Диссертация (1143492), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Тем не менее такая формулировка представляет интерес.Формулировка инфинитезимальной задачи выводится так же, как прямая задача (4.47), (4.48) выводится из ее интегральной формулировки (4.70). Действуя такимобразом, получим, что вариационная производная ′ является решением инфинитези-160мальной задачи, которая состоит из однородного уравнения переноса излучения · ∇ ′ + ′ = 0, ∈ , ∈ S2 ,(4.112)и граничных условий[︁]︁^ − 2 · ′ ′ (, ) = s ′ (, ))︀ (︀+ d ′,inc + · ′ + · , ∈ o ,n < 0,′,inc^ + d , ∈ d ∪ f , n < 0. ′ (, ) = s ′ (, )(4.113a)(4.113b)Если область невыпукла, то преобразование интегральной формулировки (4.111)инифинитезимальной задачи в дифференциальную (в виде уравнения в частных производных с граничными условиями) проблематично.
В этом случае вариационная производная ′ может иметь сингулярности (см. рис. 4.24, 4.25). Если интенсивность разрывна в точке ( 0 , ) ∈ × S2 , · 0 = 0 (см. рис. 4.25, 4.24), то вариационная производная ′ в этой точке относительно дельта-образна и сингулярна относительно (см. соотношение (4.107)). В этом случае граничное условие (4.113a) сингулярно приn = 0.В заключение заметим, что в отличие от вариационного исчисления поверхностей(shape sensitivity analysis) [254] вариационная производная ′ зависит не только от нормальной компоненты n векторного поля , но и, вообще говоря, от ее касательнойкомпоненты , поскольку касательная компонента в общем случае не равна нулю[см.
слагаемое (, ) · в граничном условии (4.113a)]. Если s , d и b постоянны наоптимизируемой поверхности o , то = 0, и в этом случае ′ зависит только от n .4.2.6Вывод сопряженной задачи и вычисление градиента целевого функционалаИнфинитезимальная задача (sensitivity problem), описываемая интегральным тождеством (4.90), определяет вариационную производную ′ и, следовательно, оператор′ (o ) через определение (4.63). Сопряженный оператор [′ (o )]* , который необходимдля вычисления градиента целевого функционала, определяется равенством (см., например, [4, 17])(4.114)⟨[′ (o )] o , ˜d ⟩ = ⟨ o , [′ (o )]* ˜d ⟩o ,dесли оно выполняется для любого векторного поля o ∈ 2 (o ) на оптимизируемойповерхности o и любой функции ˜d ∈ 2 (d ) на нагреваемой поверхности d . Мыне будем здесь придерживаться математической строгости, а будем подходить к ра-161венству (4.114) формально, поэтому будем считать, что как векторное поле o , так ифункция ˜d достаточно гладкие.Сопряженная задача, определяющая сопряженный оператор, может быть выведена непосредственно из интегрального тождества (4.111), в котором вместо тестовойфункции (, ) подставлена «интенсивность» * (, ).
В этом случае интегральноетождество принимает вид∫︁ ∫︁ ′ (− · ∇ * + * ) d d S2]︂}︂[︂∫︁∫︁ {︂ ∫︁′,inc*′ *′^ + d d dn d +n s (, )+n >0n <0∫︁ {︂ ∫︁[︁]︁n · − 2s · ′ + d · ′ * d+n <0o[︂∫︁]︂}︂*−[] (, )(, ) d · d = 0, (4.115){n =0, (,)<0}Используя соотношения (4.75), (4.144), (4.148) и равенство |o = 0, где o — границаповерхности o , получим∫︁∫︁n ( · ′ ) * d dn <0o]︂[︂ ∫︁∫︁[︀]︀*=−s|n | d − ∇ n + ( )T dn <0[︂ (︂ ∫︁ o)︂ ]︂[︂ ∫︁]︂∫︁ {︂**=−− div s|n | d n + div s|n | d non <0n <0]︂ }︂[︂ ∫︁*|n | [( ) ] d · d+ sn <0]︂ }︂[︂ ∫︁]︂[︂ ∫︁∫︁ {︂**div s|n | d n + s|n | [( ) ] d · d. (4.116)=−son <0n <0Аналогично, используя соотношения (4.75), (4.144), (4.148) и равенство |o = 0, получим∫︁o∫︁∫︁[︀]︀d *,out · − ∇ n + ( )T dn <0o ∫︁ {︁}︁[︀ *,out]︀[︀ *,out ]︀1*,out=−− div d n + div d n + d [( ) ] · d o∫︁{︀[︀]︀}︀1div d *,out n + d *,out [( ) ] · d, (4.117)=− od′*n ( · ) d d = −162где*,out() =∫︁n <0|n | * (, ) d.(4.118)Учитывая соотношения (4.116), (4.117), интегральное тождество (4.115) можно записатьв виде∫︁ ∫︁S2 ′ (− · ∇ * + * ) d d∫︁ [︂ ∫︁∫︁′ *n d + s+]︂d ′,inc *,out*^dn (, ) d − n <0∫︁=o · d, (4.119)n >0′oгде векторное поле o имеет видo () =∫︁|n | * dn <0]︂[︂ ∫︁{︂[︂ ∫︁*|n | d + s− 2 div sn <0n <0+*|n | [( ) ] d[︀]︀}︀1 {︀div d *,out + d *,out [( ) ] , [︂∫︁]︂*[] (, )(, ) d ,+{n =0, (,)<0}]︂}︂ ∈ o .
(4.120)Предположим, что «интенсивность» * является решением задачи, состоящей изуравнения (сопряженного однородного уравнения переноса)− · ∇ * + * = 0, ∈ , ∈ S2 ,(4.121)и граничных условий *,out (), ∈ o ∪ f , n > 0,*,out()^ + d * (, ) = s * (, )+ ˜d (), ∈ d ,n > 0,^ + d * (, ) = s * (, )(4.122a)(4.122b)где ˜d — функция, определенная на поверхности d , поток *,out определен формулой (4.118). Тогда, учитывая определение (4.63), получим, что интегральное тождество(4.119) сводится к соотношению⟨[′ (o )] o , ˜d ⟩ = ⟨ o , o ⟩o ,dкоторое выполняется для любых (достаточно гладких) o и ˜d .
С учетом равенства163(4.114) из этого следует, что сопряженный оператор [′ (o )]* определяется выражением*[′ (o )] ˜d = o ,(4.123)где векторное поле o , определенное выражением (4.120), вычисляется в результатерешения задачи (4.121), (4.122), которая называется сопряженной.В дальнейшем удобно поменять направление в сопряженном уравнении (4.121)и граничных условиях (4.122) на противоположное −, не меняя обозначение для интенсивности * . Тогда задача (4.121), (4.122) примет вид задачи, которую мы будемтакже называть сопряженной, и которая состоит из уравнения · ∇ * + * = 0, ∈ , ∈ S2 ,(4.124)где * ≡ * (, ), и граничных условий^ + d * (, ) = s * (, )*,inc^ + d (, ) = s (, )*,inc**где*,inc() =()()∫︁n >0, ∈ o ∪ f , n < 0,+ ˜d (), ∈ d ,n * (, ) d,n < 0,(4.125a)(4.125b) ∈ .Заметим, что физическая размерность «интенсивности» * совпадает с размерностьюпотока ˜d (см. граничное условие (4.125b)).В этом случае векторное поле o примет вид(1)(2)o () = (0)o () + o () + o (), ∈ o ,(4.126)164где∫︁n (, −) * (, ) d=n >0[︂}︂{︂]︂∫︁inc()**,inc^ (, ) d + (∇ d )n (, −)= − (∇ s )+ ∇[b ()] n >0{︂[︂]︂∫︁inc()^ + d+ · ∇ s (, −)+ b ()n >0[︂]︂ inc ()^− s (, −) + d+ b () − b ()[︁(︁)︁ ]︁}︂^^+ s · ∇ (, −) − (, −) − b () * d [︂(︂ ∫︁)︂]︂ *,inc, ∈ o , (4.127)− d div + (, ) d − 2bn >0(0)o ()(1)o () ={︂[︂ ∫︁= −2 div s]︂}︂]︂[︂ ∫︁*n [( ) (, −)] dn (, −) d + sn >0n >0[︂]︂ *,inc *,inc+ div d + d [( ) ], ∈ o , (4.128)*и(2)o ()=[︂∫︁{n =0, (,−)<0}*]︂[] (, −)(, −) (, ) d , ∈ o ,(4.129)где * ≡ * (, ).
«Интенсивность» * в выражениях (4.127)–(4.129) — решение сопряженной задачи (4.124), (4.125).РезюмеУчитывая соотношение (4.65), заключаем, что градиент целевого функционалавычисляется по формуле ′ (o ) = 2o ,(4.130)где векторное поле o вычисляется по формулам (4.126)–(4.129), * — решение сопряженной задачи (4.124), (4.125), в которой˜d = (o ) − ¯dinc .(4.131)1654.2.7Общая схема процедуры вычисления градиента целевогофункционалаГрадиент целевого функционала выражается формулой (4.65), где оператор (o )определяется равенствами (4.51), (4.52), а сопряженный оператор [′ (o )]* определяетсяравенством (4.123).Таким образом процедура вычисления градиента целевого функционала для заданной поверхности o имеет следующий вид:1. Решить прямую задачу (4.47), (4.48) с заданной поверхностью o .
Оператор (o )(поток) вычисляется по формулам (4.51), (4.52).2. Решить сопряженную задачу (4.124), (4.125), в которой поток ˜d вычисляется поформуле (4.131). Градиент целевого функционала вычисляется по формуле (4.130),в которой векторное поле o вычисляется по формулам (4.126)–(4.129).4.2.8Градиент целевого функционала в случае, когда оптимизируемая поверхность задана конечным числом параметровНа практике оптимизируемая поверхность может быть представлена конечнымчислом параметров. В этом случае целевой функционал является фактически функцией в конечномерном пространстве, а градиент становится обычным градиентом. Нижевыводится выражение для градиента целевого функционала в случае, когда оптимизируемая поверхность задана конечным числом параметров.Возмущение области в вариационном исчислении поверхностей (shape sensitivityanalysis) может быть представлено в более общем виде [254].
Вместо преобразования () = + ()можно использовать более общее преобразование () : R3 → R3 , где абсолютнаявеличина параметра мала так, что существует обратное преобразование = −1 .Предполагается, что преобразование гладкое относительно . Пусть векторное полезадано формулой⃒d () ⃒⃒,(4.132)() =d ⃒=0+тогда () = + () + (2 ) при → 0 + .Вывод дифференциала (4.60) целевого функционала остается справедлив и для такоговекторного поля .166Дифференциал целевого функционала зависит только от векторного поля на оптимизируемой поверхности o , то есть o ≡ |o . С учетом соотношения (4.132) этоозначает, что дифференциал определен только преобразованием на оптимизируемойповерхности o при малых значениях .Предположим, что оптимизируемая поверхность o задана конечным числом параметров в виде o (), где = (1 , .
. . , ) — параметры, — число параметров. Вэтом случае целевой функционал является функцией параметров:⃦⃦2^()≡ (o ()) = ⃦(o ()) − ¯dinc ⃦ ,(4.133)dи задача сводится к нахождению его градиента^∇()≡(︃ ^ ^,...,1)︃.(4.134)Каждый из параметров порождает однопараметрическое преобразование опти()мизируемой поверхности o , которое обозначим символом . Пусть векторное поле задано формулой⃒()()d + () ⃒⃒d ()≡ () =⃒⃒dd=0+, ∈ o ().(4.135)^ является дифференциалом целевого функционала (o ),Частная производная /где o ≡ o (), относительно векторного поля , и, следовательно, задается формулой ^= ⟨ ′ (o ()), ⟩o () ≡ 2 ⟨o , ⟩o () , = 1, .
. . , ,(4.136)где ′ (o ) — градиент функционала (o ), векторное поле o , определенное формулами(4.126)–(4.129), вычисляется в результате решения сопряженной задачи (4.124), (4.125),в которой˜d = (o ()) − ¯dinc .РезюмеГрадиент целевого функционала ^ вычисляется по формулам (4.134)–(4.136).1674.2.9«Двухмерные» области, в которых оптимизируемая граничная поверхность представляет из себя многогранникПредположим, что область «двухмерна» и оптимизируемая поверхность o ()представляет из себя «двухмерный» многогранник (многоугольник в координатах , ),и, следовательно, задана конечным числом параметров: - и/или -координатами граней (вершин многогранника).
Такая грань имеет в общем случае две степени свободыи задается параметрически своими координатами ( , +1 ), см. рис. 4.26.vi+1(j+1)SoDD(pi , pi+1 )vi(pi , pi+1 )SoSo(j)Soyy11z1zx1xРисунок 4.26. Пример «двухмерной» многогранной оптимизируемой поверхности o и соответствующие векторные поля. Длина векторов и +1 в вершине ( , +1 ) равна 1. Параметры и грани нумеруются независимо друг от друга. Область в окрестности вершинывыпукла.Вычисление векторных полей , +1 , соответствующих параметрам , +1 , соответственно [см. рис. (4.135)], не представляет сложностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
