задач оптимизации граничных значений. При минимизации целевого функционала используется комбинацияпростого случайного (или слепого) поиска [255, 283] (это простейший метод стохастической минимизации) и метода сопряженных градиентов. Случайный поиск используетсядля нахождения начального приближения для градиентного метода. Градиент целевогофункционала вычисляется при помощи решения сопряженной задачи.4.1Регуляризация обратных задач оптимизации граничных значенийЭтот раздел основан на результатах статей [35, 233].4.1.1Постановка обратной задачи оптимизации граничных значенийПрямая задачаРассматривается радиационный теплоперенос в стационарной постановке в области ⊂ R3 , содержащей серую (без спектральной зависимости) поглощающую и излучающую среду (для простоты рассеяние не учитывается).
В этом случае переносизлучения описывается стационарным уравнением переноса излучения [29, 32, 143, 196] · ∇ + = b ,(4.1)где ≡ (, ) — интенсивность излучения, = (, , ) — пространственные переменные, = ( , , ) ∈ S2— направление, — коэффициент поглощения,b ≡ b () =2 4— интенсивность излучения черного тела, ≡ () — температура среды, — показатель преломления среды, — постоянная Стефана-Больцмана.103Мы предполагаем, что граница области состоит из поверхности нагревателя (heater) h , нагреваемой поверхности (design surface) d и свободной от оптимизации поверхности (free) f .
Все поверхности серые (то есть без спектральной зависимости) идиффузно отражающие. В этом случае граничные условия на всех поверхностях имеютвид inc ()+ b (), ∈ h ∪ d ∪ f , n < 0,(, ) = (1 − )где∫︁ inc () =n′ >0n′ (, ′ ) d ′— поток теплового излучения, падающий на поверхность, — коэффициент чернотыповерхности, n = · , ≡ () — внешняя нормаль к поверхности. Для простотырассматриваются диффузные границы. Учет зеркального отражения не представляетсложностей.В дальнейшем все свойства среды и поверхностей (параметры и коэффициенты,входящие в уравнение переноса и граничные условия), предполагаются известными.Прямая задача заключается в нахождении интенсивности излучения при известных распределениях температуры внутри границы и на ее границе.
Эта задача математически корректна. После решения прямой задачи можно найти, например, тепловыепотоки на поверхностях.Обратная задачаВ обратной задаче требуется найти распределение температуры на поверхностинагревателя, которое позволило бы получить заданное на нагреваемой поверхности распределение теплового потока (при заданном на нагреваемой поверхности распределениитемпературы). Задача оптимизации формулируется следующим образом: пусть на нагреваемой и свободной от оптимизации поверхностях заданы распределения температуры, найти распределение температуры на поверхности нагревателя, которое позволилобы получить заданное на нагреваемой поверхности распределение теплового потока.Сформулированную задачу оптимизации можно поставить в операторном виде.Пусть коэффициенты черноты поверхности нагревателя, нагреваемой и свободной отоптимизации поверхностей обозачаются символами h , d и f , соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
