Диссертация (1143492), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Умножим уравнение переноса (4.17) на интенсивность * ≡ * (, ) и проинтегрируем полученное соотношение по области и единичной сфере S2 :∫︁ ∫︁( · ∇ + ) * d d = 0.109После интегрирования по частям, получим соотношение∫︁ ∫︁** (− · ∇ + ) d d +∫︁ ∫︁n * d d = 0,где = h ∪ d ∪ f — граница области . Если интенсивность * удовлетворяет сопряженному уравнению переноса излучения− · ∇ * + * = 0,то выполняется равенство∫︁ ∫︁(4.19)n * d d = 0.Представим интеграл по поверхности в виде суммы интегралов по поверхностямh , d , f .Введем поток∫︁ *,out () =n′ <0|n′ | * (, ′ ) d ′и поставим граничное условие для интенсивности * на поверхности f : * (, ) = (1 − f ) *,out (), ∈ f ,n > 0.(4.20)Учитывая граничное условие (4.18c), получим, что интеграл по свободной от оптимизации поверхности f равен нулю.

Действительно, если ∈ f , то∫︁*n d =∫︁*∫︁n * d =n >0n <0∫︁∫︁*n d |n >0 − |n <0|n | * d =n >0n <0(︂)︂inc *,outinc **,outinc* |n >0 − (1 − f )= |n >0 − (1 − f )= 0.n d +Следовательно∫︁ ∫︁fn * d d = 0.На поверхностях h и d поставим граничные условия * (, ) = (1 − h )и * (, ) = *,out (), ∈ h ,]︀1 [︀(1 − d ) *,out () + d ̃︀d () ,n > 0, ∈ d ,n > 0.(4.21)(4.22)110Учитывая граничные условия (4.18a), (4.18b), получим соотношение0=∫︁h ∪d∫︁∫︁h[︀(n ) * d d =inc * |n >0 − |n <0 *,out]︀d +∫︁[︀]︀ inc * |n >0 − |n <0 *,out d =d]︂[︂[︀]︀ *,out1incinc *d+(1 − h ) + h h |n >0 −h]︂∫︁ [︂ inc *,outinc * |n >0 − (1 − d )d =d(︃∫︁)︃∫︁]︀11 [︀ ′( h , ̃︀d )d − (h , h *,out )h .′ h ̃︀d d −h h *,out d =dh∫︁В результате мы получили, что оператор (′ )* задается равенством(′ )* ̃︀d = h* ,где потокh* () = h *,out (),(4.23) ∈ h ,находится в результате решения сопряженной задачи (4.19), (4.20), (4.21), (4.22).В дальнейшем удобно поменять направление в сопряженном уравнении (4.19)и граничных условиях (4.20), (4.21), (4.22) на противоположное −, не меняя обозначение для интенсивности * .

Тогда получим, что потокh* () = h *,inc (), ∈ h ,(4.24)находится в результате решения задачи, которую мы также называем сопряженной.Эта сопряженная задача состоит из уравнения · ∇ * + * = 0,(4.25)и граничных условий * (, ) = (1 − h ) *,inc (), ∈ h , n < 0,]︀1 [︀(1 − d ) *,inc () + d ̃︀d () , ∈ d , n < 0, *,inc () * (, ) = (1 − f ), ∈ f , n < 0, * (, ) =(4.26a)(4.26b)(4.26c)111где*,inc() =∫︁n′ >0n′ * (, ′ ) d ′— поток излучения, падающий на границу.РезюмеГрадиент целевого функционала вычисляется по формуле (4.15), при этом сопряженный оператор (′ )* , определяемый формулами (4.23), (4.24), вычисляется в результате решения сопряженной задачи (4.25), (4.26).Замечание. Все рассуждения этого параграфа без труда обобщаются на случайрадиационного теплопереноса с рассеянием.

В этом случае уравнение переноса излучения принимает вид [32, 196] · ∇(, ) + ( + )(, ) =4∫︁(, ′ )(, ′ ) d ′ + b (),где — коэффициент рассеяния, (, ′ ) — фазовая функция рассеяния (если рассеяние изотропно, то ≡ 1). Кроме того вместо уравнения (4.17) должно быть уравнение · ∇(, ) + ( + )(, ) =4∫︁(, ′ )(, ′ ) d ′ ,вместо уравнения (4.19) — уравнение− · ∇ (, ) + ( + ) (, ) =4**∫︁( ′ , ) * (, ′ ) d ′ ,и вместо уравнения (4.25) — уравнение · ∇ (, ) + ( + ) (, ) =4*4.1.4*∫︁(− ′ , −) * (, ′ ) d ′ .Градиент функционала ^^ который используется приВ этом параграфе выводится градиент функционала ,решении задачи минимизации (4.10).Градиент функционала ^ имеет вид [2, 44][︁]︁* [︁]︁^^′ () = 2 ^′ ()()− d ,(4.27)где линейный оператор ^′ () это производная Фреше оператора ^ в точке , [^′ ()]* —оператор, сопряженный к ^′ ().

Заметим, что оператор ^′ () действует из пространстваR в пространство 2 (d ), а сопряженный оператор [^′ ()]* действует из 2 (d ) в R .112Сначала требуется определить оператор ^′ (). Поскольку имеет место соотноше^ние (4.14), производная оператора ()(4.12) равна производной оператора ^1 () =′ (оператор ′ линейный, но оператор ^1 , вообще говоря, нелинейный, если функция зависит от параметров нелинейно). При помощи стандартных рассуждений [2]легко получается, что[︁]︁∑︁′^′ , () ==1где = (1 , . . . , ).Сопряженный оператор [^′ ()]* определяется равенством([^′ ()] , ̃︀d )d = · [^′ ()]* ̃︀dдля всех ∈ R and ̃︀d ∈ 2 (d ).

Из соотношений(︁[︁]︁)︁^′ () , ̃︀dd=(︃ ∑︁=1′ , ̃︀d)︃=d∑︁=1)︂(︂′ , ̃︀= d d∑︁=1учитывая формулу (4.23), получим, что[︁⎛(︂ *,1 h...(︂, (′ )* ̃︀d)︂,h)︂ ⎞⎟⎜h ⎟⎜]︁*⎟⎜⎟,^′ () ̃︀d = ⎜⎟⎜)︂ ⎟⎜(︂⎠⎝ *, h(4.28)hгде поток h* определяется по формуле (4.24).В случае, если искомое решение является кусочно-постоянной функцией (4.13),имеем= (), = 1, . .

. , ,и= ( − +1 )( − ), = 1, . . . , − 1,(4.29)где (·) — дельта-функция Дирака. Производные (4.29) получаются непосредственноиз представления (4.13). Дельта-функция Дирака не принадлежит пространству 2 ,поэтому соответствующие скалярные произведения в формуле (4.28) формально неопределены. В этом случае можно предположить, что функции h* достаточно гладкие,и рассматривать скалярное произведение как билинейную форму, которая для таких113функций определена. В результате формула (4.28) принимает вид⎛∫︁1h* () d⎞⎟⎜0⎟⎜.⎟⎜..⎟⎜ ∫︁⎟⎜⎟⎜[︁]︁**h () d ⎟⎜′^ () ̃︀d = ⎜⎟.−1⎟⎜⎟⎜⎜ (1 − 2 )h* (1 ) ⎟⎟⎜..⎟⎜.⎠⎝*(−1 − )h (−1 )(4.30)РезюмеГрадиентфункционала^ вычисляется по формуле (4.27), при этом сопряженный[︁]︁*оператор ^′ () вычисляется по формуле (4.28) в результате решения сопряженнойзадачи (4.25), (4.26). Если искомое решение является кусочно-постоянной функцией(4.13), то сопряженный оператор вычисляется по формуле (4.30).4.1.5Ограничения на искомое решениеЧтобы получить физичное решение, в задачах минимизации необходимо наложитьограничения на множество допустимых решений.

Во-первых, решение должно бытьнеотрицательно:h () > 0.(4.31)Во-вторых, результирующий поток излучения на поверхности нагревателя также должен быть неотрицателен (поскольку нагреватель должен отдавать, а не получать энергию):[︀]︀hnet () = h h () − hinc () > 0,(4.32)гдеhinc () = inc (), ∈ h ,— поток теплового излучения, падающий на поверхность нагревателя.В операторной форме ограничение (4.32) имеет видh () − (h )() > 0,где оператор задается соотношением(h ) = hinc(4.33)114и находится в результате решения прямой задачи (4.1), (4.2). Оператор — аффинный,поскольку он имеет вид(h ) = ′ h + (0),где поток (0) не зависит от потока h , оператор ′ — линейный, он находится в результате решения инфинитезимальной задачи (4.17), (4.18). Следовательно ограничение(4.33) линейное.Таким образом регуляризация Тихонова и итерационная сводятся к решению задачи минимизации(h ) + (h ) → minh >0h −(h )>0(в итерационной регуляризации = 0), здесь оба ограничения линейные.Аналогично, параметрическая регуляризация сводится к решению задачи минимизации^()→ min ,∈, >0 −( )>0где ограничения > 0 и − ( ) > 0 в общем случае нелинейные.

Если искомое решение является кусочно-постоянной функцией (4.13), то ограничение > 0 заменяетсялинейным ограничением > 0.4.1.6Численная реализацияВ этом параграфе численная реализация описанных выше методов регуляризацииописывается для «двухмерного» случая, когда область бесконечна по оси . В этомслучае поверхность — это кривая на плоскости , .Предполагается, что поверхность описывается параметром так, что h = [h , h ]и d = [d , d ]. Функции h () и d () задаются своими значениями в точках {h }=1 и{d }=1 , соответственно, гдеh 6 h1 < . . . < h 6 hи d 6 d1 < . .

. < d 6 d .То есть функции h и d представляются векторами⎛ ⎞h⎜ .1 ⎟.⎟h = ⎜⎝.⎠h⎛ ⎞d⎜ .1 ⎟.⎟и d = ⎜⎝ . ⎠,dсоответственно, где h = h (h ) и d = d (d ). Для простоты предположим, что узлы —115равноотстоящие:h = ( − 0.5)h ,и = 1, . . . , ,h = h − h,d − d.В этом случае обратная задача (4.3) сводится к обратной задачеd = ( − 0.5)d , = 1, . . . , ,d =( h ) = d ,(4.34)где — оператор из R в R . Оператор аффинный:( h ) = ′ h + (0),(4.35)где ′ = { } — матрица размера × , 0 — нулевой вектор. Матрица плохо обусловлена ′ , поскольку она дискретизует компактный оператор (4.16).Определим следующие скалярные произведения (и соответствующие нормы) в R(для h ) и R (для d ):(︀ 1h , 2h)︀h= h 1h · 2h ,(︀ 1 2 )︀ d , d = d 1d · 2d ,dгде 1h , 2h ∈ h , 1d , 2d ∈ d , точка “·” обозначает обычное скалярное произведение векторов.

Эти скалярные произведения согласуются со скалярными произведениями пространствах 2 (h ) и 2 (d ), соответственно.Для любых h и d имеем[︀]︀h h · [(′ )* d ] = ( h , (′ )* d ) = (′ h , d ) = d [′ h ] · d = d h · (′ )T dhdи, следовательно, сопряженный оператор равен(′ )* =d ′ T( ) ,h(4.36)где символ T означает транспонирование.При дискретизации целевой функционал заменяется функционалом ( h ) = ‖( h ) − d ‖2 ≡ d |( h ) − d |2 .d(4.37)116Градиент функционала равен ′ ( h ) = 2(′ )* [( h ) − d ] ≡ 2d ′ T( ) [( h ) − d ] .h(4.38)Оператор может быть вычислен по формулам (4.3), (4.4) в результате решенияпрямой задачи (4.1), (4.2). Сопряженный оператор (′ )* в свою очередь может бытьвычислен по формулам (4.23), (4.24) в результате решения сопряженной задачи (4.25),(4.26).

Характеристики

Список файлов диссертации