Орлов А.И. Менеджмент (2003) (1142166), страница 70
Текст из файла (страница 70)
В этом разбиении один кластер {5,6,7}содержит три элемента, другой - {2,3} - два, остальные пять - по одному элементу.Кластеры не имеют общих элементов, а объединение их (как множеств) есть всерассматриваемое множество объектов.Вторая составляющая кластеризованной ранжировки - этострогий линейный порядок между кластерами. Задано, какой из них первый,какой второй, и т.д. Будем изображать упорядоченность с помощью знака < . Приэтом кластеры, состоящие из одного элемента, будем для простоты изображатьбез фигурных скобок. Тогда кластеризованную ранжировку на основе введенныхвыше кластеров можно изобразить так: А = [ 1 < {2,3} < 4 < {5,6,7} < 8 < 9 < 10 ].Конкретные кластеризованные ранжировки будем заключать в квадратныескобки.
Если для простоты речи термин "кластер" применять только к кластеру неменее чем из 2-х элементов, то можно сказать, что в кластеризованнуюранжировку А входят два кластера {2,3} и {5,6,7} и 5 отдельных элементов.Введенная описанным образом кластеризованная ранжировкаявляется бинарным отношением на множестве {1,2,3,...,10}. Его структура такова.Задано отношение эквивалентности с 7-ю классами эквивалентности, а именно,{2,3}, {5,6,7}, а остальные состоят из оставшихся 5 отдельных элементов. Затемвведен строгий линейный порядок между классами эквивалентности. Введенныйматематический объект известен в литературе как "ранжировка со связями" (М.Холлендер, Д.Вулф), "упорядочение" (Дж. Кемени, Дж. Снелл), "квазисерия"(Б.Г.Миркин), "совершенный квазипорядок" (Ю.А.
Шрейдер [3, с.127, 130]).Учитывая разнобой в терминологии, мы ввели термин "кластеризованнаяранжировка", поскольку в нем явным образом названы основные элементыизучаемого математического объекта - кластеры, рассматриваемые на этапесогласования ранжировок как классы эквивалентности, и ранжировка - строгийсовершенный порядок между ними (в терминологии [3, гл.IV]).Следующее важное понятие - противоречивость. Оно определяетсядля четверки - две кластеризованные ранжировки на одном и том же носителе идва различных объекта - элементы того же носителя. При этом два элемента изодного кластера будем связывать символом равенства = , как эквивалентные .Пусть А и В - две кластеризованные ранжировки.
Пару объектов(a,b) назовем «противоречивой» относительно А и В, если эти два элемента поразному упорядочены в А и В, т.е. a < b в А и a > b в В (первый вариантпротиворечивости) либо a >b в А иa < b в В (второй вариантпротиворечивости). Отметим, что в соответствии с этим определением параобъектов (a,b), эквивалентная хотя бы в одной кластеризованной ранжировке, неможет быть противоречивой: a = b не образует "противоречия" ни с a < b, ни с a> b.В качестве примера рассмотрим две кластеризованные ранжировкиВ = [{1,2} < { 3,4, 5} < 6 < 7 < 9 < {8, 10}], C = [3 < {1, 4} < 2 < 6 < {5, 7, 8} < {9,10}].
Совокупность противоречивых пар объектов для двух кластеризованныхранжировок А и В назовем «ядром противоречий» и обозначим S(A,B). Длярассмотренных выше в качестве примеров трех кластеризованных ранжировок А,В и С, определенных на одном и том же носителе {1, 2, 3,..., 10}, имеем S(A,B) = [(8, 9)], S(A,C) = [ (1, 3), (2,4) ] , S(B,C) = [ (1, 3), (2, 3), (2, 4), (5, 6), (8,9) ] . Как приручном, так и при программном нахождении ядра можно в поискахпротиворечивых пар просматривать пары (1,2), (1,3), (1.,4), ...., (1, k), затем (2,3),(2,4), ..., (2, k), потом (3,4), ..., (3, k), и т.д., вплоть до (k-1, k).Пользуясь понятиями дискретной математики, «ядро противоречий»можно изобразить графом с вершинами в точках носителя.
При этомпротиворечивые пары задают ребра этого графа. Граф для S(A,B) имеет толькоодно ребро (одна связная компонента более чем из одной точки), для S(A,C) - 2ребра (две связные компоненты более чем из одной точки), для S(B,C) - 5 ребер(три связные компоненты более чем из одной точки {1, 2 , 3, 4}, {5, 6} и {8, 9}).Каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарноеотношение, можно задать матрицей || x(a, b) || из 0 и 1 порядка k x k. При этом x(a,b) = 1 тогда и только тогда, когда a < b либо a = b. В первом случае x(b, a) = 0, аво втором x(b, a) = 1.
При этом хотя бы одно из чисел x(a, b) и x(b, a) равно 1. Изопределения противоречивости пары (a, b) вытекает, что для нахождения всехтаких пар достаточно поэлементно перемножить две матрицы ||x(a,b)|| и ||y(a, b)||,соответствующие двум кластеризованным ранжировкам, и отобрать те и только тепары, для которых x(a,b)y(a,b)=x(b,a)y(b,a)=0.Предлагаемыйалгоритмсогласованиянекоторогочислакластеризованных ранжировок состоят из трех этапов. На первом выделяютсяпротиворечивые пары объектов во всех парах кластеризованных ранжировок. Навтором формируются кластеры итоговой кластеризованной ранжировки (т.е.классы эквивалентности - связные компоненты графов, соответствующихобъединению попарных ядер противоречий). На третьем этапе эти кластеры(классы эквивалентности) упорядочиваются.
Для установления порядка междукластерами произвольно выбирается один объект из первого кластера и второй из второго, порядок между кластерами устанавливается такой же, какой имеетбыть между выбранными объектами в любой из рассматриваемыхкластеризованных ранжировок. Корректность подобного упорядочивания, т.е. егонезависимость от выбора той или иной пары объектов,вытекает изсоответствующих теорем, доказанных в статье [2]. Два объекта из разныхкластеров согласующей кластеризованной ранжировки могут оказатьсяэквивалентными в одной из исходных кластеризованных ранжировок (т.е.находиться в одном кластере).
В таком случае надо рассмотреть упорядоченностьэтих объектов в какой-либо другой из исходных кластеризованных ранжировок.Если же во всех исходных кластеризованных ранжировках два рассматриваемыхобъекта находились в одном кластере, то естественно считать (и это являетсяуточнением к этапу 3 алгоритма), что они находятся в одном кластере и всогласующей кластеризованной ранжировке.Результат согласования кластеризованных ранжировок А, В, С,...обозначим f(А, В, С,...).
Тогда f(А, В) = [1<2<3<4<5<6<7<{8, 9}<10], f(А, С) =[{1,3}<{2, 4}<5<6<7<8<9<10], f(В, С) = [{1,2,3,4}<{5,6}<7<{8,9}<10], f(А, В, С) =f(В, С) = [{1,2,3,4} <{5,6}<7<{8, 9}<10]. В случае f(А, В) дополнительногоизучения с целью упорядочения требуют только объекты 8 и 9. В случае f(В, С)объекты 1,2,3,4 объединились в один кластер, т.е. кластеризованные ранжировкиоказались настолько противоречивыми, что процедура согласования не позволилапровести достаточно полную декомпозицию задачи нахождения итоговогомнения экспертов.Рассмотрим некоторые свойства алгоритмов согласования. Пусть D= f(А, В, C,...).
Если a<b в согласующей кластеризованной ранжировке D, то a<bили a=b в каждой из исходных ранжировок А, В, C, ... Построение согласующихкластеризованных ранжировок может осуществляться поэтапно. В частности, f(A,B, C) = f(f(A, B), f(A, C), f(B, C)) . Ясно, что ядро противоречий для наборакластеризованных ранжировок является объединением таких ядер для всех паррассматриваемых ранжировок. Построение согласующих кластеризованныхранжировок нацелено на выделение общего упорядочения в исходныхкластеризованных ранжировках. Однако при этом некоторые общие свойстваисходных кластеризованных ранжировок могут теряться.
Так, при согласованииранжировок В и С, рассмотренных выше, противоречия в упорядоченииэлементов 1 и 2 не было - в ранжировке В эти объекты входили в один кластер,т.е. 1 = 2, в то время как 1<2 в кластеризованной ранжировке С. Значит, при ихотдельном рассмотрении можно принять упорядочение 1 < 2. Однако в f(В,C) онипопали в один кластер, т.е. возможность их упорядочения исчезла. Это связано споведением объекта 3, который "перескочил" в С на первое место и "увлек ссобой в противоречие" пару (1, 2), образовав противоречивые пары и с 1, и с 2.Другими словами, связная компонента графа, соответствующего ядрупротиворечий, сама по себе не всегда является полным графом.
Недостающиеребра при этом соответствуют парам типа (1, 2), которые сами по себе неявляются противоречивыми, но "увлекаются в противоречие" другими парами.Необходимость согласования кластеризованных ранжировоквозникает, в частности, при разработке методики применения экспертных оценокв задачах экологического страхования и химической безопасности биосферы. Какуже говорилось, популярным является метод упорядочения по средним рангам, вкотором итоговая ранжировка строится на основе средних арифметическихрангов, выставленных отдельными экспертами [1]. Однако из теории измеренийизвестно [4, гл.3], что более обоснованным является использование не среднихарифметических, а медиан. Вместе с тем метод средних рангов весьма известен ишироко применяется, так что просто отбросить его нецелесообразно.
Поэтомубыло принято решение об одновременном применении обеих методов. Реализацияэтого решения потребовала разработки методики согласования двух указанныхкластеризованных ранжировок.Рассматриваемыйметодсогласованиякластеризованныхранжировок построен в соответствии с методологией теории устойчивости [4],согласно которой результат обработки данных, инвариантный относительнометода обработки, соответствует реальности, а результат расчетов, зависящий отметода обработки, отражает субъективизм исследователя, а не объективныесоотношения.3.4.7. Математические методы анализа экспертных оценокПри анализе мнений экспертов можно применять самыеразнообразные статистические методы, описывать их - значит описывать всюприкладную статистику. Тем не менее можно выделить основные широкоиспользуемые в настоящее время методы математической обработки экспертныхоценок - это проверка согласованности мнений экспертов (или классификацияэкспертов, если нет согласованности) и усреднение мнений экспертов внутрисогласованной группы.Поскольку ответы экспертов во многих процедурах экспертногоопроса - не числа, а такие объекты нечисловой природы, как градациикачественных признаков, ранжировки, разбиения, результаты парных сравнений,нечеткие предпочтения и т.д., то для их анализа оказываются полезными методыстатистики объектов нечисловой природы.Почему ответы экспертов часто носят нечисловой характер? Наиболееобщий ответ состоит в том, что люди не мыслят числами.
В мышлении человекаиспользуются образы, слова, но не числа. Поэтому требовать от эксперта ответ вформе чисел - значит насиловать его разум. Даже в экономике предприниматели,принимая решения, лишь частично опираются на численные расчеты. Это видноиз условного (т.е. определяемого произвольно принятыми соглашениями, обычнооформленными в виде инструкций) характера балансовой прибыли,амортизационных отчислений и других экономических показателей. Поэтомуфраза типа "фирма стремится к максимизации прибыли" не может иметь строгоопределенного смысла. Достаточно спросить: "Максимизация прибыли - за какойпериод?" И сразу станет ясно, что степень оптимальности принимаемых решенийзависит от горизонта планирования (на экономико-математическом уровне этотсюжет рассмотрен в монографии [4]).Эксперт может сравнить два объекта, сказать, какой из двух лучше(метод парных сравнений), дать им оценки типа "хороший", "приемлемый","плохой", упорядочить несколько объектов по привлекательности, но обычно неможет ответить, во сколько раз или на сколько один объект лучше другого.Другими словами, ответы эксперта обычно измерены в порядковой шкале, илиявляются ранжировками, результатами парных сравнений и другими объектаминечисловой природы, но не числами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
