Диссертация (1143492), страница 15
Текст из файла (страница 15)
3.10 показывает сечение типичного разбиения в плоскости , ,210а рис.3.11— типичнуюячейку.S.A.Rukolaineet al. / Journalof Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer73 (2002zyΩrFig. 1. Asample oftheFig. 2. вThecross-section of a typicalРисунок 3.9. Пример триангуляциисеченияосесимметричной областикоординатах triangulation.plane x; y., .ΩI incI inc CA I ou tIBincIincD210S.A. Rukolaine et al. / Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer 73 (2002)S.A. Rukolaine et al.
/ Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer 73 (2002) 205 – 217z77zyΩyΩrrxFig. 1. A sample of the triangulation.Fig. 2. The cross-section of a typical splane x; y.Fig. 1. A sample of Рисунокthe triangulation.3.10.Fig. 2. The cross-sectiontypical subdivisionin theСечение типичногоразбиенияofв aплоскости, (длявсех направлений числоplanex;y.секторов одинаково и равно ).ΩΩI incI incI inc CincBI outincDIFig.3.11.3. A typicalcell. ячейка.РисунокТипичнаяFig. 3. A typical cell.3.3.2A I ou tIFig.
4. Illustration of “discrete” specular boundaryconditions.I inc CA I ou tIBincIincIoDFig. 4. Illustration of “discrete” spconditions.of the cylindricaldomain inпереносаthe coordinates r; z. In the RTE the angle is a parameterДискретизацияуравненияwe RTEshall theconsiderDrz’the domain D into the space (r; z; ’).
In pascylindrical domain in the coordinates r; z. In theangle the is projectiona parameterandofhereafter“cylindrical”coordinatesr;z;’tothe“Cartesian”ones x; y; z the domain Drz’ tranЗапишемуравнениепереноса(3.18)ввидеall consider the projection Drz’ of the domain D into the space (r; z; ’). In passing from thedomainD,whichisthehalfofthe3Dcylindricaldomain. The domain Dxyz is sxyzdrical” coordinates r; z; ’ to the “Cartesian” ones x; y; z the domain Drz’ transforms into a3Dcellsinthefollowingway.Thesubdivisionisbasedon a general triangulationDxyz is subdividedn Dxyz , which is the half of the 3D cylindrical domain.
The domaininto·∇+≡sin+cos+=,(3.34)D.AsampleofthetriangulationisshowninFig.1(see,also, Fig.9b). In therzlls in the following way. The subdivision is basedon a general triangulationofthe domainthe 1cells(’ispace−1 ; ’i),A sample of the triangulation is shown in Fig.(see,havealso,theFig.form9b).drzIn×the(r;wherez; ’) drz is 2-dimensional cell from the’=i=N;i=1;:::;N;Niseven.Thesecells are mapped into the space (x; y; z) ai’’’ells have the form гдеdrz × (’i−1 ; ’i), where drz is 2-dimensional cell from the triangulation,andcylindricalsurfacesarereplacedbyplanei=N’ ; i = 1; : : : ; N’ ; N’ is even. These cells are mapped into the=spacez) .and then conicones. This replacement simpli3es thes (x;+y;thecharacteristicmethodbecauseb excludes situations when the same characteristic croylindrical surfaces are replaced by plane ones.
This replacement simpli3es theapplication offaceof athecelltwice.aracteristic method (Напомним,because excludessituationswhensamecharacteristiccrossesthe sameлинии = , − =что характеристикиуравнения(3.34)subdivision— прямыеThe cross-sectionof a typicalin the plane x; y is0 shown 0in Fig. 2 andf a cell twice.inFig.3. ( subdivision− 0 ).) in the plane x; y is shown in Fig. 2 and a typical cellcross-section of a ctgtypical.
3.Выберем «дискретные» направления3.2. Solution procedure (basic relations)Solution procedure (basic relations)a characteristic the RTE takes the formгдеdI+ I = Ib ;dss is a coordinate along the characteristic.At a characteristictheRTEtakes = (sin, 0, cos ),the formdI+ I = Ib ;ds(10)2 − 1wherecharacteristic.1, the= 1,..., .coss is a=coordinate− along(3.35)Значения cos играют роль узловых точек на интервале (−1, 1), соответствующие квадратурные веса одинаковы и равны2 =,то есть справедливо равенство∑︁ = 2.=178Пространственная дискретизация уравнения переноса осуществляется так же, какв методе дискретных ординат.
Проинтегрируем уравнение переноса (3.34) при фиксированном = по ячейке . Учитывая, что · ∇ = div(), и используя формулуГаусса–Остроградского, получим соотношение ·∑︁inc,out + = ,(3.36)∈где — множество граней ячейки , — нормаль к грани , внешняя по отношеinc,out— средняя интенсивность излучения внию к ячейке , — площадь грани , направлении , падающего (incident) на грань и излучаемого (outgoing) этой гранью, соответственно, — объем ячейки , — средняя интенсивность излучения внаправлении в ячейке , — среднее значение в ячейке , которое вычисляетсяпо формуле = s + b, ,(3.37)среднее значение интеграла рассеяния в ячейке вычисляется по формуле∑︁1 ∑︁ , =2 =1∈(3.38) — множество ячеек, которые могут быть совмещены с ячейкой вращением вокруг оси (см.
выражение (3.19) для интеграла рассеяния), b, — среднее значениеинтенсивности черного тела в ячейке . Заметим, что для всех ячеек из множества средние значения интеграла рассеяния совпадают: = (в силу сделанногопредположения об изотропности рассеяния).Уравнение (3.36) связывает среднюю интенсивность в ячейке со средними инinc,outтенсивностями на ее гранях ( фиксировано, задано). Для однозначного определения интенсивностей требуются дополнительные соотношения между ними.
В методе дискретных ординат существуют различные способы задания таких соотношений,но использование большинства из них для ячеек нерегулярной формы проблематично.Приме́ним метод характеристик.На характеристиках уравнение переноса принимает видd+ = ,dгде — координата (расстояние) вдоль характеристики. Проинтегрируем уравнение переноса внутри каждой ячейки вдоль характеристики, параллельной направлению .Предполагая, что правая часть уравнения переноса в каждой ячейке постоянна и равна , где — номер ячейки, получим соотношение между интенсивностями в точках,79принадлежащих граням одной ячейки и лежащих на одной характеристике,inc() = exp(− )out () +1 − exp(− ) ,(3.39)где и — точки на гранях ячейки, лежащие на одной характеристике, индексы incи out обозначают излучение, падающее на поверхность и излучаемое с поверхности,соответственно, — растояние между точками и , и — номера граней, — номер направления .
Предполагая, что интенсивность out постоянна на каждойграни, интегрируя соотношение (3.39) по грани , и усредняя интенсивность inc по этойграни, получим соотношение между интенсивностями на граняхinc=∑︁ out + ,(3.40)∈где = 1, . . . , f , = 1, . . . , ,f — общее число граней, суммирование ведется по множеству граней ячейки ,излучающих в направлении , коэффициенты , вычисляются (несложно, хотяи трудоемко) аналитически (некоторые из коэффициентов могут быть равны нулю,если излучение с грани в направлении не попадает на грань ).Если грань не принадлежит границе двух сред с различными показателямипреломления, тоoutinc= .(3.41)3.3.3Дискретизация граничных условийДискретный аналог граничного условия (3.25) (на непрозрачной диффузной границе) на граничной грани имеет видout= dinc+ (1 − d )b,s , · < 0,(3.42)где температура на этой грани и, следовательно, интенсивность черного тела b,s на нейсчитаются постоянными,inc2=∑︀ ∑︀=1∈ , · >0 ( ∑︀∈· ) inc2≡∑︀ ∑︀=1∈ , · >0 ( · )inc80— аппроксимация теплового потока, падающего на грань,2=∑︀ ∑︀=1∈ , · >0 ( ∑︀∈· )2≡∑︀ ∑︀=1∈ , · >0 ( · )— аппроксимация числа (вместо числа берется его аппроксимация, чтобы для граничного условия выполнялся закон сохранения энергии), — множество граней, которые могут быть совмещены с гранью вращением вокруг оси (число таких гранейравно ), и — внешняя нормаль к грани и ее площадь, соответственно.
Площадиграней ∈ равны, то есть = .Дискретизация условий (3.27) (на прозрачной диффузной границе раздела сред)осуществляется аналогично.Дискретизация условий (3.31) (на прозрачной зеркальной границе раздела сред)наталкивается на некоторые сложности. Действительно, если угол в условиях (3.31)принадлежит выбранному дискретному множеству, например (3.35), то углы ^ и ^′ ,вообще говоря, этому множеству не принадлежат. Возникает проблема аппроксимации значений интенсивности в точках, не принадлежащих дискретной сетке. Опишемиспользуемую нами аппроксимацию на примере первого слагаемого в граничном условии (3.31a) (отражение).
Аналогичная процедура применима ко второму слагаемомуэтого условия (преломление) и к обоим слагаемым условия (3.31b). Итак, необходи^ Можно было бы предположить, что эта интенсивмо оценить интенсивность inc (^ , ).ность может быть легко получена интерполяцией значений inc (^ , −1 ) и inc (^ , ), где^ ∈ (−1 , ). Однако интенсивность (, ), вообще говоря, терпит разрыв при пересечении линии, образуемой точками (, ), для которых n = 0, то есть луч параллелен^ удовлетворяет условию > 0, ногранице. В граничном условии (3.31a) точка (^ , )nэто условие может нарушаться для одной из точек (^ , −1 ), (^ , ). В этом случае интерполяция невозможна, и необходима экстраполяция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
