Орлов А.И. Менеджмент (2003) (1142166), страница 75
Текст из файла (страница 75)
о совпадении функций распределения, соответствующих двухсовокупностям [4].Задача может быть порождена также обобщением потребностейряда прикладных областей. Приведенный выше пример иллюстрирует этуситуацию: к необходимости проверки гипотезы однородности приходят и медикипри сравнении двух групп пациентов, и инженеры при сопоставлении результатовобработки деталей двумя способами, и т.д.
Таким образом, одна и та жематематическая модель может применяться для решения самых разных по своейприкладной сущности задач.Важно подчеркнуть, что выделение перечня задач находится внематематики. Выражаясь инженерным языком, этот перечень является сутьютехнического задания, которое специалисты различных областей деятельностидают специалистам по математическому моделированию.Метод, используемый в рамках определенной математическоймодели - это уже во многом, если не в основном, дело математиков.
Вэконометрических моделях речь идет, например, о методе оценивания, о методепроверки гипотезы, о методе доказательства той или иной теоремы, и т.д. Впервых двух случаях алгоритмы разрабатываются и исследуются математиками,но используются прикладниками, в то время как метод доказательства касаетсялишь самих математиков.Ясно, что для решения той или иной задачи в рамках одной и той жепринятой исследователем модели может быть предложено много методов.Приведем примеры. Для специалистов по теории вероятностей и математическойстатистике наиболее хорошо известна история Центральной Предельной Теоремытеории вероятностей. Предельный нормальный закон был получен многимиразными методами, из которых напомним теорему Муавра-Лапласа, методмоментов Чебышева, метод характеристических функций Ляпунова,завершающие эпопею методы, примененные Линдебергом и Феллером.
Внастоящее время для решения практически важных задач могут бытьиспользованы современные информационные технологии на основе методастатистических испытаний и соответствующих датчиков псевдослучайных чисел.Они уже заметно потеснили асимптотические методы математическойстатистики. В рассмотренной выше проблеме однородности для проверки одной итой же гипотезы совпадения функций распределения могут быть примененысамые разные методы – Смирнова, Лемана - Розенблатта, Вилкоксона и др. [4].Наконец, рассмотрим последний элемент четверки - условияприменимости. Он - полностью внутриматематический. С точки зренияматематика замена условия (кусочной) дифференцируемости некоторой функциина условие ее непрерывности может представляться существенным научнымдостижением, в то время как прикладник оценить это достижение не сможет.
Длянего, как и во времена Ньютона и Лейбница, непрерывные функции малоотличаются от (кусочно) дифференцируемых. Точнее, они одинаково хорошо (илиодинаково плохо) могут быть использованы для описания реальнойдействительности.Методологический анализ - первый этап моделирования процессовуправления, да и вообще любого исследования. Он определяет исходныепостановки для теоретической проработки, а потому во многом и успех всегоисследования. Анализ динамики развития методов моделирования позволяетвыделить наиболее перспективные методы. В частности, при вероятностностатистическом моделировании наиболее перспективными оказались методынечисловой статистики [4].3.5.4. Модель управления обучениемВ качестве примера конкретной модели процесса управлениярассмотрим модель распределения времени между овладением знаниями иразвитием умений [12].Любое знание состоит частично из «информации» («чистое знание»)и частично из «умения» («знаю как»).
Умение – это мастерство, это способностьиспользовать имеющиеся у вас сведения для достижения своих целей; умениеможно еще охарактеризовать как совокупность определенных навыков, вконечном счете, умение – это способность методически работать [13, с.308].Пусть x(t) – объем сведений, накопленных учащимся к моментувремени t («чистое знание»), y(t) – объем накопленных умений: уменийрассуждать, решать задачи, разбираться в излагаемом преподавателем материале;u(t) – доля времени, отведенного на накопление знаний в промежутке времени (t;t+dt).Естественно считать, что увеличение x(t+dt) – x(t) объема знанийучащегося пропорционально потраченному на это времени u(t)dt и накопленнымумениям y(t). Следовательно,dx (t ) k1u (t ) y (t ) ,(1)dtгде коэффициент k1 > 0 зависит от индивидуальных особенностейучащегося.Увеличение знаний за то же время пропорционально потраченномуна это времени (1 - u(t))dt, имеющимся умениям y(t) и знаниям x(t).Следовательно,dy (t ) k 2 (1 u (t )) x(t ) y (t ) .(2)dtКоэффициент k2 > 0 также зависит от индивидуальности.
Учащийся тембыстрее приобретает умения, чем больше он уже знает и умеет. Тем быстрееусваивает знания, чем больше умеет. Но нельзя считать, что чем больше онизапомнил, тем быстрее запоминает. На правую часть уравнения (1) влияют толькоприобретенные в прошлом активные знания, примененные при решении задач иперешедшие в умения. Отметим, что модель (1) – (2) имеет смысл применять натаких интервалах времени, чтобы, например, пять минут можно было считатьбесконечно малой величиной.Можно управлять процессом обучения, выбирая при каждом tзначение функции u(t) из отрезка [0; 1].
Рассмотрим две задачи.1. Как возможно быстрее достигнуть заданного уровня знаний x1 иумений y1? Другими словами, как за кратчайшее время перейти из точки фазовойплоскости (x0; y0) в точку (x1; y1)?2. Как быстрее достичь заданного объема знаний, т.е. выйти напрямую x = x1?Двойственная задача: за заданное время достигнуть как можнобольшего объема знаний.
Оптимальные траектории движения для второй задачи идвойственной к ней совпадают (двойственность понимается в обычном дляматематического программирования смысле [14]).С помощью замены переменных z = k2x, w = k1k2y перейдем отсистемы (1) – (2) к более простой системе дифференциальных уравнений, несодержащей неизвестных коэффициентов:dzdw uw, (1 u ) zw .(3)dtdt(Описанная линейная замена переменных эквивалентна переходу кдругим единицам измерения знаний и умений, своим для каждого учащегося.)Решения задач 1 и 2, т.е.
наилучший вид управления u(t), находятсяс помощью математических методов оптимального управления, а именно, спомощью принципа максимума Л.С.Понтрягина [15]. В задаче 1 для системы (3)из этого принципа следует, что быстрейшее движение может происходить либо погоризонтальным (u = 1) и вертикальным (u = 0) прямым, либо по особомурешению - параболе w = z2 (u = 1/3).
При z 02 w0 движение начинается повертикальной прямой, при z 02 w0 - по горизонтальной, при z 02 w0 - попараболе. По каждой из областей {z2 > w} и {z2 < w} проходит не более одноговертикального и одного горизонтального отрезка оптимальной траектории.Используя теорему о регулярном синтезе [15, с.266], можнопоказать, что оптимальная траектория выглядит следующим образом. Сначаланадо выйти на «магистраль» - добраться до параболы w = z2 по вертикальной (u =0) или горизонтальной (u = 1) прямой. Затем пройти основную часть пути помагистрали (u = 1/3). Если конечная точка лежит под параболой, добраться до неепо горизонтали, сойдя с магистрали. Если она лежит над параболой,заключительный участок траектории является вертикальным отрезком. Вчастности, в случае w0 z 02 w1 z12 оптимальная траектория такова.
Сначаланадо выйти на магистраль – добраться по вертикальной (u = 0) прямой допараболы. Затем двигаться по магистрали (u = 1/3) от точки ( z 0 ; z 02 ) до точки( w1 ; w1 ) . Наконец, по горизонтали (u = 1) выйти в конечную точку.В задаче 2 из семейства оптимальных траекторий, ведущих изначальной точки (z0; w0) в точки луча (z1; w1), w0 < w1 < +∞, выбираетсятраектория, требующая минимального времени.
При z1 < 2z0 оптимально w1 = z0(z1 – z0), траектория состоит из вертикального и горизонтального отрезков. При z1> 2z0 оптимально w1 z12 4 , траектория проходит по магистрали w = z2 от точки( z 0 ; z 02 ) до точки ( z1 2 ; z12 4) . Чем большим объемом знаний z1 надо овладеть, тембольшую долю времени надо двигаться по магистрали, отдавая при этом 2/3времени увеличению умений и 1/3 времени – накоплению знаний.Полученное для основного участка траектории оптимальногообучения значение u = 1/3 можно интерпретировать приблизительно так: на однулекцию должно приходиться два семинара, на 15 мин. объяснения 30 мин.решения задач.
Результаты, полученные в математической модели, вполнесоответствуют эмпирическим представлениям об оптимальной организацииучебного процесса. Кроме того, модель определяет численные значения доливремени (1/3), идущей на повышение знаний, и доли материала (1/2), излагаемогона заключительных лекциях (без проработки на семинарах).При движении по магистрали, т.е. в течение основного периодаучебного процесса, оптимальное распределение времени между объяснениями ирешением задач одно и то же для всех учащихся, независимо от индивидуальныхкоэффициентов k1 и k2. Этот факт устойчивости оптимального решенияпоказывает возможность организации обучения, оптимального одновременно длявсех учащихся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
