Диссертация (1143492), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Как альтернатива матрица ′ и вектор (0) могут быть вычислены в самомначале, и затем оператор , функционал и его градиент могут быть вычислены поформулам (4.35), (4.36), (4.37), (4.38).Дискретный стабилизирующий функционал первого порядка вычисляется так жекак в [43]:h∑︁∑︁(h − −1)2h 2̃︀ ) =.(()+h hh=1=2Чтобы вычислить его градиент, удобно представить стабилизирующий функционал ввиде̃︀ ) = ‖ ‖2 + ‖ ‖2 ,(hh h hhгде матрица размера × имеет вид⎛⎜⎜⎜⎜1 ⎜⎜=⎜h ⎜⎜⎜⎜⎝−110−10...0...00000···00⎞⎟0⎟⎟⎟−1 · · · 0 0⎟⎟...
. ... .. ⎟. . .⎟.⎟⎟0 · · · −1 1⎟⎠1···00···00Учитывая, что оператор, сопряженный к , равен * = T (выводится так же, как и̃︀формула (4.36)), заключаем, что градиент стабилизирующего функционала (︀)︀̃︀ ′ ( ) = 2 ( + * ) ≡ 2 + T ,hhhгде — единичная матрица.После дискретизации ограничение (4.33) принимает вид h − ( h ) > 0,где( h ) = ′ h + (0),(4.39)117 ′ — матрица размера × , неравенство понимается покоординатно. Оператор может быть вычислен в результате решения прямой задачи (4.1), (4.2).
Как альтернативаматрица ′ и вектор (0) могут быть вычислены в самом начале (матрица ′ – в результате решения инфинитезимальной задачи (4.17), (4.18)), и затем оператор можетбыть вычислен по формуле (4.39).Таким образом, регуляризация Тихонова и итерационная сводятся к задаче минимизации с ограничениями̃︀ h ) → ( h ) + (min h >0,(4.40) h −( h )>0̃︀ отсутствует.
Это задача квадрав случае итерационной регуляризации слагаемое тичного програмирования с ограничениями.Для реализации параметрической регуляризации необходимо построить отображение, ставящее в соответствие функции вектор h . Если искомое решение является кусочно-постоянной функцией (4.13), наиболее простое представление, в которомh = (h ), не годится, поскольку такая функция разрывна относительно параметров = (1 , . . . , −1 ) (точки разрыва искомого решения), и, следовательно, соответствую^ () негладкий.щий целевой функционал Чтобы построить отображение функции в вектор h , будем искать наилучшуюкусочно-линейную аппроксимацию функции :‖ − ‖2 → min,hгде = (1 , . .
. , ), линейный оператор определяется соотношением( ) () =∑︁=1 ()(4.41)118(это кусочно-линейная непрерывная функция, принимающая значения в точках h ),⎧⎪⎪1 + ,⎪⎪(︂)︂⎨ − h () = − + 0.5 ,() = 1 − ,⎪h⎪⎪⎪⎩0,⎧⎪⎪1,⎪⎪(︂)︂⎨ − h1 () = 1− 0.5 , 1 () = 1 − ,⎪h⎪⎪⎪⎩0,⎧⎪⎪1 + ,⎪⎪(︂)︂⎨ − h () = − + 0.5 , () = 1,⎪h⎪⎪⎪⎩0, ∈ [−1, 0], = 2, . . . , − 1, ∈ [0, 1],∈/ [−1, 1], ∈ [−0.5, 0],(4.42) ∈ [0, 1],∈/ [−1, 1], ∈ [−1, 0], ∈ [0, 0.5],∈/ [−1, 1].Решение задачи минимизации (4.41) удовлетворяет уравнению Эйлера [2, 41, 43, 44] * = * (4.43)(здесь это система линейных алгебраических уравнений), где * — оператор, сопряженный к оператору .
Следовательно, искомое отображение задается соотношением = ≡ ( * )−1 * .(4.44)Чтобы вычислить это отображение, матрицу ( * )−1 не требуется вычислять явно.Действительно, сопряженный оператор * определяется из соотношенийh · * = ( , * ) = ( , ) =hh∑︁ ( , )h ,=1справедливых для любых ∈ R и ∈ 2 (h ). Поэтому⎛⎞⎛ ∫︁h⎞1 () () d ⎟⎜(1 , )hh⎜⎟⎟1 ⎜1 ⎜⎟....⎜⎟= * =⎟,..⎠ h ⎜⎜∫︁ ⎟h ⎝⎝ h⎠( , )h () () dh119и матрица * — трехдиагональна:⎛⎞5/6 1/6 0 · · · 00⎜⎟⎜1/6 2/3 1/6 · · · 00 ⎟⎜⎟⎜⎟⎜ 0 1/6 2/3 · · · 0⎟0⎜⎟ * = ⎜ ..........
⎟..⎜ ..⎟.....⎜⎟⎜⎟⎜ 0⎟00···2/31/6⎝⎠000 · · · 1/6 5/6Следовательно, отображение (4.44) может быть легко вычислено решением системылинейных алгебраических уравнений (4.43).Таким образом, параметрическая регуляризация сводится к решению задачи минимизации с ограничениями^ () →min ,(4.45)∈, >0 −( )>0где = (, ),⃦2⃒2⃦⃒⃦⃒⃒^^^ () = ⃦− d ⃦ ≡ d ⃒()− d⃒ ,⃦()d^()= ( ), = .Это задача нелинейного программирования с нелинейными ограничениями (поскольку это нелинейная функция ).^Используя стандартные рассуждения [2], получим, что градиент оператора ()равен^ ′ () = ′ ( )′ = ′ ( * )−1 ( * )′ ,где⎛ (︂(︂)︂)︂ ⎞···1 ,⎜ 1 , ⎟1 ⎜⎟hh⎜⎟1 ⎜....*′⎟.....( ) =.⎟)︂(︂)︂(︂h ⎜⎜⎟⎝ , ⎠··· ,1 hh120Если искомое решение является кусочно-постоянной функцией (4.13), то1×h⎛ ∫︁ 1( * )′ =∫︁⎞1 () d (1 − 2 )1 (1 ) · · · (−1 − )1 (−1 ) ⎟1 () d · · ·⎜−1⎟⎜ 0⎟⎜............⎟.......×⎜⎟⎜∫︁∫︁ ⎟⎜ 1⎠⎝ () d (1 − 2 ) (1 ) · · · (−1 − ) (−1 ) () d · · ·0−1Сопряженный оператор [( * )′ ]* определяется из соотношений(︀)︀** · [( * )′ ] h = , [( * )′ ] h = (( * )′ , h ) =Th ( * )′ · h = h · [( * )′ ] h ,справедливых для любых ∈ R и h ∈ R (в пространстве параметров R скалярноепроизведение совпадает с обычным скалярным произведением).
Следовательно,*T[( * )′ ] = h [( * )′ ] .(4.46)^ равенТаким образом, градиент функционала ]︁[︁ ′ ]︁* [︁^^ ′ () = 2 ^ ()()− d ,где, учитывая соотношения (4.36) и (4.46),[︁]︁*′*T^ () = [( * )′ ] ( * )−1 (′ )* ≡ d [( * )′ ] ( * )−1 (′ )T .Заметим, что использование функций() = 1 () = () =⎧⎨1, ∈ [−0.5, 0.5],⎩0, ∈/ [−0.5, 0.5],^ ().вместо функций (4.42) приводит к негладкому фунционалу Заметим в конце, что оператор и сопряженный оператор (′ )* могут быть вычислены любым подходящим по точности и скорости численным методом решения задач переноса излучения. Здесь численные результаты были получены при помощи подхода, описанного в статьях [27, 230].
В этих статьях описывается подход к осесимметричным и трехмерным задачам, однако он элементарно распространяется на двухмерные121задачи.Задачи минимизации (4.40), (4.45) могут быть решены любым подходящим численным методом.4.1.7Модельная задачаВ этом параграфе описанные методы регуляризации применяются к решению модельной двухмерной задачи с известным решением. Эта задача не вполне «реалистична», тем не менее она отражает основные особенности, присущие обратным задачамоптимального проектирования. Все величины безразмерны.Задача 1. Перенос теплового излучения в «двухмерной» области прямоугольногосечения = (0, 2) × (0, 1), рис. 4.1, заполненной прозрачной средой ( = 0), рассеяниеотсутствует.
Верхняя поверхность ( = 1) — поверхность нагревателя h , нижняя поверхность ( = 0) — нагреваемая поверхность d , боковые поверхности ( = 0 и = 2)— свободные от оптимизации поверхности f . Все поверхности черные: h = 1, d = 1,f = 1. Нагреваемая и свободная от оптимизации поверхности холодные: интенсивностичерного тела на них равны b,d () = 0 и b,f () = 0, соответственно. Надо найти распределение потока h () на поверхности нагревателя, которое позволило бы получитьтепловой поток, поглощенный нагреваемой поверхностью, равный[︃]︃−1.5−0.51√︀− √︀,d0 () =2( − 0.5)2 + 1( − 1.5)2 + 1см.
рис. 4.2. Эта задача имеет точное решение⎧⎨0, ∈ (0, 0.5) ∪ (1.5, 2),0h () =⎩1, ∈ (0.5, 1.5),см. рис. 4.2.Неустойчивость решения задачи иллюстрируется на рис. 4.2. На рисунке показаныцелевой поток d0 и точное решение h0 . На рисунке представлены также два распределения потока теплового излучения h1 и h2 на поверхности нагревателы и соответствующиераспределения теплового потока d = (h ), = 1, 2, на нагреваемой поверхности.
Максимальная абсолютная разность между d , = 1, 2, и d0 меньше, чем 5 · 10−3 (на рисункеграфики фактически неразличимы). Относительные ошибки, даваемые этими распределениями d1 и d2 , показаны на рис. 4.3.Важно еще раз отметить, что представленные распределения лишь иллюстрируют неустойчивость решений. Математическая некорректность задачи доказывается элементарно.122q=1,hHeater= ?h1= T1,=00=00yDesign surfacex0=1,dT=0,dq=dq20dРисунок 4.1. Схема задачи 1. (Свободная от оптимизации поверхность имеет индекс 0.)1.2q1h1.0q00.8qqh2h0.60.40,1,2qd0.20.00.00.51.0x1.52.0Рисунок 4.2.
Целевой поток d0 и точное решение h0 (сплошные линии), два распределенияпотока теплового излучения h1 и h2 и соответствующие тепловые потоки d = (h ), = 1, 2,на нагреваемой поверхности (штриховые линии).1230.05q1dq2d0.00dq /q01d-0.050.00.51.0x1.52.0Рисунок 4.3. Относительные ошибки в тепловых потоках d1 и d2 на нагреваемой поверхности(относительно целевого потока d0 ).На рис. 4.4 показаны решения h этой задачи, полученные при помоши различныхметодов регуляризации с учетом неотрицательности решения: решения, обозначенныеIter2 и Iter3, получены итерационной регуляризацией (максимальная абсолютная разность между соотвтетствующими распределениями теплового потока d = (h ) и целевым потоком d0 меньше, чем 10−2 и 10−3 , соответственно); решения Tikh03 и Tikh04получены регуляризацией Тихонова нулевого порядка с параметром регуляризации ,равным 10−3 и 10−4 , соответственнно; решения Tikh14 и Tikh15 получены регуляризацией Тихонова первого порядка с параметром регуляризации , равным 10−4 и 10−5 ,соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
