Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Асимптотически оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала на фоне аддитнвной независимой помехи можно представить в виде Л[у„(х), 7] ~~ с~, (18.75) те йт Рис, 18.8. Схема асимптотически оптимального обяаружителя квазидетерминврованного сигнала иа фоне независимой помехи 18.4.3. Иормальное распределение случайных параметров сигнала. Предположим, что совместная платность вероятности ш(с) случайных параметров сигнала — нормальная с нулевым средним и диагональной ковариациоиной матрицей й!. Вычисляя интеграл (18.74) как свертку нормальных плотностей (см., например, [18, с. 24)), получаем Л [у„(х), 71 = К"7х [бе! (А+ !/йц г)х Х Г 1 Х ехр [ — у„А ' у„— — у„(А+ уз)!А'А(6) — 'у„~ .
(!8.79) Усредненное отношение правдоподобия (18.79) монотонно зависит от статис- тики 1Р[у„(х), т) =у'„А-'у — у'п(А-Ьуз!гА'А(п)-!у . (18.80) При ортонормированных базисных функциях т — <р! (1) ч)а (1) й! = бж. т т Из (187!) и (18.81) следует, что матрица А — единичная, и тогда из (!880) находим ( 18.8!) х тР [Уа (х), 71 = ) У„(х)1а. "+у 1! (!8.82) Асилттотически оптимальный алгоритм обнаружения квазидетериинированного сигнала рассматриваемого вида запишем следующим образом; м т 1 и 1я т1 — [рпь (х))Я = — 2,' ~ 2, фа (!Д/(хг)~ с". !! г ! и!! а=! ) ! 1 (18.83) Из результатов, приведенных в п. 18.4.1, следует, что статистика в левой части неравенства (18.83) представляет сумму квадратов асимптотически иор- 532 Структура каждого канала в этом устройстве подобна структуре, изображенной на рис.
18.1 (см. первые два блока на рис. 18.1 с очевидной заменой в й-м канале сигнала з(!) базисной функцией !ра(!)). Во втором блоке по известному априорному распределению случайных параметров сигнала вычисляется усредненное отношение правдоподобия Л. Третий блок — устройство сравнения с порогом, значение которого определяется в результате решения системы уравнений (18.76), (18.77). Как и в обнаружителе детерминированного сигнала, от распределения помехи зависят характеристика 7(х) нелинейных элементов многоканального устройства и значение порога.
мальных независимых случайных величин с параметрами 0; 1 при гипотезе Н тсь/1п 1 при альтернативе К для фиксированных значений компонент вектора с. Следовательно, зта статистика при п. со подчиняется х'-распределенню с пг степенями свободы при гипотезе Н и нецентральному х'-распределению с ш степенями свободы с параметром нецентральности тзт ~' 1 Гтзт! !Р'(з; ю; тз) = ехр ( — — ) ~ — ( — ) %'(з; гп+ 2!; 0), (18.86) 2 г е Л 2 получаем йтз (г) = ) йг (з; т ; у 1! !/т о) Ф'(о; лт; 0) г(о, о (18.87) где ! о ' йт(о; ат; 0)= ( — ) ехр ( — — ~, о ~ О. (18.87а) 2Г(м/2) т 2 ) 2 Подставляя (18.87а) в (18.87) с учетом (18.86), получаем (тз 1/) ~/~ Г (1+ ш/2) Фь(з)= Х %'(а; а+21; 0). (18.88) г о (у/ (/Т/+ 1) ™зГ(гл/2) Г (!+ 1) Вероятность пропуска сигнала х (ю! р — ) йте(з)л .
е 18.4.4. Асимптотичесни оптимальный алгоритм обнаружения модулированного сигнала со случайной фазой. Рассмотрим сигнал Хз(/) з (/) = а (/) соз(ао/-(-тр (/) — тра (18.90) где а(/), тр(/) — медленно меняющиеся по сравнению с соз юо/ детерминированные процессы. Обозначая гР~ (/) =а(/) соз!юе/ — тР(/)1, грз(/) =а(/) з(п(юо/ — тр(/)), (18.91а) (18.91б) 533 тз(7) =тз1, (с(з при альтернативе К.
Случайная величина (с!з также подчиняется Х'-распределению с тп степенями свободы. Для заданной вероятности а ложной тревоги в (!8.83) с* Хз (пз) (18.85) где Хз (т) — процентная тачка Хз-распределения с гл степенями свободы. а Прежде чем определять вероятность пропуска сигнала, необходимо усреднить плотность ят(г; ьн та) нецентрального Хюраспределения по случайяому параметру нецентральности тз. Используя соотношение (см. (43, задача 8.1 1] ) замечаем, что при случайной начальной фазе уи квазидетермннированный сигнал (18.90) можно представить в форме (18.69) при пг=2. Векторная статистика (18.78) в рассматриваемом случае двумерная и ее компоненты и у„, (х) = — 2, 7 (х,) а; соз (в, 1, — ф), (18.92а) и и у„,(х) = — Х, ~(х,)а, з!п(в,1, — ф,), ~/и (18.926) где а;=-а(1;), Ф=йг;).
(18.92в) Совместное распределение статистик у„1 и у„, асимптотически нормальное с ковариационной матрицей 1тА, причем в соответствии с (18.7! ) элементы матрицы А т а„= 11гп — )' а'(1) соз' [в,1 — ф (1)) 4[1 Ч7, (18.93а) 4 т а,,= !0п — )' а'(1)з1п'[в,( — ф(1)[ФЬЮ', (18.936) т~ Т т а,, = а„= ! !тп — )' аз (1) соз [в, 1 — 1р (1)[ з1п [в 1 — ф (1)[ й ж О, т-1Х 0 (18.93в) где т [р' = !пп — [' а'(1) Ж т-э 2Т 4 (18.93г) — мощность квазидетерминированного сигнала (18.90). Условие (18.93в) означает асимптотическую независимость компонент векторной статистики.
Средние значения этих компонент равны нулю при гипотезе Н, а при альтернативе К (см. и. 18.4.1) ш~ (у~~ [ К7 =71т[[т соз фв ( 18.94а) т1 (у„, [ Ку = 71т [[У зйп <ра. (18.946) Предположим, что фаза уз распределена равномерно на интервале 0,2п.
Тогда совместная плотность распределения параметров с, и с~ [см. (18.91в) и п. 3.1.2! ю(см с,)= В(с,— р'! — с',), [ст[~~1, [с [(1. (!8.95) и У! — из~ Из (18.93а и 6) следует с Ас= Я7созз~рз+ !аз!изара=1[2. (18.96) 534 Подставляя (18.92а, б), (18.95), (18.96) в (18.74), находим усредненное отношение правдоподобия ! ! 1 Л [у„(х), у) = [ ~' 5(с,— )Г! — с',) х — — и T1 — с' х ехр (у с, у„, + у с, у„, — у 1 — ~ дс, Нс, = !г ~ 2 2л = ехр ( — у'1, — ~ )' ехр (у у„, соз ~р+ у у„, з[п ~р) й ~р, 2,) 2п откуда следует Л[у„(х), т) = ехр ( — уз1~К/2) [о(т[у' ~ (х) + уз„з(х) ! н ). (18 97) Так как усредненное отношение правдоподобия (18.97) — монотонная функция статистики [у„(х)[', то асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения рассматриваемого квазидетерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи можно записать в виде ! у„(х)['/(1т Г) = [у'„, (х) + уз, (х))((1! [р) ~~ с', (18.98) где у„~ и у з определены согласно (18.92а и б).
При гипотезе Н статистика в левой части неравенства (18.98) представляет сумму двух асимптотически нормальных случайных величин с параметрами О, 1, которая при п-+.оо подчиняется Х'- распределению с двумя степенями свободы (т. е. экспоненпиальному распределению). Поэтому в (18.98) при заданной вероятности а ложной тревоги порог с* = у~, (2) = — !п а. (18.99) При альтернативе К статистика в левой части неравенства (18.98) при и-э о подчиняется нецентральному Х'-распределению с двумя степенями свободы и с параметром нецентральностн т'=у1тВ' (18.
100) Если г (2, т') — процентная точка указанного распределения, то рабочая характеристика алгоритма (18.98) г~ з(2, 71~)г') = !и(1!а). (18.101) 18.4.5. Структурная схема алгоритма. Из (18.98) следует, что дискретно-аналоговый асимптотическн оптимальный обнаружитель модулированного сигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой на фоне аддитивной независимой помехи представляет некогерентный приемник с двумя каналами (рнс.
18.9), в которых вычисляются суммы (18.92а и б), а затем, как обычно при некогерентном приеме, следуют квадраторы. Выходные сигналы каналов суммируются, а накопленная в конце наблюдения сумма сравнивается с порогом. Рассматриваемая 535 Рис. !В.9. Схема асимнтотичесни оитимального обнаружиталя сигнала со случай- ной фазой структура отличается от структуры обнаружителя сигнала со слу. чайной фазой на фоне аддитивной независимой гауссовской помехи только наличием в каждом нз двух каналов нелинейного безынерционного преобразователя с характеристикой 7(х), зависящей от распределения помехи. 18.5. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОБНАРУ'ЖЕНИН КБАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ КОРРЕЛИРОБАННОЙ ПОМЕХИ 18.6.1. Синтез алгоритма.
Рассмотрим задачу обнаружения квазидетерминированного сигнала ),з(1), где з(1) определяется согласно (18.69), на фоне аддитивной й-связной марковской помехи. Если выполнены условия теоремы 3 (см. п. 17.4.3), то при фиксированном т-мерном векторе с параметров сигнала асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия (при т= 1пп 7.
р'и, у(оо) имеет следующий вид: тз 1п 1 (х" „,) = у с' у„(ха +, ) — т с' В с. (18.102) где т — интервал временной дискретизации. Статистика у„(х ачч) асимптотически нормальна и при гипотезе О, и при альтернативе К Параметры предельного распределения этой статистики равны О, В н ТВс, В при гипотезе и при альтернативе соответственно. 536 где у„(хн. ачч) — векторная статистика с компонентами л е у„, (х",,) = — ~ ~ ~1(х'' ) юр, (1; 1), Е.= 1,т. (18.103) 4/л г=з у=о причем, как и в (18.47), компонента )1 вектора 1 определяется согласно (17.30) Матрица В составлена из элементов Вр, =1 (Аре)г), р, д=1, т, (18.104) где 1г — информационная матрица Фишера 1см. (17.66)1, а эле. менты матрицы Аре ,40 = Вш — ( Ф (1+1т) у ((+)т) й,1,1=0,й, (18.106) ,„т о (18.108) Усредненное по случайным параметрам сигнала отношение правдоподобия [см.
(18.102)) Л [у„(х"„+,)1= .[ ш(с) ехр ~ус'у„(х",,) — т с с ~ дс. (18.106) с Аснмптотически оптимальный алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала на фоне аддитнвной конечносвязной марковской можно записать, использовав решающую функцию Ф(у„) (см.
п. !3.1.2): сигнал присутствует, если Ф[у„(х' о+,) ) =1, Л(у„) )с"; (18.107а) сигнала нет, если Ф[у„(х" лм)) =О, Л(у„) (с". (18.107б) Порог с* и константа у определяются заданными вероятностями а ложной тревоги н 1 — р правильного обнаружении нз системи двух уравнений (2 я) — 1' (де1 В) — Мо [ ) Ф (у) ехр [ — — (у— от [ 2 — у Вс)'  — ' (у — у Вс) и (с) Вудс = 11 ' т 11 — р, у) О. 18.3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
