Диссертация (1143492), страница 14
Текст из файла (страница 14)
рис. 3.5.В результате получаем, что уравнение переноса в случае осевой симметрии при-69yΩD{y>0}xРисунок 3.5. При наличии осевой симметрии уравнение переноса достаточно рассматриватьв половине { > 0} трехмерной осесимметричной области и лишь для направлений =(sin , 0, cos ).нимает вид+ cos + = s + b ,где ≡ (, ), интеграл рассеяния вычисляется по формуле · ∇ + ≡ sin 1 ≡ (, ) =2∫︁0∫︁(3.18)(, ) sin d d,(3.19)0 = ( cos , sin , ). Решение уравнения переноса (3.18) ищется в области(, ) ∈ {>0} × [0, ],где {>0} — половина осесимметричной области , для которой > 0, см.
рис. 3.5.3.2.2Другой способ вывода уравнения переносаЭтот способ вывода уравнения переноса (3.18) поможет вывести для него граничные условия.В случае осевой симметрии стационарное уравнение переноса излучения в цилиндрических координатах имеет вид [29][︂]︂sin () (sin )cos −+ cos + = s + b ,(3.20)где ≡ (, , , ) — интенсивность излучения, = − ,(3.21) — азимутальный угол в цилиндрических координатах, определяющий (вместе с и) координату = ( cos , sin , )точки в пространстве, — азимутальный угол в сферических координатах, опреде-70ляющий (вместе с полярным углом ) направление = (sin cos , sin sin , cos )излучения в точке , — коэффициент поглощения,b ≡ b () =2 4— интенсивность излучения черного тела, ≡ () — температура, — показательпреломления среды, — постоянная Стефана-Больцмана.Благодаря соотношению (3.21) уравнение переноса (3.20) может быть интерпретироваться двумя способами.
С одной стороны, полагая = 0 (и, следовательно, = ), получаем, что решение уравнения переноса (3.20) ищется в точках = (, 0, )для всех направлений = (sin cos , sin sin , cos ), ≡ .С другой стороны, полагая = 0 (и, следовательно, = − ), получаем, что решениеуравнения переноса (3.20) ищется в точках = ( cos , sin , ), ∈ [0, ],(3.22)(то есть в половине цилиндрической области, в которой углы ∈ (, 2) исключеныиз соображений симметрии), но только для направлений , удовлетворяющих условию = 0, то есть (3.17). Отметим, что в статьях [6, 7, 86] такой переход был фактическипроделан, но ни уравнение (3.18), ни граничные условия для него получены не были.Для применения метода характеристик второй способ интерпретации удобнее иестественнее, поскольку в этом случае мы имеем дело с обычным трехмерным физическим пространством, в котором характеристики являются прямыми линиями.
Кроме того, координаты (, , ) могут быть интерпретированы как обычные цилиндрические координаты. Преобразовав уравнение переноса (3.20) к декартовым координатам(, , ), где = cos , = sin , получим уравнение (3.18), где ≡ (, ), координататочки определяется формулой (3.22), а полярный угол задает направление (3.17)(здесь интерпретация независимых переменных в целом (в совокупности) отличаетсяот их интерпретации в исходном уравнении переноса (3.20)).71Заметим, что в то время как характеристики уравнения (3.20) криволинейны: sin = 0 sin 0 , − 0 = ctg ( cos − 0 cos 0 ),характеристики уравнения (3.18) — прямые линии: = 0 ,3.2.3 − 0 = ctg ( − 0 ).Условие на непрозрачной диффузной границеВыведем граничные условия для уравнения переноса (3.18). Рассмотрим непрозрачную диффузно отражающую границу.
Граничное условие для уравнения (3.20)имеет вид inc (, )+ (1 − d )b,s , n < 0,(3.23)(, , , ) = dгде d — коэффициент диффузного отражения,inc (, ) =∫︁n >0n (, , , ) d,d = sin d d,— поток теплового излучения, падающего на границу, = (sin cos , sin sin , cos ), = − ,n = · , — внешняя нормаль к поверхности,b,s ≡ b,s () =2 s4(3.24)— интенсивность излучения черного тела на поверхности, s ≡ s () — температураповерхности. Легко видеть, что для каждой из двух интерпретаций угла , описанныхвыше, имеет место соотношениеn = sin cos sin n + cos cos n ,где n полярный угол внешней нормали .
Полагая = 0 (вторая интерпретация),получим, что граничное условие (3.23) может быть записано в виде(, ) = d inc (, )+ (1 − d )b,s ,n < 0,где = ( cos , sin , ), ∈ (0, ),(3.25)72 = (sin , 0, cos ), = (sin n cos , sin n sin , cos n ), ∈ (0, ),поток излучения, падающий на границу, имеет видinc (, ) = 2∫︁n >0n (, ) sin d d(3.26)(интеграл удваивается, поскольку уравнение переноса из-за симметрии рассматривается в половине области, но поток относится ко всей области). Заметим, что в отличиеот граничного условия (3.23), где = − , в граничном условии (3.25) угол определяет координату граничной точки.Для демонстрации особенностей граничного условия (3.25) рассмотрим частныеслучаи. Если n = /2 (граница — цилиндрическая поверхность = const), то n =sin cos , и условие (3.25) поставлено на той части границы, где ∈ (/2, ) (второйквадрант плоскости , ), в то время как интеграл по в (3.26) берется по интервалу ∈ (0, /2).
Если же n = 0 или n = (граница — плоскость = const), то n = cos ,и интеграл по в (3.26) берется по всему интервалу ∈ (0, ). Если граница областиконическая, то ситуация несколько сложнее.Граничные условия для уравнения переноса (3.18) в случаях других типов границставятся аналогично. Приведем лишь конечные результаты.3.2.4Условия на прозрачной диффузной границе раздела средНа прозрачной диффузной границе раздела между двумя средами с показателямипреломления 1 и 2 условия имеют вид inc (, )1inc (, )+ (1 − d,2 ) 2, inc (, ) inc (, ) out (, ) = d,2 2+ (1 − d,1 ) 1, out (, ) = d,1n < 0,(3.27a)n > 0,(3.27b)где потоки излучения, падающие на границу с разных сторон, имеют вид1inc (, )2inc (, )=2∫︁n >0=2∫︁n <0n inc (, ) sin d d,(3.28a)|n | inc (, ) sin d d,(3.28b)73здесь — внешняя по отношению к среде 1 нормаль к границе раздела сред.
Коэфициенты диффузного отражения d,1 и d,2 связаны соотношением(1 − d,1 )21 = (1 − d,2 )22 ,где индексы 1 и 2 относятся к стороне границы (среде) и соответствующему показателюпреломления. Это соотношение является следствием закона сохранения энергии.3.2.5Условие на непрозрачной зеркальной границеНа непрозрачной зеркально отражающей границе условие имеет вид^ + (1 − )b,s ,(, ) = s (^ , )sn < 0,(3.29)где s — коэффициент зеркального отражения для неполяризованного излучения, ^ —^ луча, который падает на границу и зеркально отражаполярный угол направления ется в направлении , задаваемом полярным углом . Вообще говоря, луч падает на^ связаны закономграницу и отражается от нее в одной и той же точке, и вектора и зеркального отражения^ = − 2n ,(3.30)где — нормаль к границе в этой точке, см.
рис. 3.6. Однако в принятом способе ин^ на поверхностьтерпретации осевой симметрии точка ^ падения луча в направлении и точка отражения луча в граничном условии (3.29) отличаются, см. рис. 3.7.Чтобы избежать общих формул рассмотрим частные случаи. Если граница является цилиндрической поверхностью, то ^ = ( cos ,^ sin ,^ ), где ^ = − , и ^ = .Если же граница — плоскость = const, то ^ = и ^ = − . В общем же случае ^ и^ могут быть легко вычислены из и .3.2.6Условия на прозрачной зеркальной границе раздела средНа прозрачной зеркальной границе раздела между двумя средами с показателямипреломления 1 и 2 условия имеют вид^ inc (^ , ) inc (^ ′ , ^′ ) out (, )= s, ()+ [1 − s, ()],212122n < 0,^ out (, ) inc (^ , ) inc (^ ′ , ^′ )= s,1/ ()+ [1 − s,1/ ()],222221n > 0,74или в эквивалентной записи^ + [1 − ()]2 inc (^ out (, ) = s, () inc (^ , ) ′ , ^′ ),s,n < 0,(3.31a)−2 inc ′ ^′^ + [1 − out (, ) = s,1/ () inc (^ , )(^ , ),s,1/ ()] n > 0,(3.31b)^ ′ луча, падающего на границу и преломленного вгде ^′ — полярный угол направления направлении , задаваемом полярным углом , s, () — коэффициент зеркального отражения для неполяризованного излучения, = 1 /2 — относительный коэффициентпреломления, = arccos(|n |).
Вообще говоря, луч падает на границу и преломляется^ ′ связаны законом преломления (закономот нее в одной и той же точке, и вектора и Снеллиуса) [9](︁)︁′^ × 1 − 2 = 0,(3.32)где — внешняя по отношению к среде 1 нормаль к границе раздела сред, см. рис. 3.6.Однако в принятом способе интерпретации осевой симметрии точка ^ ′ падения луча^ ′ на поверхность и точка преломления луча в граничных условив направлении ^ ′ могут быть легко вычисленыях (3.31) отличаются, см. рис.
3.7. Точка ^ ′ и вектор из и .Коэффициент зеркального отражения s, для неполяризованного излучения выражается формулой Френеля [9, 32]s, () =⎧ [︃(︂)︂2 (︂)︂2 ]︃⎪cos−−cos1⎪⎪+,⎨2 cos + + cos ⎪⎪⎪⎩1,=√︀1 − ( sin )2 , < c ,где = arccos(|n |),критический угол c равенсм. рис. 3.8.⎧⎪⎪ 6 1,⎨ ,2c =⎪1⎪⎩arcsin , > 1, > c ,(3.33)75nΩ̂′n2n1ΩΩ̂Рисунок 3.6. Иллюстрация отражения и преломления на прозрачной зеркальной границе^ связаны законом зеркальногораздела (общий неосесимметричный случай). Вектора и ′^ связаны законом преломления (Снеллиуса) (3.32).отражения (3.30).
Вектора и yΩ̂nrn1 > n2′r̂ ′nΩ̂r̂Ωn2yn1 > n2rr̂Ω̂n1n2xn1Ω̂Ω′r̂ ′xРисунок 3.7. Иллюстрация граничных условий (3.31) на вертикальной прозрачной зеркальной границе раздела.1n=20,8n=4/3ρn0,6n=1/20,40,2n=3/4000,10,20,30,40,5α/πРисунок 3.8. Зависимость коэффициента зеркального отражения от угла = arccos(|n |)для различных относительных коэффициентов преломления.763.3Упрощенная численная схема решения осесимметричных задач переноса излученияЭтот раздел основан на результатах статьи [228].3.3.1Разбиение областиРешение уравнения переноса (3.18) ищется в области(, ) ∈ {>0} × [0, ],где {>0} — половина осесимметричной области , для которой > 0, см.
рис. 3.5.Для численного решения область {>0} разбивается на ячейки. Разбиение основано натриангуляции сечения осесимметричной области в координатах , , которое обозначается как . Примеры такой триангуляции показаны на рис. 3.9, 3.15. В пространствепеременных , , ячейки имеют вид × (−1 , ),где — двухмерная ячейка из вышеописанной триангуляции, =, = 1, . . . , , — четное. Эти ячейки отображаются в пространство , , и затем конические и цилиндрические грани заменяются плоскими. Такая замена упрощает применение методахарактеристик, поскольку исключает случаи, когда характеристика пересекает одну иту же неплоскую грань ячейки дважды. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
