Орлов А.И. Менеджмент (2003) (1142166), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Например, параметрыпрогностического индекса меняются вслед за изменением характеристикиспользуемых для прогнозирования величин. Таков метод экспоненциальногосглаживания. В соответствующем алгоритме расчетов значения временного рядаиспользуются с весами. Веса уменьшаются по мере удаления в прошлое. Многиеметоды дискриминантного анализа основаны на применении обучающихвыборок. Например, для построения рейтинга надежности банков можно спомощью экспертов составить две обучающие выборки - надежных и ненадежныхбанков. А затем с их помощью решать для вновь рассматриваемого банка, каковон - надежный или ненадежный, а также оценивать его надежность численно, т.е.вычислять значение рейтинга.Один из способов построения адаптивных эконометрическихмоделей - нейронные сети [7].

При этом упор делается не на формулировкуадаптивных алгоритмов анализа данных, а - в большинстве случаев - напостроение виртуальной адаптивной структуры. Термин "виртуальная" означает,что "нейронная сеть" - это специализированная компьютерная программа. Термин"нейроны" используются лишь при общении человека с компьютером.Методология нейронных сетей идет от идей кибернетики 1940-х годов. Вкомпьютере создается модель мозга человека (весьма примитивная с точки зренияфизиолога). Основа модели - весьма простые базовые элементы, называемыенейронами. Они соединены между собой, так что нейронные сети можно сравнитьс хорошо знакомыми менеджерам, экономистам и инженерам блок-схемами.Каждый нейрон находится в одном из заданного множества состояний.

Онполучает импульсы от соседей по сети, изменяет свое состояние и сам рассылаетимпульсы. В результате состояние множества нейтронов изменяется, чтосоответствует проведению эконометрических вычислений.Нейроны обычно объединяются в слои (как правило, два-три).Среди них выделяются входной и выходной слои. Перед началом решения тойили иной задачи производится настройка. Во-первых, устанавливаются связимежду нейронами, соответствующие решаемой задаче.

Во-вторых, проводитсяобучение, т.е. через нейронную сеть пропускаются обучающие выборки, дляэлементов которых требуемые результаты расчетов известны. Затем параметрысети модифицируются так, чтобы получить максимальное соответствие выходныхзначений заданным величинам.С точки зрения точности расчетов (и оптимальности в том или иномэконометрическом смысле) нейронные сети не имеют преимуществ переддругими адаптивными эконометрическими системами. Однако они более простыдля восприятия. Надо отметить, что в эконометрике используются и модели,промежуточные между нейронными сетями и "обычными" системамирегрессионных уравнений (одновременных и с лагами). Они тоже используютблок-схемы, как, например, универсальный метод моделирования связейэкономических факторов ЖОК [1].Заметное место в математико-компьютерном обеспечении принятиярешений в контроллинге занимают методы теории нечеткости (по-английски fuzzy theory, причем термин fuzzy переводят на русский язык по-разному:нечеткий, размытый, расплывчатый, туманный, пушистый и др.).

Началосовременной теории нечеткости положено работой Л.А.Заде 1965г., хотя истокипрослеживаются со времен Древней Греции [4,8] Это направление прикладнойматематики получило бурное развитие. К настоящему времени по теориинечеткости опубликованы тысячи книг и статей, издается несколькомеждународных журналов (больше половины - в Китае и Японии), постояннопроводятся международные конференции. В области теории нечеткостивыполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных научныхработ, практические приложения дали ощутимый технико-экономический эффект.В работах Лотфи А. Заде теория нечетких множестврассматривается как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем,т.е.

систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку отом, что элементами мышления человека являются не числа, а элементынекоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от"принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен. Внастоящее время методы теории нечеткости используются почти во всехприкладных областях, в том числе при управлении качеством продукции итехнологическими процессами.Нечеткая математика и логика - мощный элегантный инструментсовременной науки, который на Западе и на Востоке (в Японии, Китае) можновстретить в программном обеспечении десятков видов изделий - от бытовыхвидеокамер до систем управления вооружениями.

В России он был известен сначала 1970-х годов. Однако первая монография российского автора по теориинечеткости [8] была опубликована лишь в 1980 г. В дальнейшем раз в годвсесоюзные конференции собирали около 100 участников - по мировым меркамнемного.При изложении теории нечетких множеств обычно неподчеркивается связь с вероятностными моделями. В нашей стране в середине1970-х годов установлено [4,8], что теория нечеткости в определенном смыслесводится к теории случайных множеств. В США подобные работы появились летна пять позже.Итак, при решении задач управления, в частности, контроллингаполезны многочисленные интеллектуальные инструменты анализа данных,относящиеся к высоким статистическим технологиям и эконометрике.3.3.2.

Метод наименьших квадратов для линейной функцииНачнем с задачи точечного и доверительного оценивания линейнойпрогностической функции одной переменной.Исходные данные – набор n пар чисел (tk , xk), k = 1,2,…,n, где tk –независимая переменная (например, время), а xk – зависимая (например, индексинфляции, курс доллара США, объем месячного производства или размердневной выручки торговой точки). Предполагается, что переменные связанызависимостьюxk = a (tk - tср)+ b + ek , k = 1,2,…,n,где a и b – параметры, неизвестные исследователю и подлежащиеоцениванию, а ek – погрешности, искажающие зависимость.

Среднееарифметическое моментов времениtср = (t1 + t2 +…+tn ) / nвведено в модель для облегчения дальнейших выкладок.Обычно оценивают параметры a и b линейной зависимости методомнаименьших квадратов. Затем восстановленную зависимость используют дляточечного и интервального прогнозирования.Как известно, метод наименьших квадратов был разработан великимнемецким математиком К.

Гауссом в 1794 г. Согласно этому методу для расчетанаилучшей функции, приближающей линейным образом зависимость x от t,следует рассмотреть функцию двух переменныхnf (a, b)   ( xi  a (t i  t ср )  b) 2 .i 1Оценки метода наименьших квадратов - это такие значения a* и b*, прикоторых функция f(a,b) достигает минимума по всем значениям аргументов.Чтобы найти эти оценки, надо вычислить частные производные от функции f(a,b)по аргументам a и b, приравнять их 0, затем из полученных уравнений найтиоценки: Имеем:nf (a, b)  2( xi  a (t i  t ср )  b)(1).bi 1Преобразуем правые части полученных соотношений. Вынесем за знакf (a, b) n  2( xi  a(ti  t ср )  b)((ti  tср )),ai 1суммы общие множители 2 и (-1).

Затем рассмотрим слагаемые. Раскроем скобкив первом выражении, получим, что каждое слагаемое разбивается на три. Вовтором выражении также каждое слагаемое есть сумма трех. Значит, каждая изсумм разбивается на три суммы. Имеем:nnnf ( a , b ) ( 2 )(  x i (t i  t ср )  a  (t i  t ср ) 2  b  (t i  t ср )),ai 1i 1i 1nnf (a, b) (2)( xi  a  (t i  t ср )  bn).bi 1i 1Приравняем частные производные 0. Тогда в полученных уравненияхможно сократить множитель (-2). Посколькуn (ti t ср )  0,(1)i 1уравнения приобретают видn x (tinii 1 t ср )  a  (t i  t ср ) 2  0,i 1nxi bn  0.i 1Следовательно, оценки метода наименьших квадратов имеют видn x (tia* i 1n (ti 1ii t ср ) t ср ) 2,b*  xср x1  x 2  ...

 x n.n(2)В силу соотношения (1) оценку а* можно записать в болеесимметричном виде:Эту оценку нетрудно преобразовать и к видуna* ( x i  x ср )( t i  t ср ).i 1n( t i  t ср )(3)2i 1nx ti ia* i 1n1 nxi  t in i 1 i 1.( 4)21 n ti    ti n  i 1 i 1Следовательно, восстановленная функция, с помощью которойможно прогнозировать и интерполировать, имеет видx*(t) = a*(t - tср)+ b*.Обратим внимание на то, что использование tср в последнейформуле ничуть не ограничивает ее общность. Сравним с моделью видаxk = c tk+ d + ek , k = 1,2,…,n.Ясно, чтоc  a, d  b  at ср .Аналогичным образом связаны оценки параметров:c*  a*, d *  b *  a * t ср .Для получения оценок параметров и прогностической формулы нетнеобходимости обращаться к какой-либо вероятностной модели. Однако для того,чтобы изучать погрешности оценок параметров и восстановленной функции, т.е.строить доверительные интервалы для a*, b* и x*(t), подобная модельнеобходима.Непараметрическая вероятностная модель.

Пусть значениянезависимой переменной t детерминированы, а погрешности ek , k = 1,2,…,n, независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым2математическим ожиданием и дисперсией  , неизвестной исследователю.n2В дальнейшем неоднократно будем использовать ЦентральнуюПредельную Теорему (ЦПТ) теории вероятностей для величин ek , k = 1,2,…,n (свесами), поэтому для выполнения ее условий необходимо предположить,например, что погрешности ek , k = 1,2,…,n, финитны или имеют конечный третийабсолютный момент. Однако заострять внимание на этих внутриматематических"условиях регулярности" нет необходимости.Асимптотические распределения оценок параметров.

Изформулы (2) следует, чтоa n1 n1 nb *   ( t i  t ср )  b   e i  b   e i .n i 1n i 1n i 1(5)Согласно ЦПТ оценка b* имеет асимптотически нормальное2распределение с математическим ожиданием b и дисперсией  / n, оценкакоторой приводится ниже.Из формул (2) и (5) вытекает, чтоx i  x ср  a (t i  t ср )  b  ei  b 1 n ei ,n i 1( x i  x ср )(t i  t ср )  a (t i  t ср ) 2  ei (t i  t ср ) (t i  t ср )nne .ii 1Последнее слагаемое во втором соотношении при суммировании по iобращается в 0, поэтому из формул (2-4) следует, чтоn(t i  t ср )a*  a   ci ei , c i  n.2i 1(t i  t ср )i 1(6)Формула (6) показывает, что оценка a * является асимптотическинормальной с математическим ожиданием a и дисперсией2nD ( a*)   ci2 D (ei ) n (ti 1i t ср ).2i 1Отметим, что многомерная нормальность имеет быть, когда каждоеслагаемое в формуле (6) мало сравнительно со всей суммой, т.е.lim max | tnni t ср | /{ (t i  t ср ) 2 }1 / 2  0 .i 1Из формул (5) и (6) и исходных предположений о погрешностяхвытекает также несмещенность оценок параметров.Несмещенность и асимптотическая нормальность оценок методанаименьших квадратов позволяют легко указывать для них асимптотическиедоверительные границы (аналогично границам в предыдущей главе) и проверятьстатистические гипотезы, например, о равенстве определенным значениям,прежде всего 0.Асимптотическое распределение прогностической функции.

Характеристики

Список файлов книги