Орлов А.И. Менеджмент (2003) (1142166), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В порядковой шкале допустимыми являютсявсе строго возрастающие преобразования.Установление типа шкалы, т.е. задания группы допустимыхпреобразований шкалы измерения - дело специалистов соответствующейприкладной области. Так, оценки привлекательности профессий мы, выступая вкачестве социологов, считали измеренными в порядковой шкале. Однакоотдельные социологи не соглашались с нами, полагая, что выпускники школпользуются шкалой с более узкой группой допустимых преобразований,например, интервальной шкалой. Очевидно, эта проблема относится не кматематике, а к наукам о человеке. Для ее решения может быть поставлендостаточно трудоемкий эксперимент. Пока же он не поставлен, целесообразнопринимать порядковую шкалу, так как это гарантирует от возможных ошибок.Оценки экспертов, как уже отмечалось, часто следует считатьизмеренными в порядковой шкале. Типичным примером являются задачиранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащихэкологическому страхованию (см.
ниже).Почему мнения экспертов естественно выражать именно в порядковойшкале? Как показали многочисленные опыты, человек более правильно (и сменьшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного, например,сравнительного, характера, чем количественного. Так, ему легче сказать, какаяиз двух гирь тяжелее, чем указать их примерный вес в граммах.Используется много других известных примеров порядковых шкал. Так,например, в минералогии используется шкала Мооса, по которому минералыклассифицируются согласно критерию твердости. А именно: тальк имеет балл 1,гипс - 2, кальций - 3, флюорит - 4, апатит - 5, ортоклаз - 6, кварц - 7, топаз - 8,корунд - 9, алмаз - 10.
Порядковыми шкалами в географии являются - бофортовашкала ветров ("штиль", "слабый ветер", "умеренный ветер" и т.д.), шкала силыземлетрясений. В медицине порядковыми шкалами являются - шкала стадийгипертонической болезни (по Мясникову), шкала степеней сердечнойнедостаточности (по Стражеско-Василенко-Лангу), шкала степени выраженностикоронарной недостаточности (по Фогельсону). Номера домов также измерены впорядковой шкале. При оценке качества продукции и услуг, в т.н. квалиметрии(буквальный перевод: измерение качества) популярны порядковые шкалы. Аименно, единица продукции оценивается как годная или не годная.
При болеетщательном анализе используется шкала с тремя градациями: есть значительныедефекты - присутствуют только незначительные дефекты - нет дефектов.При оценке экологических воздействий первая оценка - обычнопорядковая: природная среда стабильна - природная среда угнетена (деградирует).Аналогично в эколого-медицинской шкале: нет выраженного воздействия наздоровье людей - отмечается отрицательное воздействие на здоровье. Порядковаяшкала используется и в иных областях.Порядковая шкала и шкала наименований - основные шкалыкачественных признаков.
Поэтому во многих конкретных областях результатыкачественного анализа можно рассматривать как измерения по этим шкалам.Шкалы количественных признаков - это шкалы интервалов,отношений, разностей, абсолютная. По шкале интервалов измеряют величинупотенциальной энергии или координату точки на прямой. В этих случаях нашкале нельзя отметить ни естественное начало отсчета, ни естественную единицуизмерения.
Допустимыми преобразованиями в шкале интервалов являютсялинейные возрастающие преобразования, т.е. линейные функции. Температурныешкалы Цельсия и Фаренгейта связаны именно такой зависимостью: С0 = 5/9 (Ф0 32), где С0 - температура по шкале Цельсия, а Ф0 - температура по шкалеФаренгейта.Из количественных шкал наиболее распространенными в науке ипрактике являются шкалы отношений.
В них есть естественное начало отсчета нуль, т.е. отсутствие величины, но нет естественной единицы измерения. Пошкале отношений измерены большинство физических единиц: масса тела, длина,заряд, а также цены в экономике. Допустимыми преобразованиями шкалеотношений являются подобные (изменяющие только масштаб). Другими словами,линейные возрастающие преобразования без свободного члена.Время измеряется по шкале разностей, если год принимаем естественнойединицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае. Естественногоначала отсчета указать на современном уровне знаний нельзя.
Дату сотворениямира различные авторы рассчитывают по-разному, равно как и момент рождестваХристова. Так, согласно новой статистической хронологии Господь ИисусХристос родился в 1054 г. н.э. (по принятому ныне летоисчислению) в Стамбуле(он же - Царьград, Византия, Троя, Иерусалим, Рим).Только для абсолютной шкалы результаты измерений - числа в обычномсмысле слова. Примером является число людей в комнате. Для абсолютнойшкалы допустимым является только тождественное преобразование.В процессе развития соответствующей области знания тип шкалы можетменяться. Так, сначала температура измерялась по порядковой шкале (холоднее теплее).
Затем - по интервальной (шкалы Цельсия, Фаренгейта, Реомюра).Наконец, после открытия абсолютного нуля температуру следует считатьизмеренной по шкале отношений (шкала Кельвина). Надо отметить, что средиспециалистов иногда имеются разногласия по поводу того, по каким шкаламследует считать измеренными те или иные реальные величины. Другими словами,процесс измерения включает в себя и определение типа шкалы (вместе собоснованием).Инвариантные алгоритмы и средние величины. Основное требованиек алгоритмам анализа данных формулируется в РТИ так: выводы, сделанные наоснове данных, измеренных в шкале определенного типа, не должны менятьсяпри допустимом преобразовании шкалы измерения этих данных.
Другимисловами, выводы должны быть инвариантны по отношению к допустимымпреобразованиям шкалы.Таким образом, одна из основных целей теории измерений - борьба ссубъективизмом исследователя при приписывании численных значений реальнымобъектам. Так, расстояния можно измерять в аршинах, метрах, микронах, милях,парсеках и других единицах измерения. Массу (вес) - в пудах, килограммах,фунтах и др. Цены на товары и услуги можно указывать в юанях, рублях, тенге,гривнах, латах, кронах, марках, долларах США и других валютах (при условиизаданных курсов пересчета). Подчеркнем очень важное, хотя и вполне очевидноеобстоятельство: выбор единиц измерения зависит от исследователя, т.е.субъективен.
Статистические выводы могут быть адекватны реальноститолько тогда, когда они не зависят от того, какую единицу измеренияпредпочтет исследователь, т.е. когда они инвариантны относительнодопустимого преобразования шкалы.В качестве примера рассмотрим обработку мнений экспертов,измеренных в порядковой шкале. Пусть Y1, Y2,...,Yn - совокупность оценокэкспертов, "выставленных" одному объекту экспертизы (например, одному извариантов стратегического развития фирмы), Z1, Z2,...,Zn - второму (другомуварианту такого развития).Как сравнивать эти совокупности? Очевидно, самый простой способ- по средним значениям.
А как вычислять средние? Известны различные видысредних величин: среднее арифметическое, медиана, мода, среднеегеометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое. Обобщениемнескольких из перечисленных является среднее по Колмогорову.
Для чисел X1,X2,...,Xn среднее по Колмогорову вычисляется по формулеG{(F(X1)+F(X2)+...F(Xn))/n},где F - строго монотонная функция, G - функция, обратная к F. Средисредних по Колмогорову - много хорошо известных персонажей. Так, если F(x) =x, то среднее по Колмогорову - это среднее арифметическое, если F(x) = ln x, тосреднее геометрическое, если F(x) = 1/x, то среднее гармоническое, если F(x) =x2, то среднее квадратическое, и т.д. С другой стороны, такие популярныесредние, как медиана и мода, нельзя представить в виде средних по Колмогорову.Напомним, что общее понятие средней величины введенофранцузским математиком первой половины ХIХ в. академиком О.
Коши. Онотаково: средней величиной является любая функция f(X1, X2,...Xn) такая, что привсех возможных значениях аргументов значение этой функции не меньше, чемминимальное из чисел X1, X2,...Xn , и не больше, чем максимальное из этих чисел.Среднее по Колмогорову - частный случай среднего по Коши.
Медиана и мода,хотя и не являются средними по Колмогорову, но тоже - средние по Коши.При допустимом преобразованиишкалы значение среднейвеличины, очевидно, меняется. Но выводы о том, для какой совокупности среднеебольше, а для какой - меньше, не должны меняться (в соответствии с требованиеминвариантности выводов, принятом как основное требование вРТИ).Сформулируем соответствующую математическую задачу поиска вида среднихвеличин, результат сравнения которых устойчив относительно допустимыхпреобразований шкалы.Пусть f(X1, X2,...,Xn) - среднее по Коши.
Пусть среднее по первойсовокупности меньше среднего по второй совокупности:f(Y1, Y2,...,Yn) < f(Z1, Z2,...,Zn). (1)Согласно РТИ для устойчивости результата сравнения среднихнеобходимо, чтобы для любого допустимого преобразования g из группыдопустимых преобразований в соответствующей шкале было справедливо такженеравенствоf(g(Y1), g(Y2),..., g(Yn)) < f (g(Z1), g(Z2),..., g(Zn)), (2)т.е. среднее преобразованных значений из первой совокупности такжебыло меньше среднего преобразованных значений для второй совокупности.Причем сформулированное условие должно быть верно для любых двухсовокупностей Y1, Y2,...,Yn и Z1, Z2,...,Zn и, напомним, любого допустимогопреобразования g.
Согласно РТИ только такими средними можно пользоватьсяпри анализе мнений экспертов и иных данных, измеренных в рассматриваемойшкале.С помощью математической теории, развитой А.И.Орловым в 1970х годах, удается описать вид допустимых средних в основных шкалах. В шкаленаименований в качестве среднего годится только мода. Из всех средних по Кошив порядковой шкале в качестве средних можно использовать только членывариационного ряда (порядковые статистики), в частности, медиану (принечетном объеме выборки. При четном же объеме следует применять один издвух центральных членов вариационного ряда - как их иногда называют, левуюмедиану или правую медиану), но не среднее арифметическое, среднеегеометрическое и т.д. В шкале интервалов из всех средних по Колмогоровуможно применять только среднее арифметическое. В шкале отношений из всехсредних по Колмогорову устойчивыми относительно сравнения являются толькостепенные средние и среднее геометрическое.Приведем численный пример, показывающий некорректностьиспользования среднего арифметического f(X1, X2) = (X1+X2)/2 в порядковойшкале.
Пусть Y1= 1, Y2 = 11, Z1 = 6, Z2 = 8. Тогда f(Y1, Y2) = 6, что меньше, чемf(Z1, Z2) = 7. Пусть строго возрастающее преобразование g таково, что g(1) = 1,g(6) = 6, g(8) = 8, g(11) = 99. Таких преобразований много. Например, можноположить g(x) = x при x, не превосходящих 8, и g(x) = 99(x-8)/3 + 8 для х,больших 8. Тогда f(g(Y1), g(Y2)) = 50, что больше, чем f(g(Z1), g(Z2)) = 7. Каквидим, в результате допустимого, т.е. строго возрастающего преобразованияшкалы упорядоченность средних изменилась.Приведенные результаты о средних величинах широкоприменяются, причем не только в теории экспертных оценок или социологии, нои, например, для анализа методов агрегирования датчиков в АСУ ТП доменныхпечей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
