Орлов А.И. Менеджмент (2003) (1142166), страница 63

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

Основы линейного регрессионного анализаМетод наименьших квадратов, рассмотренный в простейшемслучае, допускает различные обобщения. Например, метод наименьших квадратовдает алгоритм расчетов, если исходные данные – по-прежнему набор n пар чисел(tk , xk), k = 1,2,…,n, где tk – независимая переменная (например, время), а xk –зависимая (например, индекс инфляции), а восстанавливать надо не линейнуюзависимость, а квадратическую:x(t )  at 2  bt  c.Следует рассмотреть функцию трех переменныхnf ( a, b, c)   ( x k  at k2  bt k  c) 2 .k 1Оценки метода наименьших квадратов - это такие значения параметровa*, b* и с*, при которых функция f(a,b,с) достигает минимума по всем значениямаргументов.

Чтобы найти эти оценки, надо вычислить частные производные отфункции f(a,b,с) по аргументам a, b и с, приравнять их 0, затем из полученныхуравнений найти оценки: Имеем:nnf ( a, b, c)  ( x k  at k2  bt k  c) 2   2( t k2 )( x k  at k2  bt k  c) 2 .ak 1 ak 1Приравнивая частную производную к 0, получаем линейное уравнениеотносительно трех неизвестных параметров a,b,c:nnnnk 1k 1k 1k 1a  t k4  b  t k3  c  t k2   t k2 x k .Приравнивая частную производную по параметру b к 0, аналогичнымобразом получаем уравнениеnnnnk 1k 1k 1k 1a  t k3  b t k2  c  t k   t k x k .Наконец, приравнивая частную производную по параметру с к 0,получаем уравнениеnnnk 1k 1k 1a  t k2  b  t k  cn   x k .Решая систему трех уравнений с тремя неизвестными, находим оценкиметода наименьших квадратов.Другиезадачи,рассмотренныевпредыдущемпункте(доверительные границы для параметров и прогностической функции и др.),также могут быть решены.

Соответствующие алгоритмы более громоздки. Для ихзаписи полезен аппарат матричной алгебры (см., например, одну из лучших в этойобласти монографий [10]). Для реальных расчетов используют соответствующиекомпьютерные программы.Раздел эконометрики, посвященный восстановлению зависимостей,называется регрессионным анализом. Термин "линейный регрессионный анализ"используют, когда рассматриваемая функция линейно зависит от оцениваемыхпараметров (от независимых переменных зависимость может быть произвольной).Теория оценивания неизвестных параметров хорошо развита именно в случаелинейного регрессионного анализа. Если же линейности нет и нельзя перейти клинейной задаче, то, как правило, хороших свойств от оценок ожидать неприходится.Продемонстрируем подходы в случае зависимостей различноговида.

Если зависимость имеет вид многочлена (полинома)x(t )  a 0  a1t  a 2 t 2  a3 t 3  ...  a m t m ,то коэффициенты многочлена могут быть найдены путем минимизациифункцииnf ( a 0 , a1 , a 2 , a 3 ,..., a m )   ( x k  a 0  a1t k  a 2 t k2  a 3t k3  ...  a m t km ) 2 .k 1Функция от t не обязательно должна быть многочленом. Можно,например, добавить периодическую составляющую, соответствующую сезоннымколебаниям.

Хорошо известно, например, что инфляция (рост потребительскихцен) имеет четко выраженный годовой цикл - в среднем цены быстрее всегорастут зимой, в декабре - январе, а медленнее всего (иногда в среднем дажепадают) летом, в июле - августе. Пусть для определенностиx(t )  a 0  a1t  a 2 t 2  a3t 3  ...  a m t m  A sin Bt ,тогда неизвестные параметры могут быть найдены путем минимизациифункцииnf ( a 0 , a1 , a 2 , a 3 ,..., a m , A, B )   ( x k  a 0  a1t k  a 2 t k2  a3 t k3  ...  a m t km  A sin Bt k ) 2 .k 1Пусть I(t) -индекс инфляции в момент t.

Принцип стабильностиусловий приводит к гипотезе о постоянстве темпов роста средних цен, т.е.индекса инфляции. Таким образом, естественная модель для индекса инфляции этоI (t )  Ae Bt .Эта модель не является линейной, метод наименьших квадратовнепосредственно применять нельзя.

Однако если прологарифмировать обе частипредыдущего равенства:ln I (t )  ln A  Bt ,то получим линейную зависимость, рассмотренную выше.Независимых переменных может быть не одна, а несколько. Пусть,( x k , y k , z k ), k  1,2,..., n,например, по исходным даннымтребуется оценитьнеизвестные параметры a и b в зависимостиz  ax  by   ,где - погрешность.

Это можно сделать, минимизировав функциюnf ( a, b)   ( z k  ax k  by k ) 2 .k 1Зависимость от х и у не обязательно должна быть линейной.Предположим, что из каких-то соображений известно, что зависимость должнаиметь видz  ax  by  cx 2 y  dxy  ey 3   ,тогда для оценки пяти параметров необходимо минимизироватьфункциюnf ( a, b, c, d , e)   ( z k  ax k  by k  cx k2 y k  dx k y k  ey k3 ) 2 .k 1Более подробно рассмотрим пример из микроэкономики. В одной изоптимизационных моделей поведения фирмы используется т.н. производственнаяфункция f(K,L), задающая объем выпуска в зависимости от затрат капитала K итруда L.

В качестве конкретного вида производственной функции частоиспользуется так называемая функция Кобба-Дугласаf ( K , L)  K  L .Однако откуда взять значения параметров  и  ? Естественнопредположить, что они - одни и те же для предприятий отрасли. Поэтому( f , K , L ), k  1,2,..., n,целесообразно собрать информацию k k kгде fk - объем выпускана k-ом предприятии, Kk- объем затрат капитала на k-ом предприятии, Lk - объемзатрат труда на k-ом предприятии (в кратком изложении не пытаемся дать точныхопределений используемым понятиям из экономики предприятия). По собраннойинформации естественно попытаться оценить параметры  и  . Но они входят взависимость нелинейно, поэтому сразу применить метод наименьших квадратовнельзя. Помогает логарифмирование:ln f ( K , L)   ln K   ln L.Следовательно, целесообразно сделать замену переменныхx k  ln K k , y k  ln Lk , z k  ln f k , k  1,2,3,..., n,а затем находить оценки параметров  и  , минимизируя функциюg ( ,  ) n(zk  xk  yk )2.k 1Найдем частные производные:ng ( ,  )  2( z k  x k  y k )( x k ),k 1ng ( ,  )  2( z k  x k  y k )( y k ).k 1Приравняем частные производные к 0, сократим на 2, раскроем скобки,перенесем свободные члены вправо.

Получим систему двух линейных уравненийс двумя неизвестными:nnnk 1k 1k 1  x k2    x k y k   x k z k ,nnnk 1k 1k 1  xk y k    y л2   у k z k .Таким образом, для вычисления оценок метода наименьших квадратовнеобходимо найти пять суммnxk 12k,nxk 1kyk ,nyk 12k,nxk 1kzk ,nykzk .k 1Для упорядочения расчета этих сумм может быть использована таблицатипа той, что применялась выше. Отметим, что рассмотренная там постановкаy  1, k  1,2,..., n.переходит в разбираемую сейчас при kПодходящая замена переменных во многих случаях позволяетперейти к линейной зависимости. Например, если1y,a  bxто замена z=1/y приводит к линейной зависимости z = a + bx.

Еслиz  y приводит к линейной зависимости z = a + bx.y=(a+bx)2, то заменаРегрессионному анализу (т.е методам восстановления зависимостей)посвящена огромная литература. Он хорошо представлен в программныхпродуктах по анализу данных, особенно та его часть, которая связана с методомнаименьших квадратов. Обзор современных эконометрических методов имоделей дан в учебнике [1].Литература1. Орлов А.И. Эконометрика.

– М.: Экзамен, 2002. -576 с.2. Долан Э.Дж., Линдсей Д.Е. Рынок: микроэкономическая модель. СПб: СП "Автокомп", 1992. - 496 с.3. The teaching of statistics / Studies in mathematics education. Vol.7. - Paris,UNESCO, 1989. - 258 pp.4. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.:Наука, 1979. - 296 с.5. Контроллинг в бизнесе. Методологические и практические основыпостроения контроллинга в организациях / А.М. Карминский, Н.И. Оленев, А.Г.Примак, С.Г.Фалько.

- М.: Финансы и статистика, 1998. - 256 с.6. Хан Д. Планирование и контроль: концепция контроллинга: Пер. снем. - М.: Финансы и статистика, 1997. - 800 с.7. Бэстенс Д.Э., Берт В.М. ван дер, Вуд Д. Нейронные сети и финансовыерынки: принятие решений в торговых операциях. - М.: ТВП, 1998.8. Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание,1980.- 64 с.9.

Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. –М.: Наука, 1983. - 416 с.10. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир, 1980. - 456 с.Контрольные вопросы1. Расскажите об эконометрике в России и за рубежом.2. Что такое «высокие статистические технологии»?3. Почему необходима эконометрическая поддержка принятия решений вменеджменте?4. Исходные данные – набор n пар чисел (tk , xk), k = 1,2,…,n, где tk –независимая переменная (например, время), а xk – зависимая (например, индексинфляции). Предполагается, что переменные связаны зависимостьюxk = a tk + b + ek , k = 1,2,…,n,где a и b – параметры, неизвестные статистику и подлежащиеоцениванию, а ek – погрешности, искажающие зависимость.t13x12kk200Таблица 2.Исходные данные для задачи 4.4790233252Методом наименьших квадратов оцените параметры a и b линейнойзависимости.

Выпишите восстановленную зависимость.Вычислите восстановленные значения зависимой переменной,сравните их с исходными значениями (найдите разности) и проверьте условиеточности вычислений (при отсутствии ошибок в вычислениях сумма исходныхзначений должна равняться сумме восстановленных).Найдите остаточную сумму квадратов и оцените дисперсиюпогрешностей.Выпишите точечный прогноз, а также верхнюю и нижнююдоверительные границы для него (для доверительной вероятности 0,95).Рассчитайте прогнозное значение и доверительные границы длянего для момента t = 12.Как изменятся результаты, если доверительная вероятность будетувеличена? А если она будет уменьшена?5.

Как в методе наименьших квадратов используются преобразованияпеременных?Темы докладов, рефератов, исследовательских заданий1. Примеры практического использования эконометрических методов.2. Создание и развитие статистики нечисловых данных в России.3. Разработайте алгоритмы расчета доверительных границ и проверкигипотез для непараметрической модели метода наименьших квадратов в случаелинейной функции одной переменной.4. Докажите, что сумма исходных значений зависимой переменнойдолжны быть равна сумме восстановленных значений.5.

Характеристики

Список файлов книги