Диссертация (1143492), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тем неменее, таблица 3.1 показывает, что квадратуры Лебедева, вообще говоря, сравнимы поточности с квадратурами DCT при вычислении моментов на главных полусферах, чемквадратуры DCT. Более того, можно ожидать такого же поведения и при вычислениимоментов, отличных от тех, что представлены в таблице 3.1.573.1.2Триангуляция единичной сферы для кусочно-квазилинейной интерполяцииИмеющиеся квадратурные формулы на сфере не предполагают представления интегрируемой функции в аналитической форме, и, следовательно, не позволяют в рамкахметода дискретных ординат формулировать граничные условия в случае зеркальногоотражения или преломления на границе.
Поэтому, для того, чтобы решать задачи переноса излучения с зеркальными границами, нужны квадратурные формулы, которыепредоставляли бы возможности для интерполяции на сфере.Простейшая (вырожденная) «интерполяция» — «кусочно-постоянная». Квадратуры из [261] основаны фактически на такой «интерполяции».
Однако кусочно-постоянноепредставление функций имеет низкий порядок точности, поэтому необходима интерполяция более высокого порядка.Следующий уровень интерполяции — кусочно-линейная. На плоскости такая интерполяция может быть легко реализовна. На сфере, однако, кусочно-линейные функции не могут быть определены. Тем не менее, можно определить на сфере кусочноквазилинейные функции. Для этого необходимо построить такие триангуляции сферы,чтобы узловые точки были распределены по сфере как можно более равномерно.Соболев построил в [38] простейшие квадратуры Ньютона-Котеса на сфере, инвариантные относительно группы * .
В этих квадратурах узловые точки образуют сетки двух типов, которые связаны с двумя типами триангуляции на сфере. Этитриангуляции устроены следующим образом. Рассмотрим октаэдр, вписанный в сферу, вершины которого лежат на координатных осях. Грань октаэдра рассматриваетсякак базовый треугольник, см. рис. 3.2, 3.3. Каждая грань октаэдра (сторона базового треугольника) разбивается на , = 1, 2, ..., равных интервалов, − 1-й точкой.Вершины грани октаэдра (являющиеся также вершинами самого октаэдра) и точки,разбивающие грани октаэдра (его ребра, стороны базового треугольника), принадлежат треугольной сетке (на октаэдре), которая образована меньшими треугольниками.В 1-м типе триангуляции стороны меньших треугольников параллельны базовому, во2-м типе — перпендикулярны, см.
рис. 3.2, 3.3. Сетка на октаэдре образуется вершинами меньших треугольников. Примеры триангуляций обоих типов даны на рис. 3.2, 3.3.Триангуляция и соответствующая сетка на сфере получается проецированием таковыхс октаэдра на сферу. Очевидно, что стороны сферических треугольников, образующихтриангуляцию на сфере, принадлежат дугам большого круга. Заметим, что в триангуляции 2-го типа некоторые из меньших треугольников пересекают координатные плоскости и не принадлежат одному октанту. Отметим также, что разбиения в работе [261]совпадают с триангуляциями 1-го типа.Квадратуры Гаусса и Маркова более точны, чем квадратуры Ньютона-Котеса,58N=2N=3Рисунок 3.2.
Триангуляция 1-го типа, = 2, 3.N=2Figure 1.N=3to the paper:S.A.Rukolaine and V.S.Yuferev "Discrete ordinate quadrature schemes ..."Рисунок 3.3. Триангуляция 2-го типа, = 2, 3. Штриховые линии — триангуляция, основанная на квадратуре L11, предложенной Лебедевым.поскольку они используют для каждой свободной узловой точки все возможные параметры, на сфере это координаты узловой точки (два угла) и вес. В квадратурах Гауссаи Маркова узловые точки распределены на сфере более равномерно, чем в квадратурахНьютона-Котеса. В некоторых квадратурах, предложенных Лебедевым, узловые точкиобразуют сетки, очень близкие с Figureсетками2.вtoтриангуляции2-го типа.
Например, узловыеthe paperточки квадратуры L11 и триангуляции 2-го типа для = 2 состоят из узловых точекand V.S.Yuferev "Discrete ordinate quadrature schemes ..."1-го, S.A.Rukolaine2-го и 3-го классови подмножества 5-го класса. Сами сетки отличаются лишь координатами узловых точек 5-го класса (единственные свободные точки в квадратуре).ooДля удобства вместо координат этих точек мы указываем их проекции (o , , ) наоктаэдр, и представляем здесь одну из точек, остальные точки получаются при помощиooпреобразований группы * ). Для сетки 2-го типа (o , , ) = (1/6, 1/6, 2/3), а дляooквадратуры Лебедева L11 (o , , ) = (1/5, 1/5, 3/5).
Триангуляция, основанная наточках квадратуры Лебедева L11 там, где она отличается от триангуляции 2-го типа,показана на рис. 3.3 штриховыми линиями. Таким образом, варьированием координатузловых точек 5-го класса можно строить триангуляции квази-второго типа. В связис этим возникает вопрос: верно ли, что относительная разница между наибольшей инаименьшей площадью сферических треугольников достигает наименьшего значения59для триангуляции, основанной на квадратуре L11? Ответ отрицательный. Разница миooнимальна для триангуляции, в которой (o , , ) ≈ (0.2152449, 0.2152449, 0.5695102).Следующая квадратура Лебедева, узловые точки которой близки к сетке 2-го типадля = 3, это квадратура L17.3.1.3Кусочно-квазилинейная интерполяция, основанная на триангуляции 1-го типаТриангуляция 1-го типа, описанная в предыдущем параграфе, допускает простуюкусочно-квазилинейную интерполяцию на сфере.Заметим, каждый плоский треугольник на октаэдре вырезан из грани, содержащей его, плоскостями = , = , = ,где , , = −, .
. . , , при этом имеет место одно из равенств| | + | | + | | = ± 1.Используемая здесь тройная индексация сферических треугольников основана на этомсвойстве треугольников. Поэтому эти треугольники обозначаются символами .Имеет место соотношение = − ,где = − , = − , = − .Узловые точки, соответствующие заданной триангуляции (для некоторого ), совпадают с вершинами сферических треугольников , то есть эти точки имеют координаты⎛ ⎞1⎜ ⎟ = √︀ 2⎝ ⎠ , + 2 + 2где| | + | | + | | = .Всего на сфере имеется 4 2 + 2 таких точек.
Множество этих точек инвариантно относительно группы симметрии октаэдра, причем = − .Для удобства точки нумеруются последовательно и обозначаются также символами , = ±1, ..., ± , где = 2 2 + 1, и предполагается, что − = − . В60дальнейшем будет использоваться как последовательная нумерация индексом так итройная нумерация индексом .Перед тем как объяснить, что такое кусочно-квазилинейная интерполяция на сфере, заметим, что вектору = ( , , ) на сфере соответствует вектор⎛ ⎞⎞o1⎜ ⎟⎜ o⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ =| | + | | + | |o⎛на октаэдре. Непрерывную функцию () будем называть кусочно-квазилинейной перooвого типа, если она линейна в координатах (o , , ) в каждом плоском треугольникетриангуляции на октаэдре.Угловая дискретизация, основанная на кусочно-квазилинейной интерполяции, реализуется следующим образом.
Интенсивность излучения интерполируется по своимзначениям в узловых точках по формуле(, ) ≈∑︁ () (),(3.1)||=1где () = (, ), — элементарные кусочно-квазилинейные функции первого типа (конечные кусочно-квазилинейные элементы первого типа на сфере), определяемыеравенством ( ) = , символ Кронекера (то есть функция отлична от нулятолько в тех треугольниках, для которых точка является вершиной). В этом случаеобъемная плотность энергии излучения может быть аппроксимирована по формуле∫︁S2′′(, ) d ≈ 4где1 =4∫︁∑︁ (),(3.2)||=1 ( ′ ) d ′ ,(3.3)S2а интеграл рассеяния может быть приближенно вычислен по формуле14∫︁′S2′′( , )(, ) d ≈где1=4∫︁∑︁ (),(3.4)||=1( , ′ ) ( ′ ) d ′ ,(3.5)S2||, || = 1, .
. . , . Если рассеяние изотропно, то есть ≡ 1, то = .Для вычисления интеграла рассеяния можно использовать также вместо форму-61лы (3.1) приближенное следующее представление подынтегральной функции′′( , )(, ) ≈∑︁( , ) () ( ′ ,(3.6)||=1тогда интеграл рассеяния будет приближенно равен14∫︁S2′′′( , )(, ) d ≈∑︁( , ) ().(3.7)||=1Формула (3.7) имеет такой же вид, что и квадратурная формула для вычисления интеграла рассеяния в методе дискретных ординат.Интегрирование по сфере сводится к интегрированию по сферическим треугольникам . В параграфе 3.A.1 показано, как вычислять интегралы∫︁ () d,(3.8) Интегрирование функций по сферическим треугольникам описано в параграфе 3.A.2.В таблице 3.2 представлены квадратурные веса для некоторых значений .Относительная точность различных квадратурных схем при вычислении моментов∫︁>0 dпо полусфере > 0 представлена в таблице 3.3.
Квадратуры, основанные на весах ,(1)обозначаются PQLA , = 3, 4, . . . (Piecewise QuasiLinear Angular, триангуляция 1-готипа). Эти квадратуры точны для моментов (0, 0, 0) и (0, 0, 2).(1)Таблица 3.3 демонстрирует, что квадратуры PQLA , вообще говоря, более точны, чем квадратуры, предложенные в работе [174], и менее точны, чем квадратуры, предложенные в работе [113]. Однако здесь следует заметить, что квадратурыPQLA разработаны для того, чтобы трактовать зеркальное рассеяние, а это не по силам другим квадратурам. Это преимущество квадратур PQLA перед другими отмеченов недавнем обзоре [88].В следующем параграфе будет показано, что использование второго типа триангуляции позволяет существенно снизить ошибки в квадратурных формулах. Из табли(1)цы 3.3 следует, что асимптотическая точность квадратурной схемы PQLA , котораяпропорциональна здесь 1/ , = 2 2 + 1, достигается для моментов, представленныхв таблице, при = 5.Таблица 3.3 показывает также, что квадратуры , которые можно интерпрети-62Таблица 3.2.
Квадратурные веса . = 10010.1666720021010.029140.0687630031021110.010020.026750.0372440041032021120.004920.012110.016960.01985ровать как основанные не кусочно-постоянном представлении функций, обеспечивают(1)в целом более высокую точность, чем квадратуры PQLA . Это преимущество квад(1)ратур перед PQLA можно объяснить плохим выбором триангуляции в последнемслучае. Напомним, что обе квадратуры используют одну и ту же триангуляцию, ноузловые точки квадратур расположены в центрах треугольников, в то время как вквадратурах PQLA узловые точки это вершины треугольников.Для триангуляции 1-го типа возможна другая, несколько отличающаяся от описанной, кусочно-квазилинейная интерполяция, которая описана в следующем параграфе. Однако вычисления показывают, что эта интерполяция не ведет к лучшим результатам при вычислении моментов.3.1.4Кусочно-квазилинейная интерполяция, основанная на триангуляции 2-го типаКусочно-квазилинейная интерполяция, представленная в предыдущем параграфе, реализуема лишь для триангуляции 1-го типа.
Для произвольной триангуляции, вчастности, для триангуляции 2-го типа, кусочно-квазилинейная интерполяция можетбыть реализована следующим образом. Построим многогранник, вписанный в сферу,вершины которого совпадают с вершинами сферических треугольников. Пусть ( , , ) — радиальная проекция точки на многогранник.
Непрерывную функцию (), ∈ S2 , будем называть кусочно-квазилинейной второго типа, если она линейна в координатах ( , , ) на каждой грани многогранника. Построение такой функции насферическом треугольнике описано в параграфе 3.A.3.В случае триангуляции 2-го типа угловая дискретизация осуществляется и инте-63Таблица 3.3. Относительные ошибки при вычислении моментовсфере > 0 для различных квадратурных схем.Квадратура(1)38484850(2)150PQLA2(2)2PQLA2(2)2PQLA2(2)3PQLA2(1)PQLA4505050 >0 dпо полу-Относительные ошибки (в %) для моментов (, , )ЧислоузловPQLA3DCT020DCT020L11∫︀(0, 0, 1)(0, 0, 3)(0, 2, 1)(0, 0, 4)(0, 2, 2)(0, 0, 5)(0, 4, 1)(0, 2, 3)(2, 2, 1)−4.1702.20−1.23−0.140.28−0.220−8.20−0.284.60−2.48−0.680001.03000−0.73−0.280.0500.991.40−0.8003.05−4.604.49−14.32−3.607.04−2.48−8.256.468.07−7.50−1.121.70−3.555.30−2.27−0.66−0.6901.62−0.58−6.16−0.76−0.56−0.80−1.081.630.641.62−5.60−1.411.303.24−1.98−4.85−1.821.88−1.66−4.32−4.13−1.041.55−1.044.78−15.78−4.48−1.57−1.121.471.884.41−5.523.52−1.81−3.97−13.57−11.08−5.11−4.534.8136672−2.480.10LSE8LSO8LSH8EWE8EWO880808080801.70001.490−0.1400.22−0.1003.540−0.223.0800000−0.1900000.280.030.65−0.190.0205.52−5.82−1.244.68−6.19−0.47−1.291.02−0.3505.6120.070.395.1718.568LSN8DCT111DCT111808080802.07001.305.08−0.82−0.042.64−1.821.13002.73−1.7000−2.861.0700.026.362.01−1.443.92102−1.600.40−3.600.73−1.080.98−3.762.890.33−0.12−0.245.65−0.823.874.50PQLA5−0.950.820.02−0.08L171100−1.12−1.44(1)−0.56000−0.40.1000.010.58−0.150−0.01−0.5800.010−0.740.01−8.89−2.49(2)21101201201201280.130.47PQLA6LSE1212(1)146168168−1.120.971.44PQLA7(1)198−0.820.30−0.04−0.822000.080.32PQLA8166(1)258288288−0.641.100.050.18−0.650.22PQLA9(1)326−0.500.143920.040.160.450.24(1)402512−0.410.030.120.12−0.92−0.060.200.23−0.33−0.350.290.34−0.960.18−0.22−0.32−2.32−0.28/2/42/52/15/3/8/12/24PQLA3LSH10EWE10EWO10457PQLA108Точные значения−0.4201.020−0.20.17−0.0500.24−0.64−0.172.090−0.21−2.521.993.70−1.88−0.16−1.442.84−0.11−1.16−0.080.840.550−1.710.430.630.33−1.380.420.250.31−1.26−0.8502.57−0.63−0.94−0.482.06−0.64−0.40−0.4611 и 17 квадратуры, Лебедев [23]; квадратуры, Lee [174];LSO8 квадратура, Lathrop and Carlson [172];LSE , LSO , LSH , EWE и EWO квадратуры, Fiveland [113];LSN8 квадратура, Wakil and Sacadura [273]; квадратуры, Thurgood, et al.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
