Диссертация (1143492), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Это усложняет алгоритм,поскольку характеристика может пересекать одну и ту же грань ячейки дважды, ноповышает точность получаемых численных решений. Предложена модификация численной схемы, предназначенная в первую очередь для решения задач с зеркальнымиграницами, хотя она может быть использована и в задачах с диффузными границами. Модифицированная схема исправляет недостатки описанных выше схем, которыемогут приводить к значительным ошибкам в решениях при решении задач переносаизлучения в областях с зеркальными границами.В разделе 3.5 описано применение разработанных численных схем при моделировании роста полупрозрачных кристаллов германата висмута из расплава низкоградиентным методом Чохральского, что позволило объяснить особенности роста этих кристаллов.3.1Квадратурные схемы метода дискретных ординат,основанные на угловой интерполяции интенсивности излученияЭтот раздел основан на результатах статьи [226].3.1.1Краткий исторический экскурсПринципиальной проблемой в методе дискретных ординат является построениеквадратурной схемы (то есть узловых точек и соответствующих квадратурных весов)на сфере.
Основной принцип построения квадратурных (кубатурных) схем был сформулирован С. Л. Соболевым [38]. Этот принцип формулируется следующим образом:если область интегрирования инвариантна относительно некоторой группы преобразований, то квадратурная схема должна быть инвариантна относительно этой же группы.Инвариантность квадратурной схемы относительно некоторой группы преобразованийозначает, что множество узловых точек инвариантно относительно этой группы, приэтом симметричные точки (то есть точки, которые переходят друг в друга при преобразованиях симметрии) имеют одинаковые веса.
После того как этот принцип был53сформулирован, стало возможным обобщение теории построения квадратурных схемдля одномерных интегралов на интегралы по многомерным областям и многообразиям.На практике наиболее часто используются четыре типа квадратур: Ньютона–Котеса, Гаусса, Маркова и Чебышева. В квадратурах Ньютона–Котеса узловые точки заданы заранее, а квадратурные веса должны быть определены из условия, чтобыквадратура была точна для всех полиномов до некоторой степени. В квадратурах Гаусса узловые точки заранее не фиксированы, их координаты вместе с весами должныбыть определены из такого же условия.
В квадратурах Маркова заранее задана лишьчасть узлов, а остальные узлы и все веса должны быть определены из условия. В квадратурах Чебышева все веса заданы и равны 1/ , где — число узловых точек, а ихкоординаты должны быть определены.Сфера имеет очень высокую степень симметрии. Она инвариантна относительно следующих неэквивалентных групп преобразований: симметрии тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и бесконечного множества циклических групп вращений порядка ∈ N(циклическая группа образуется вращениями на углы, кратные 2/).В случае метода дискретных ординат представляется естественным [80, 174] строить квадратурные схемы, инвариантные относительно группы симметрии октаэдра * ,см.
рис. 3.1. Эта группа оставляет инвариантным октаэдр, вписанный в единичную сферу, вершины которого лежат на координатных осях. Группа * содержит (помимотождественного преобразования) следующие преобразования: вращения на углы, кратные /2, вокруг каждой из координатных осей; вращения на углы, кратные 2/3, вокругосей, проходящих через центры граней октаэдра; вращения на углы, кратные , вокругосей, проходящих через середины ребер октаэдра; инверсию.Рисунок 3.1. Октаэдр.В случае симметрии октаэдра все множество узловых точек (узлов) разбиваетсяна шесть непересекающихся классов, каждый из которых замкнут относительно преобразований группы * :541.
(±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1) — вершины октаэдра;√√√2. (±1/ 3, ±1/ 3, ±1/ 3) — проекции центров граней октаэдра на сферу;√√√√√√3. (±1/ 2, ±1/ 2, 0), (±1/ 2, 0, ±1/ 2), (0, ±1/ 2, ±1/ 2) — проекции середин ребероктаэдра на сферу;4. (± , ± , 0), (± , 0, ± ), (0, ± , ± ), где 2 + 2 = 1, ̸= 0, ̸= 0, ̸= , —центральные проекции этих точек лежат на ребрах октаэдра;5. (± , ± , ± ), (± , ± , ± ), (± , ± , ± ), где 22 + 2 = 1, ̸= 0, ̸= 0, ̸= , — центральные проекции этих точек лежат на высотах граней октаэдра;6.
(± , ± , ± ), (± , ± , ± ), (± , ± , ± ), (± , ± , ± ),(± , ± , ± ), (± , ± , ± ), где 2 + 2 + 2 = 1, ̸= 0, ̸= 0, ̸= 0, ̸= ̸= , — центральные проекции этих точек лежат на гранях октаэдра.Узловые точки, принадлежащие разным классам, неэквивалентны, то есть не могут быть переведены друг в друга преобразованиями симметрии. Все узловые точки,принадлежащие каждому из 1-го, 2-го и 3-го класса, эквивалентны. Каждый из 4-го,5-го и 6-го классов состоит из непересекающихся подмножеств эквивалентных узловыхточек (например, узловые точки 1 и 2 , 1 ̸= 2 , 21 +22 ̸= 1, образуют два неэквивалентных подмножества 4-го класса). Отметим, что множество узловых точек, образующихнекоторую квадратуру, не обязано содержать точки из всех классов.Одно из основных утверждений статьи [38] содержится в следующей теореме:Теорема.
Пусть — конечномерное пространство функций, инвариантное относительно преобразований группы . Квадратура, инвариантная относительно группы , точна для всех функций ∈ тогда и только тогда, когда она точна для всехфункций ∈ , инвариантных относительно группы .Пространство функций называется здесь инвариантным относительно группыпреобразований , если при любом таком преобразовании всякая функция из пространства переходит в функцию из этого же пространства. Функция называется инвариантной относительно группы , если она переходит в себя при преобразованиях из этойгруппы.На интересуют квадратуры на единичной сфере, инвариантные относительно груп*пы .
Подходящий базис на сфере образуют сферические функции, (, ) = (||) (cos ) , = −, . . . , , = 0, 1, 2, . . . ,где — присоединенные функции Лежандра, (, ) — сферические координаты. Пусть= — пространство, образованное сферическими функциями , порядка , =−, . . . , , и≤ = =0 ∪ =1 ∪ . . . ∪ = .55Размерность пространства = равна 2 + 1, размерность пространства ≤ равна( + 1)2 . Оба пространства, = и ≤ , инвариантны относительно группы * . Сферические функции , , = −, .
. . , , являются линейными комбинациями полиномов , + + ≤ , где = sin cos , = sin sin , = cos ,поэтому пространство ≤ может быть определено как пространство, образованное полиномами , + + ≤ . Таким образом число линейно независимых полиномовстепени, не большей , равно размерности пространства ≤ , то есть ( + 1)2 .Согласно приведенной теореме квадратура на сфере, инвариантная относительногруппы * , точна для всех полиномов степени, не большей , если она точна длявсех таких полиномов, инвариантных относительно группы * . Это утверждениезначительно упрощает построение квадратур, поскольку число полиномов степени, небольшей , инвариантных относительно группы * , значительно меньше (+1)2 [38].Например, для = 11 число таких полиномов равно 7.Используя эту теорему, В.
И. Лебедев в статьях [23–25] построил квадратурыМаркова, инвариантные относительно группы * и точные для полиномов степени, не большей , для = 9, 11, ..., 29. Он построил также квадратуры Чебышева для = 11, 15 [24].Приведем в качестве примера квадратуры Маркова 11-го и 17-го порядков из [23](здесь и ниже мы обозначаем их символами L11 и L17, соответственно), квадратурные веса, соответствующие узловым точкам -го класса, обозначаются символами ()(равенство квадратурного веса нулю означает, что соответствующие узловые точки отсутствуют):L11 (число узловых точек равно 50):(1) = 4/315 ≈ 0.0127; (2) = 27/1280 ≈ 0.0211; (3) = 64/2835 ≈ 0.0226;√(5)(4) = 0; 1 = 114 /725760 ≈ 0.0202, 1 = 1/ 11 ≈ 0.3015113; (6) = 0.L17 (число узловых точек равно 110):(1) ≈ 0.0038282705; (2) ≈ 0.0097937375; (3) = 0;(4)1 ≈ 0.87815891, 1 ≈ 0.0096949964;(5)1 ≈ 0.18511564, 1 ≈ 0.0082117373;(5)2 ≈ 0.39568947, 2 ≈ 0.0095954713;(5)3 ≈ 0.69042105, 3 ≈ 0.0099428149; (6) = 0.Заметим, что в методе дискретных ординат одна и та же квадратура используется как для вычисления интеграла рассеяния, так и для вычисления теплового потокана границе.
Интеграл рассеяния определен на всей сфере, в то время как интеграл,задающий тепловой поток, определен на полусферах. Поэтому точность вычисления56теплового потока на границе, достигнутая при помощи квадратуры, может быть совершенно недостаточна, даже если квадратура имеет высокий порядок точности.Интересно сравнить квадратуры Лебедева с квадратурами, построенными Кохоми др. в статье [160], где был использован близкий подход: было предложено строитьквадратуры Гаусса и Маркова, инвариантные относительно группы * , точные дляполиномов на главных полусферах ( > 0, < 0, > 0, < 0, > 0, < 0).
Были использованы узловые точки второго, пятого и шестого классов, то есть точки нележащие на координатных плоскостях. Заметим, что практически все квадратуры, используемые при решении уравнения переноса излучения, используют узловые точкитолько из этих классов.Таблица 3.1 сравнивает относительную точность квадратур Лебедева L11 и L17 сквадратурами DCT020 − 1246, DCT020 − 2468, DCT111 − 1246810 и DCT111 − 24681012из статьи [160] (эти квадратуры обозначаются символами DCT020 , DCT020 , DCT111∫︀и DCT111 , соответственно) при вычислении моментов >0 d на полусфере > 0.
Заметим, что все квадратуры, инвариантные относительно группы * , точныдля момента (0, 0, 0) и моментов (0, 0, 2) на главных полусферах.Таблица 3.1. Относительные ошибки при оценивании моментовре > 0.КвадратураDCT020∫︀ >0 dна полусфе-Относительные ошибки (в %) для моментов (, , )Числоузлов(0, 0, 1)(0, 0, 3)(0, 2, 1)(0, 0, 4)(0, 2, 2)(0, 0, 5)(0, 4, 1)(0, 2, 3)(2, 2, 1)DCT020L1148485002.20−1.230.28−0.220−0.284.60−2.48000000−0.280.050−3.607.04−2.481.40−0.8006.468.07−7.50DCT111DCT111L17808011001.30−0.560.02−0.080−0.042.64−1.1200000000.020−1.443.92−1.44−0.12−0.240.013.874.50−2.49Точные значения/2/42/52/15/3/8/12/24Подчеркнем еще раз, что квадратуры L11 и L17 точны при вычислении моментовдо 11 и 17 порядков, соответственно, на всей сфере, а квадратуры DCT строились,исходя из требования, что моменты должны быть точны на главных полусферах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
