Диссертация (1143492), страница 26
Текст из файла (страница 26)
. . , ) ∈ R , то производная по направлению равна⃒⃒⃒⃒dd2⃒⃒d () = ( + )⃒ = |( + ) − | ⃒dd=0=0[︀]︀ {︀[︀ ′ ]︀ }︀ {︁ [︀ ′ ]︀T [︀]︀}︁= 2 () − · () = 2 () () − · , (4.56)где ′ — производная отображения , ′ — матрица размера × (см. [2, 44]). Поскольку производная по направлению равна такжеd () = ∇ () · ,где ∇ — градиент , можно заключить, что градиент функции имеет вид∇ () = 2[′ ()]T [() − ](4.57)(выражение для градиента функции может быть выведено и непосредственно).Дифференциал целевого функционала (o ) как обобщение производной понаправлению векторного поляАналогично тому, как это сделано выше, градиент целевого функционала (o )относительно вариаций поверхности o может быть определен в рамках вариационногоисчисления поверхностей (shape sensitivity analysis) [254], см.
также [132] и [97] (shapecalculus). Строго говоря, функционал (o ) не является функционалом формы (в оригинале domain (or shape) functional), поскольку он зависит не только от формы границыобласти , но также от распределения интенсивности черного тела на этой границе.Однако техника вариационного исчисления поверхностей (shape sensitivity analysis) при-139менима и в этом случае.В вариационном исчислении поверхностей (shape sensitivity analysis) область подвергается возмущению преобразованием : R3 → R3 , имеющем вид () = + (),(4.58)где — гладкое векторное поле (поле скоростей), определенное в окрестности области, параметр > 0 достаточно мал так, что обратное преобразование = −1 определено (см.
рис. 4.22). В рассматриваемых задачах поле отлично от нуля только вмалой окрестности поверхности o , остальные поверхности, в частности нагреваемаяповерхность d , остаются неизменными (невозмущенными).vϕt (So )Soϕt (r)rϕtr̃ψt (r̃)ψtDDtРисунок 4.22. Возмущение области (двухмерная иллюстрация). Интенсивность ≡ (˜ , ), ˜ ∈ , — решение прямой задачи в возмущенной области .
Интенсивность ≡ (, ) = ( (), ) — то же самое решение, но представленное как функция точки (), где ∈ , то есть интенсивность определена в исходной (невозмущенной) области. Заметим, что ( ()) ≡ .Обобщение понятия производной по направлению (4.55) в вариационном исчислении поверхностей (shape sensitivity analysis) дается эйлеровой производной (Eulerianderivative) [254] или дифференциалом (shape differential) [77] функционала () вдольвекторного поля :⃒⃒ ( ) − ()dd () = lim≡ ( )⃒⃒,→0+d=0+defгде = () — возмущенная область.
Эйлерова производная d это прежде всегодифференциал функционала относительно поля (d зависит от линейно), см.,например, [4, 17], поэтому мы будем использовать термин дифференциал.Дифференциал и градиент целевого функционалаЦелевой функционал (o ) зависит, вообще говоря, от области . Тем не менее,мы обозначаем его символом (o ), чтобы подчеркнуть его зависимость от поверхностиo .Сначала введем вариационную производную (shape derivative, [254]) ′ интенсив-140ности , которую определим как⃒⃒d (, ) − (, )≡ (, )⃒⃒, (, ) = lim→0+d=0+′def ∈ ,(4.59)где интенсивность ≡ (˜ , ),˜ ∈ ,это решение прямой задачи (4.47), (4.48), но не в исходной области , а в возмущеннойобласти , см.
рис. 4.22. Вариационная производная ′ соответствует точке зрения Эйлера на движение сплошной среды, в которой система отсчета наблюдателя неподвижна. Вариационная производная ′ является решением специальной краевой задачи дляоднородного уравнения переноса излучения, которая называется инфинитезимальной(sensitivity problem). Эта задача будет выведена ниже, см.
параграф 4.2.5.Дифференциал функционала (o ) выводится таким же образом, как дифференциалы функционалов формы в [254], и может быть представлен в виде⟩⟨d = 2 (o ) − ¯dinc , d′,incd(4.60)[это равенство обобщает равенство[︀]︀ {︀[︀]︀ }︀d () = 2 () − · ′ () ,см. (4.56)], гдеd′,inc () = ′,inc (),и′,inc() =∫︁n >0 ∈ d ,n ′ (, ) d,(4.61) ∈ ,(4.62)— падающий поток, соответствующий интенсивности (вариационной производной) ′ .Вариационная производная ′ зависит от векторного поля линейно (это следуетиз ее определения). Поэтому поток d′,inc , который линейно зависит от ′ , может бытьпредставлен в видеd′,inc = [′ (o )] o ,(4.63)где o ≡ |o и ′ (o ) — линейный оператор, который отображает векторное поле o(определенное на оптимизируемой поверхности o ) в поток d′,inc (определенный на нагреваемой поверхности d ). Оператор ′ (o ) можно рассматривать как «производную»оператора в «точке» o [выражение [′ (o )] o обобщает выражение [′ ()] в соотношениях (4.56)].
Оператор ′ (o ) не может быть, вообще говоря, выражен аналитически,однако он может быть выражен через вариационную производную ′ и инфинитези-141мальную задачу (sensitivity problem).Подставляя соотношение (4.63) в выражение (4.60), получим, что дифференциалцелевого функционала может быть представлен в виде (см., например, [4, 17])d = ⟨ ′ (o ), o ⟩o ,(4.64)где* ′ (o ) = 2 [′ (o )] [(o ) − ¯dinc ],(4.65)[′ (o )]* — оператор, сопряженный к ′ (o ). Следовательно ′ (o ) это градиент (shapegradient [254]) функционала (o ) [выражение (4.65) обобщает выражение (4.57), а выражение (4.64) обобщает выражение (4.56)].
Градиент ′ (o ) отображает оптимизируемую поверхность o в векторное поле на ней же, поскольку сопряженный оператор[′ (o )]* отображает поток на нагреваемой поверхности d в векторное поле на o . Этовекторное поле (то есть ′ (o )) можно рассматривать как «направление» наискорейшего возрастания целевого функционала в «точке» o .При выводе инфинитезимальной задачи (sensitivity problem), задающей вариационную производную ′ , используется субстанциальная производная (material or Lagrangianderivative [254]), которая определяется здесь как⃒⃒d(,)−(,)˙ ) = lim≡ (, )⃒⃒,(,→0+d=0+defгде (, ) = ( (), ), ∈ ,(4.66)∈(см.
рис. 4.22). Субстанциальная производная ˙ соответствует точке зрения Лагранжана движение сплошной среды, в которой система отсчета наблюдателя движется вместесо средой.Субстанциальная и вариационная производные связаны следующим соотношением:˙ = ′ + ∇ · (4.67)при условии, что все величины, входящие в него, определены, см. [254]. Это соотношениеследует из определений (4.59) и (4.66).РезюмеСначала при выводе градиента целевого функционала ′ (o ) выводится субстанци˙ Интегральное тождество, определяющее субстанциальную проальная производная .˙ выводится в параграфе 4.2.3.
После этого выводится вариационная производную ,изводная ′ в параграфе 4.2.5. Вариационная производная задает оператор ′ (o ). На142заключительном этапе выводится сопряженная задача, задающая сопряженный оператор [′ (o )]* . Сопряженная задача выводится в параграфе 4.2.6.4.2.3Вывод интегрального тождества, определяющего субстанциальную производнуюВ этом разделе выводится интегральное тождество, определяющее субстанциаль˙ которое используется для вывода вариационной производной ′ .ную производную ,Предполагается, что граница достаточно гладкая.Ниже будем использоваться формула∫︁( · ∇ ) d = −∫︁ ( · ∇) d +∫︁n d,(4.68)где ≡ () и ≡ (), символы d и d означают интегрирование по объему и поповерхности, соответственно.
Формула (4.68) является непосредственным следствиемформулы Гаусса-Остроградского, посколькуdiv ( ) = div ( ) + div () = ( · ∇ ) + ( · ∇) .Интегральная формулировка прямой задачиСначала выведем интегральную формулировку прямой задачи (4.47), (4.48). Пусть(, ), ∈ , — тестовая функция (произвольная достаточно гладкая функция).Умножая уравнение переноса излучения (4.47) на , интегрируя полученное выражениепо единичной сфере S2 и области , и используя формулу (4.68), получим равенство∫︁ ∫︁S2 (− · ∇ + ) d d +∫︁ ∫︁S2n d d =∫︁b∫︁ d d.(4.69)S2Используя граничное условие (4.48), получим, что интенсивность ≡ (, ) определяется интегральным тождеством∫︁ ∫︁S2 (− · ∇ + ) d d∫︁ {︂ ∫︁∫︁+n d +n >0]︂}︂ inc^+ b d dn s (, ) + dn <0∫︁∫︁=b d d, (4.70)[︂S2которое должно выполняться для любой тестовой функции .Интегральное тождество (4.70) определяет слабое (обобщенное) [21, 106] решение143 прямой задачи в исходной (невозмущенной) области .Интегральная формулировка прямой задачи в возмущенной областиРешение прямой задачи в возмущенной области будем обозначать символом ≡ (˜ , ), где ˜ ∈ .
Используя интегральную формулировку (4.70) с тестовойфункцией˜ ≡ ˜(˜ , ) = ( (˜ ), ),получим, что интенсивность определяется интегральным тождеством∫︁∫︁S2+ (− · ∇˜ + ˜ ) d d˜]︂}︂inc (˜)˜^+ ˜b (˜ ) ˜ d d˜ñ ˜ d +ñ ˜s (˜ , ) + ˜dñ >0ñ <0∫︁∫︁=b (˜)˜ d d˜ , (4.71)∫︁ {︂ ∫︁[︂∫︁S2где = () граница возмущенной области, d˜ означает интегрирование по поверхности , значения различных величин на границе возмущенной области:˜s ≡ ˜s (˜ ) = s ( (˜ )),˜d ≡ ˜d (˜ ) = d ( (˜ )),˜ ≡ ˜(˜ ) = ( (˜ )),˜b (˜ ) = ( (˜ )),b˜ ∈ ,˜ ≡ (˜ ) — внешняя нормаль к поверхности в точке ˜ (см. рис. 4.23) иinc (˜)=∫︁ñ >0ñ (˜ , ) d,˜ ∈ ,— поток излучения, падающий на поверхность в «возмущенной» прямой задаче.Заметим, что, если ˜ ∈ , то (˜ ) ∈ , и, если ˜ ∈ , то (˜ ) ∈ (см.
рис. 4.22).ntñ = ntnΩ̂′n′rΩ̂Ω̂tSΩτΩϕtStΩ̂tΩr̃ = ϕt (r)Рисунок 4.23. Вектора на исходной поверхности и возмущенной поверхности : касатель^ , производные ′ и ^ ′ . Вектор ^ ′ перпендиная компонента , нормаль , направление ^ а вектор ′ перпендикулярен нормали .кулярен направлению ,144Интегральным тождеством (4.71) определяется слабое решение прямой задачив возмущенной области .Отметим, что в настоящей постановке задачи оптимизации интенсивность черного тела b считается неизменной в пространстве при возмущении области.
Поэтому вправой части тождества (4.71) используется b (˜ ), а не ˜b (˜ ) = b ( (˜ )). Последнеепривело бы к другой постановке задачи.Преобразуем интегральное тождество (4.71), записанное через интегралы по возмущенной области, к интегральному тождеству в невозмущенной области при помощи замены переменных ˜ = (). Тогда интенсивность (˜ , ) превратится в интенсивность (, ), тестовая же функция ˜ превратится в исходную тестовую функцию. После замены переменных в интегральном тождестве (4.71) получится интегральное тождество [напомним, что d˜ = det( ) d, замена переменных в поверхностныхинтегралах описана в [254], в частности, d˜ = | T | det( ) d]∫︁ [︂∫︁∫︁ {︂ ∫︁S2+(︁− ·n >0+T∫︁∇ + d det( ) dn dn <0 n]︂)︁[︂]︂}︂,inc()^ ) + d+ b () d | Ts (, | det( ) d]︂[︂∫︁∫︁b () d det( ) d, (4.72)=S2где b () = b ( ()), и — якобиевы матрицы отображений и , соответственно, n = · ,−1 T ≡ () = | T | — внешняя нормаль к поверхности в точке () [97, 254] (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
