Диссертация (1143492), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Введемпоток черного тела на поверхности нагревателяh () = b (), ∈ h .104Граничные условия принимают вид]︀1 [︀(1 − h ) inc () + h h () , ∈ h , n < 0, inc ()+ d b (), ∈ d , n < 0,(, ) = (1 − d ) inc ()(, ) = (1 − f )+ f b (), ∈ f , n < 0.(, ) =(4.2a)(4.2b)(4.2c)Определим оператор — оператор прямой задачи — соотношением(h ) = d ,(4.3)гдеd () = d inc (), ∈ d ,(4.4)— поток теплового излучения, поглощенный нагреваемой поверхностью. Оператор не может быть, вообще говоря, представлен в аналитическом виде, но может быть вычислен в результате решения прямой задачи для уравнения переноса излучения (4.1) сграничными условиями (4.2).Задача оптимизации может быть сформулирована как обратная задача: заданораспределение теплового потока d , найти распределение теплового потока h .

Основная проблема этой обратной задачи состоит не в том, чтобы найти обратный оператор−1 . Основная проблема в том, что сформулированная обратная задача математическинекорректна, когда решение h неустойчиво относительно сколь угодно малых изменений в распределении d .Обратную задачу можно сформулировать как задачу минимизации: найти распределение h , минимизирующее целевой функционал(h ) = ‖(h ) − d ‖2 ,dгде‖‖2d=∫︁d(4.5)|()|2 dПоскольку исходная обратная задача (4.3) некорректна, задача минимизации такженекорректна: решение неустойчиво относительно возмущений распределения d .4.1.2Используемые методы регуляризацииДля решения поставленной обратной задачи мы используем вариационные методырегуляризации, поскольку они наиболее гибки, и дают возможность учитывать разнообразную априорную информацию об искомом решении.

Мы используем метод регу-105ляризации Тихонова [41, 43], итерационную регуляризацию [2, 130] и параметрическуюрегуляризацию [14, 60].В дальнейшем для простоты методы регуляризации применяются на примере«двухмерной» области , бесконечной вдоль оси и задаваемой только координатами , . Все методы могут быть обобщены на трехмерные области.Мы используем метод регуляризации Тихонова, который заключается в минимизации сглаживающего функционала (h ) ≡ (h ) + (h ) → min,h(4.6)где > 0 — параметр регуляризации, — стабилизирующий функционал (стабилизатор) нулевого или первого порядка, соответственно, [41, 43]:(h ) =∫︁hh2 () dили (h ) =∫︁h}︁{︁2h2 () + [h′ ()] d.Мы предполагаем здесь, что область «двухмерная», и поверхность нагревателя hможно рассматривать как кривую в двухмерном пространстве, заданную параметрически скалярным параметром . Параметр регуляризации выбирается в соответствии спринципом невязки [41, 43].В некоторых случаях (см., например, задачу 4 ниже) удобно a priori представлятьповерхность нагревателя как состоящую из конечного числа поверхностей меньших на(1)(2)гревателей: h = h ∪ h ∪ .

. . . В таких случаях мы используем также модификациюметода регуляризации Тихонова первого порядка, в которой стабилизирующий функционал имеет вид(h ) =(︃∫︁(1)h+∫︁(2)h+...)︃{︁}︁2h2 () + [h′ ()] d.(4.7)Эта модификация дает решения, которые существенно лучше, чем решения, получаемые стандартной регуляризацией Тихонова первого и даже нулевого порядка, поскольку здесь решение h может быть разрывно в соответствующих точках.Мы использовали также регуляризацию Тихонова, в которой стабилизирующийфункционал это полная вариация [43] функции h . Однако сглаживающий функционал с таким стабилизатором негладкий.

Как следствие, численные методы, минимизирующие такой сглаживающий функционал, сходятся очень медленно. Поэтомуиспользование такого стабилизатора крайне неэффективно с вычислительной точкизрения.Мы используем также итерационную регуляризацию [2, 130], которая заключается последовательной минимизации целевого функционала каким-либо градиентным106методом:(h ) → min,(4.8)hпри этом правило остановки процесса минимизации выбирается в соответствии с принципом невязки. Итерационный процесс может быть построен на основе таких градиентных методов как метод наискорейшего спуска или метод сопряженных градиентов,причем последний, вообще говоря, значительно эффективнее первого.

Однако в рассматриваемых задачах на искомое решение могут накладываться нетривиальные ограничения (см., например, задачу 4 ниже). Использование метода сопряженных градиентов в таких случаях может оказаться проблематичным (существуют, однако, некоторые стратегии для поиска неотрицательных решений, см. [78]).

Поэтому мы используемздесь более простой метод наискорейшего спуска, модификации которого допускают наложение довольно сложных ограничений. Решение, полученное итерационной регуляризацией, зависит от начального приближения, здесь используется нулевое начальноеприближение.Параметрическая регуляризация [14, 60] основана на представлении искомой функции в параметрическом виде конечным числом параметровh () = (),(4.9)где = (1 , . . .

, ) — параметры, и заключается в решении задачи минимизации^()→ min,(4.10)∈где⃦⃦2⃦^⃦^() = ⃦() − d ⃦ ,d^()= ( ),(4.11)(4.12) — ограниченное множество в R (в [60] этот метод называется метод методом функциональной аппроксимации). Параметрическая регуляризация обобщает метод наименьших квадратов и может рассматриваться как частный случай метода квазирешений[41, 43].В задачах оптимального проектирования, рассматриваемых здесь, естественно искать кусочно-постоянные решения (то есть температура поверхности каждого нагревателя постоянна). В случае «двухмерной» области поверхность нагревателя h рассматривается как кривая, заданная параметрически скалярным параметром так, чтоh = { : ∈ [, ]},107и искомое решение представляется в виде кусочно-постоянной функцииh () = () ≡∑︁ ∈ h , (),=1(4.13)где = (, ), = (1 , .

. . , ), = (1 , . . . , −1 ),— параметры искомого решения,⎧⎨1, ∈ ( , ),−1 () =⎩0, ∈/ ( , ),−1 = 0 < 1 < . . . < −1 < = .Параметры, которые определяют решение h , это значения теплового потока 1 , . . . , на интервалах его постоянства и координаты 1 , . . . , −1 точек разрыва. Таким образом,число параметров равно = 2 − 1.Все вариационные методы регуляризации могут учитывать априорную информацию об искомом решении. Например, неотрицательность решения совершенно естественна во многих случаях, в частности в рассматриваемых задачах оптимального проектирования. Для того, чтобы учесть ограничения, необходимо добавить их в соответствующую задачу минимизации, то есть (4.6), (4.8) или (4.10).Для решения задач минимизации используются градиентные методы.

Поэтомуключевым пунктом в предлагаемом подходе является нахождение градиента функционалов (4.5) и ^ (4.11).4.1.3Градиент целевого функционала и сопряженная задачаВ этом параграфе выводится градиент функционала , который используется прирешении задач минимизации (4.6) и (4.8).Оператор аффинный: он имеет вид(h ) = ′ h + (0),(4.14)где поток (0) не зависит от потока h , и оператор ′ линейный (оператор ′ это производная Фреше оператора ). Поэтому градиент функционала имеет вид [2, 44] ′ (h ) = 2(′ )* [(h ) − d ] ,где (′ )* — оператор, сопряженный к ′ .(4.15)108Оператор ′ определяется соотношением′ h = ̃︀d ,где поток̃︀d () = d inc (),(4.16) ∈ d ,вычисляется в результате решения задачи, которую будем называть инфинитезимальной (sensitivity problem).

Инфинитезимальная задача состоит из однородного уравненияпереноса излучения · ∇ + = 0(4.17)и граничных условий]︀1 [︀(1 − h ) inc () + h h () , ∈ h , n < 0, inc ()(, ) = (1 − d ), ∈ d , n < 0, inc ()(, ) = (1 − f ), ∈ f , n < 0.(, ) =(4.18a)(4.18b)(4.18c)Отметим, что инфинитезимальная задача (4.17), (4.18) это фактически прямая задача (4.1), (4.2), но в которой уравнение переноса излучения (4.1) и граничные условия(4.2b), (4.2c) однородны.Предполагается, что оператор ′ действует из гильбертова пространства 2 (h ) вгильбертово пространство 2 (d ), где 2 () — гильбертово пространство со скалярнымпроизведением∫︁(, ) = d,и нормой‖‖ =√︀, ∈ 2 (),(, ) .В этом случае оператор (′ )* действует 2 (d ) в 2 (h ) и определяется равенством(′ h , d )d = (h , (′ )* d )hдля всех h ∈ 2 (h ) и d ∈ 2 (d ) [2, 44].Ниже выводится сопряженная задача, она позволяет найти оператор (′ )* .

Характеристики

Список файлов диссертации