Диссертация (1143492), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В этой модели фазовая плотность частиц зависит не только от пространственных координат, времени и вектора скорости частиц, но также и от длины свободногопробега частиц.В разделе 5.2 выводится обобщенное линейное уравнение Больцмана, которое описывает поведение фазовой плотности, зависящей только от пространственных координат, времени и вектора скорости частиц.В разделе 5.3 выводится интегральное уравнение для фазовой плотности.Уже решение линейного уравнения Больцмана представляет значительные сложности. Это тем более справедливо для обобщенного линейного уравнения Больцмана.В некоторых случаях диффузионное приближение к линейному уравнению Больцманаоказывается достаточным [136, 167]. Представляет интерес вывод аналогичного приближения для обобщенного уравнения Больцмана. В разделе 5.4 в предположении, чтопервый и второй моменты распределения длины свободного пробега частиц конечны,выводится асимптотическое решение задачи Коши для обобщенного уравнения Больцмана при малой средней длине свободного пробега частиц.В разделе 5.5 рассматривается частный случай: приближение к односкоростномуобобщенному уравнению Больцмана.
В стационарном случае, если среда однородна,188189это приближение совпадает с дифузионным приближением, полученным в статье [117],и отличается от диффузионного приближения, полученного в статье [169], на малуювеличину второго порядка малости.5.1Неклассический перенос частиц: модельЭта модель обобщает классическую модель переноса частиц (излучения) [32, 101,196], в которой коэффициенты ослабления и рассеяния не зависят от длины свободногопробега частиц. В обобщенной модели эти коэффициенты зависят от длины свободногопробега. В этом случае фазовая плотность частиц принимает вид (, , , ), где —координата, — время, — вектор скорости, — длина свободного пробега частиц. Мырассматриваем перенос в -мерном пространстве, поэтому ∈ R и ∈ V ⊂ R , где V— «пространство» скоростей. Фазовая плотность удовлетворяет уравнению, см.
[55], + + · ∇ + = 0,(5.1)где ∇ — градиент по пространственной переменной , ≡ (, , ) — коэффициентослабления, = ||. Это уравнение описывает плотность невзаимодействующих частиц,движущихся в точке со скоростью так, что они прекращают свободное движение(рассеиваются или поглощаются) с вероятностью в единицу времени ( зависит отдлины свободного пробега). Мы не рассматриваем здесь ускорение частиц, вызванноевнешними силами, чтобы не усложнять формулы. Обобщить полученные ниже результаты с учетом ускорения несложно.Уравнение (5.1) дополняется условием, которое описывает плотность частиц, начинающих свободное движение,|=0 ≡ (, , ) = [︂∫︁∞0гдеdef (, , ) =′′s (, , ) (, , , ) d∫︁′]︂1+ (, , )(, , ′ ) (, , ′ ) d ′(5.2)(5.3)V— оператор рассеяния (или перехода), (, , ′ ) ≡ (, ′ → ) — ядро рассеяния (илиперехода) такое, что∫︁(, , ′ ) d = 1>0 иV′[то есть (, , ) как функция — плотность вероятностного распределения], s ≡s (, , ) — коэффициент рассеяния, s 6 , — плотность источников частиц.
Условие (5.2) это модификация соответствующего условия из [55]. Это условие означает,что частицы начинают свободное движение после рассеяния (изменения направления190движения и/или скорости) и в результате рождения (производства источниками). Этоусловие означает также, что, если s < , то часть частиц поглощается.В общем случае фазовая плотность удовлетворяет начальному условию|=0 = (, , ),где — ее начальное распределение. Однако мы предполагаем, что в начальный моментвремени = 0 все частицы начинали свободное движение. В этом случае начальноеусловие принимает вид|=0 = (, )(),(5.4)где (·) дельта-функция Дирака.5.2Обобщенное линейное уравнение БольцманаОпределим фазовую плотность(, , ) =∫︁∞(, , , ) d,(5.5)0не зависящую от длины свободного пробега частиц. Интегрируя уравнение (5.1) по ,и учитывая условие (5.2), получаем, что плотность удовлетворяет уравнению + · ∇[︂ ∫︁= 0∞]︂s (, , ) (, , , ) d − ∫︁∞(, , ) (, , , ) d + (, , ) (5.6)0(предполагается, что → 0 при → ∞).Заметим, что, если коэффициенты ослабления и рассеяния не зависят от длинысвободного пробега, то есть (, , ) ≡ (, ) и s (, , ) ≡ s (, ), то уравнение (5.6)превращается в обыкновенное линейное уравнение Больцмана (1.6).Левая часть уравнения (5.6) выражена через плотность , а правая — через плотность .
Чтобы выразить правую часть уравнения через плотность , мы интегрируемуравнение (5.1) вдоль характеристик. Интегрирование приводит к соотношениям⎧)︂(︂⎪⎪⎨(, , ) − , − , , < ,(, , , ) =⎪⎪⎩(, , ) ( − , ) ( − ), 6 ,(5.7)191где = / — направление движения, и{︂ ∫︁ }︂′′′(, , ) = exp −( − ( − ), , ) d(5.8)0— вероятность того, что частица продолжает свободное движение (survival probability,вероятность дожития), то есть вероятность того, что частица, начавшая свободное движение в точке − со скоростью , в точке продолжает свободное движение стой же скоростью и в том же направлении, иными словами, длина свободного пробегачастицы не меньше, чем .
Как следствие получается соотношение∫︁∞0(, , ) (, , , ) d∫︁ (, , ) ( − , − , ) d + (, , )( − , ), (5.9)=0где(, , ) = (, , )(, , ),(5.10)и (, , ) d — вероятность того, что частица, начавшая свободное движение в точке − , прекращает его (рассеивается или поглощается) в интервале (, + d). [Заметим, что, если коэффициент ослабления не зависит от , то имеет место соотноше∫︀ ∞ние 0 (, , ) d = 1, в общем же случае это не так.] Применение к уравнению (5.9)преобразования Лапласа с использованием соотношения ℎ( − ) = e− ·∇ ℎ() даетуравнениеℒ[︂∫︁0∞]︂(, , ) (, , , ) d]︂[︂ ∫︁ − ·∇−·∇(, − , ) d + (, , ) e(, )(, , ) e≡ℒ0]︂(︁)︁ [︂1= ℒ , , + · ∇ ℒ(, , ) + (, ) , (5.11)гдеℒ () =∫︁∞e− () d0— преобразование Лапласа.Уравнения (5.5) и (5.7) приводят к соотношению(, , ) =∫︁0(, , ) ( − , − , ) d + (, , )( − , ),192или, что эквивалентно,]︂)︁ [︂1ℒ(, , ) = ℒ , , + · ∇ ℒ(, , ) + (, ) .(︁(5.12)Определим ядро памяти (memory kernel) (, , ) соотношениемdefℒ(, , ) =гдеℒ () =∫︁∞ℒ(, , ),ℒ(, , )(5.13)e− () d0— преобразование Лапласа (относительно , а не ).
Это ядро совпадает с ядром из [154], если коэффициент ослабления не зависит от (отсюда следует, что и независят от ). Тогда из уравнений (5.11) и (5.12) получается соотношениеℒ[︂∫︁∞0]︂(︁)︁(, , ) (, , , ) d = ℒ , , + · ∇ ℒ(, , ),или, что эквивалентно,∫︁∞∫︁(, , ) (, , , ) d =00(, , ) ( − , − , ) d.(5.14)Таким же образом получается соотношение∫︁0∞s (, , ) (, , , ) d =∫︁0s (, , ) ( − , − , ) d.(5.15)где ядро s определяется соотношением (5.13) с s вместо , а s определяется соотношением (5.10) c s вместо .В итоге, подставляя соотношениия (5.14) and (5.15) в уравнение (5.6), получим,что плотность удовлетворяет обобщенному линейному уравнению Больцмана[︂]︂∫︁ ′ 2′ ′′′s (, , ) ( − , − , ) d d ′ + · ∇ =(, , ) ( )V0∫︁ − 2(, , ) ( − , − , ) d + (, , ), (5.16)∫︁′0или в операторном виде + · ∇ = ℳs − ℳ + ,(5.16)где оператор рассеяния задается формулой (5.3), а ℳ — оператор, определяемый193соотношениемℳ(, , ) = 2∫︁0(, , ) ( − , − , ) d,(5.17)оператор ℳs определяется соотношением (5.17) с s вместо .
Начальное условие (5.4)для плотности приводит к начальному условию|=0 = (, ).(5.18)Уравнение (5.16) описывает перенос частиц с произвольным распределением длинысвободного пробега, при условии, что фазовая плотность удовлетворяет начальному условию (5.4), то есть в начальный момент времени = 0 все частицы начиналисвободное движение.Заметим, что уравнение, аналогичное уравнению (5.16) (для однородной среды,без поглощения и источников), выведено в статье [118] в рамках модели случайныхблужданий с непрерывным временем, см также [119].
В статье [109] выведена системадвух уравнений, описывающих неклассический перенос частиц, движущихся с постоянной абсолютной скоростью в одномерном пространстве (в этом случае есть толькодва противоположных направления движения, и каждое уравнение описывает плотность частиц, движущихся в одном из направлений).
Система уравнений, полученнаяв статье [109], представляет собой частный случай уравнения (5.16) при = 1.5.3Интегральные уравнения для плотностейДля плотностей частиц можно также вывести интегральные уравнения.Уравнения (5.2) и (5.9) (с s и s вместо и , соответственно) приводят к интегральному уравнению для плотности (, , ) = [︂ ∫︁0]︂s (, , ) ( − , − , ) d + s (, , )( − , )+ (, , ).
(5.19)Ср. с уравнением (2.8) в статье [266], где начальное распределение отстутствует.Интегрирование обобщенного линейного уравнения Больцмана (5.16) вдоль характеристик вместе с начальным условием (5.18) приводит к интегральному уравнению для194плотности (, , ) =∫︁0(ℳs − ℳ) ( − , − , ) d∫︁ ( − , − , ) d + ( − , ).+05.4Асимптотическое решение при малой средней длинепробегаОбобщенное линейное уравнение Больцмана (5.16) описывает перенос частиц спроизвольным распределением длины свободного пробега. В этом разделе мы рассматриваем частный случай, когда это распределение имеет по крайней мере первый и второй конечные моменты.
Чтобы получить асимптотическое решение для малой среднейдлины свободного пробега, мы используем стандартную технику асимптотических разложений в сингулярно возмущенных задачах [155] подобно тому как это делалось встатье [167], при этом в качестве малого параметра берется средняя длина свободного пробега. Для простоты мы рассматриваем перенос в трехмерном пространстве R3 .Обобщение на -мерное пространство не представляет сложностей.5.4.1ПредположенияПредполагается, что среда изотропна, то есть ядро рассеяния имеет вид(, , ′ ) ≡ (, · ′ , , ′ )(5.20)где = /, = ||, и аналогично для ′ .
Кроме того, предполагается, что ядроограничено снизу и сверху:0 < min 6 6 max < ∞.Это означает, что∫︁ ∫︁VV|(·, , ′ )|2 d ′ d < ∞.Предполагается также, что «пространство» скоростей V ⊂ R3 ограничено и инвариантно относительно вращений, и что все частицы имеют ненулевые скорости. Множествоабсолютных величин скоростей обозначим через .Предполагается, что коэффициенты ослабления и рассеяния не зависят от , икоэффициент рассеяния равенs (, ) = (, ),195где — альбедо рассеяния (оба коэффициента зависят от абсолютной скорости , а невектора скорости , поскольку среда изотропна).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
