Орлов А.И. Менеджмент (2003) (1142166), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Распространенное заблуждение состоит втом, что ответы экспертов стараются рассматривать как числа, занимаются"оцифровкой" их мнений, приписывая этим мнениям численные значения - баллы,которые потом обрабатывают с помощью методов прикладной статистикикак результаты обычных физико-технических измерений. В случаепроизвольности "оцифровки" выводы, полученные в результате обработкиданных, могут не иметь отношения к реальности.Проверка согласованности мнений экспертов и классификацияэкспертных мнений. Ясно, что мнения разных экспертов различаются. Важнопонять, насколько велико это различие. Если мало - усреднение мнений экспертовпозволит выделить то общее, что есть у всех экспертов, отбросив случайныеотклонения в ту или иную сторону.
Если велико - усреднение является чистоформальной процедурой. Так, если представить себе, что ответы экспертовравномерно покрывают поверхность бублика, то формальное усреднение укажетна центр дырки от бублика, а такого мнения не придерживается ни один эксперт.Из сказанного ясна важность проблемы проверки согласованности мненийэкспертов.Разработан ряд методов такой проверки. Статистические методыпроверки согласованности зависят от математической природы ответов экспертов.Соответствующие статистические теории весьма трудны, если эти ответы ранжировки или разбиения, и достаточно просты, если ответы - результатынезависимых парных сравнений.
Отсюда вытекает рекомендация по организацииэкспертного опроса: не старайтесь сразу получить от эксперта ранжировку илиразбиение, ему трудно это сделать, да и имеющиеся математические методы непозволяют далеко продвинуться в анализе подобных данных. Например,рекомендуют проверять согласованность ранжировок с помощью коэффициентаранговой конкордации Кендалла-Смита. Но давайте вспомним, какаястатистическая модель при этом используется. Проверяется нулевая гипотеза,согласно которой ранжировки независимы и равномерно распределены намножестве всех ранжировок. Если эта гипотеза принимается, то конечно, ни окакой согласованности мнений экспертов говорить нельзя.
А если отклоняется?Тоже нельзя. Например, может быть два (или больше) центра, около которыхгруппируются ответы экспертов. Нулевая гипотеза отклоняется. Но разве можноговорить о согласованности?Эксперту гораздо легче на каждом шагу сравнивать только два объекта.Пусть он занимается парными сравнениями. Непараметрическая теория парныхсравнений (теория люсианов) позволяет решать более сложные задачи, чемстатистика ранжировок или разбиений. В частности, вместо гипотезыравномерного распределения можно рассматривать гипотезу однородности, т.е.вместо совпадения всех распределений с одним фиксированным (равномерным)можно проверять лишь совпадение распределений мнений экспертов междусобой, что естественно трактовать как согласованность их мнений.
Такимобразом, удается избавиться от неестественного предположения равномерности.При отсутствии согласованности экспертов естественно разбить их нагруппы сходных по мнению. Это можно сделать различными методамистатистики объектов нечисловой природы, относящимися к кластер-анализу,предварительно введя метрику в пространство мнений экспертов. Идеяамериканского математика Джона Кемени об аксиоматическом введении метрик(см.
ниже) нашла многочисленных продолжателей. Однако методы кластеранализа обычно являются эвристическими. В частности, невозможно с позицийстатистической теории обосновать "законность" объединения двух кластеров водин. Имеется важное исключение - для независимых парных сравнений(люсианов) разработаны методы, позволяющие проверять возможностьобъединения кластеров как статистическую гипотезу. Это - еще один аргументза то, чтобы рассматривать теорию люсианов как ядро математических методовэкспертных оценок [1].Нахождение итогового мнения комиссии экспертов.
Пусть мнениякомиссии экспертов или какой-то ее части признаны согласованными. Каково жеитоговое (среднее, общее) мнение комиссии? Согласно идее Джона Кемениследует найти среднее мнение как решение оптимизационной задачи. А именно,надо минимизировать суммарное расстояние от кандидата в средние до мненийэкспертов. Найденное таким способом среднее мнение называют "медианойКемени".Математическая сложность состоит в том, что мнения экспертов лежат внекотором пространстве объектов нечисловой природы.
Общая теория подобногоусреднения построена в ряде работ, в частности, показано, что в силу обобщениязакона больших чисел среднее мнение при увеличении числа экспертов (чьимнения независимы и одинаково распределены) приближается к некоторомупределу, который естественно назвать математическим ожиданием (случайногоэлемента, имеющего то же распределение, что и ответы экспертов).В конкретных пространствах нечисловых мнений экспертов вычислениемедианы Кемени может быть достаточно сложным делом. Кроме свойствпространства, велика роль конкретных метрик. Так, в пространстве ранжировокпри использовании метрики, связанной с коэффициентом ранговой корреляцииКендалла, необходимо проводить достаточно сложные расчеты, в то время какприменение показателя различия на основе коэффициента ранговой корреляцииСпирмена приводит к упорядочению по средним рангам.Бинарные отношения и расстояние Кемени.
Как известно, бинарноеотношение А на конечном множестве Q = {q1 , q2 ,..., qk } - это подмножестводекартова квадрата Q2 = { (qm , qn ), m,n = 1,2,…,k }. При этом пара (qm , qn )входит в А тогда и только тогда, когда между qm и qn имеется рассматриваемоеотношение. Каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарноеотношение, можно задать матрицей || x(a, b) || из 0 и 1 порядка k x k.
При этом x(a,b) = 1 тогда и только тогда, когда a < b либо a = b. В первом случае x(b, a) = 0, аво втором x(b, a) = 1. При этом хотя бы одно из чисел x(a, b) и x(b, a) равно 1.Как использовать связь между ранжировками и матрицами? Например, изопределения противоречивости пары (a, b) (см. выше, пункт о теории измерений)вытекает, что для нахождения всех таких пар можно воспользоваться матрицами,соответствующими ранжировкам. Достаточно поэлементно перемножить двематрицы ||x(a,b)|| и ||y(a, b)||, соответствующие двум кластеризованнымранжировкам, и отобрать те и только те пары, для которыхx(a,b)y(a,b)=x(b,a)y(b,a)=0.В экспертных методах используют, в частности, такие бинарныеотношения, как ранжировки (упорядочения, или разбиения на группы, междукоторыми имеется строгий порядок), отношения эквивалентности, толерантности(отношения сходства).
Как следует из сказанного выше, каждое бинарноеотношение А можно описать матрицей || a(i,j) || из 0 и 1, причем a(i,j) = 1 тогда итолько тогда, когда qi и qj находятся в отношении А, и a(i,j) = 0 в противномслучае.Определение.РасстояниемКеменимеждубинарнымиотношениями А и В, описываемыми матрицами || a(i,j) || и || b(i,j) ||соответственно, называется число D (A, B) = ∑ │a(i,j) - b(i,j) │, гдесуммирование производится по всем i,j от 1 до k, т.е. расстояние Кемени междубинарными отношениями равно сумме модулей разностей элементов, стоящихна одних и тех же местах в соответствующих им матрицах.Легко видеть, что расстояние Кемени - это число несовпадающихэлементов в матрицах || a(i,j) || и || b(i,j) || .Расстояние Кемени основано нанекоторой системе аксиом.
Эта система аксиом и вывод из нее формулы длярасстояния Кемени между упорядочениями содержится в книге [7], котораясыграла большую роль в развитии в нашей стране такого научного направления,как анализ нечисловой информации [4, 6]. В дальнейшем под влиянием Кеменибыли предложены различные системы аксиом для получения расстояний в техили иных нужных для социально-экономических исследований пространствах,например, в пространствах множеств [4].Медиана Кемени и законы больших чисел.
С помощью расстоянияКемени находят итоговое мнение комиссии экспертов. Пусть А1 , А2 , А3 ,…, Ар ответы р экспертов, представленные в виде бинарных отношений. Для ихусреднения используют т.н. медиану Кемени Arg min ∑ D (Ai ,A) , где Arg min то или те значения А, при которых достигает минимума указанная суммарасстояний Кемени от ответов экспертов до текущей переменной А, по которой ипроводится минимизация. Таким образом, ∑ D (Ai ,A) = D (A1 ,A) + D (A2 ,A) + D(A3 ,A) +…+ D (Aр ,A) .
Кроме медианы Кемени, используют среднее по Кемени, вкотором вместо D (Ai ,A) стоит D2 (Ai ,A). Медиана Кемени - частный случайопределения эмпирического среднего в пространствах нечисловой природы. Длянее справедлив закон больших чисел, т.е. эмпирическое среднее приближаетсяпри росте числа составляющих (т.е.
р - числа слагаемых в сумме), ктеоретическому среднему: Arg min ∑ D (Ai ,A) → Arg min М D (A1 , A) . Здесь М символ математического ожидания. Предполагается, что ответы р экспертов А1 ,А2 , А3 ,…, А р есть основания рассматривать как независимые одинаковораспределенные случайные элементы (т.е. как случайную выборку) всоответствующем пространстве произвольной природы, например, в пространствеупорядочений или отношений эквивалентности. Систематически эмпирические итеоретические средние и соответствующие законы больших чисел изучены в рядеработ (см., например, [4, 6]).Законы больших чисел показывают, во-первых, что медиана Кемениобладает устойчивостью по отношению к незначительному изменению составаэкспертной комиссии; во-вторых, при увеличении числа экспертов онаприближается к некоторому пределу.
Его естественно рассматривать какистинное мнение экспертов, от которого каждый из них несколько отклонялся послучайным причинам. Рассматриваемый здесь закон больших чисел являетсяобобщением известного в статистике "классического" закона больших чисел. Оноснован на иной математической базе - теории оптимизации, в то время как"классический" закон больших чисел использует суммирование. Упорядочения идругие бинарные отношения нельзя складывать, поэтому приходится применятьиную математику.
Вычисление медианы Кемени - задача целочисленногопрограммирования. В частности, для ее нахождения используется различныеалгоритмы дискретной математики, в частности, основанные на методе ветвей играниц. Применяют также алгоритмы, основанные на идее случайного поиска,поскольку для каждого бинарного отношения нетрудно найти множество егососедей.Таблица 3.Матрица попарных расстояний30301001Рассмотрим пример вычисления медианы Кемени.
Пусть дана квадратнаяматрица (порядка 9) попарных расстояний для множества бинарных отношенийиз 9 элементов А1 , А2 , А3 ,..., А9 (см. табл. 3). Требуется найти в этом множествемедиану для множества из 5 элементов {А2 , А4 , А5 , А8 , А9}.В соответствии с определением медианы Кемени следует ввести врассмотрение функциюС(А) = ∑ D(Ai ,A) = D(A2 ,A)+D(A4 ,A)+D(A5 ,A)+D(A8 ,A)+D(A9 ,A),рассчитать ее значения для всех А1 , А2 , А3 ,..., А9 и выбрать наименьшее.Проведем расчеты: С(А1) = 24, С(А2) = 13, С(А3) = 21, С(А4) = 27, С(А5) = 16,С(А6) = 23, С(А7) = 15, С(А8) = 25, С(А9) = 25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
