Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Таким образом, получаем следующую теорему: Теорема 3. При сформулированных условиях имеет место раз- ложение (17.64) логарифма отношения правдоподобия при гипо- тезе Н и при альтернативе К. Распределение логарифма отноше- ния правдоподобия асимптотически нормальное и при гипотезе, и при альтернативе. Параметры предельного распределения равны соответственно — (у'/2)1г[[1! ], у'1г [1[! ] и (уз/2) Х Х1г [[И«], 721г [(;И «].
17.4.4. Расстояние между предельнымн распределениями. Рассмотренные асимптотические свойства статистики логарифма отношения правдоподобия имели место при сближающихся гипотезе и альтернативе, т. е. при сближаю- «цихся вероятностных мерах наблюдаемых выборок, когда сигнала нет и когда сигнал присутствует. Следует, однако, подчеркнуть, что сближаются распреде- ления только выборок, но не статистик логарифма отношения правдоподобия при гипотезе и при альтернативе. Основное условие (17.4), исключшощее син. гулярные решения, влечет за собою конечное «расстояние» между предельны- ными распределениями статистик логарифма отношения правдоподобия при гипотезе и при альтернативе. Мерой такого расстояния может служить вели- чина 17.4.5.
Локальная асимптотическая нормальность. Асимптотнческая нормальность статистики логарифма отношения правдоподобия используется не только при проверке близких гипотез, но н при исследовании статистических оценок (см. 105, гл. 2)]). Пусть Т вЂ” переменная величина, характеризующая длительность наблюдения Хг, представлениога в векторной форме или в форме непрерывной реалиаапии. Обозначим через Р<т<0, вши, нянь, вероитностиую меру на интервале Т, зависящую от параметра 0. Производную Радона — Никодима 1г (Хт ) аг, вз) = г(РОВ!1г( Я! (17.7!) абсолютно непрерывной компоненты Р<т! по Р<г! иа наблюдении Хт на1 зовем отношением правдоподобия (функцноналом отношения правдоподобия).
Семейство мер Р<г! называется локальной асимптотически нормальным в точке 0з!ын при Т , если для некоторой невырожденной матрицы ф(Т, 0») размером йкй н любого тшн" справедливо представление 1п17 (Х! 17, вз) =г<Р0<+1 <г 0 !1!(Р0~ <г! =т' Ат 0. (Хг) — 17)з12+фг(т, йе). (17.72) При Т- со распределение случайного вектора Ат,е сходится по мере Р<г<е 'еч 6 к .нормальному с нулевым средним и единичной ковариационной матрнцей размером йкд а остаточный член фг(т, йз) сходится по той же вероятностной мере к нулю для любого т!ыКК Рассмотренные асимптотические разложения логарифма отношения правдоподобия (для дискретного времени) являются частными случаями разложения (1772). Например, прн а=1. Т=п, 0,=0, !р(Т, О,) =(л1<%',)!Р из (1772) следует (17.58), если положить л Аг 0 (Хг) = (пНРУ») П~ Е з 1(х!) !=1 (п.75) 17.5.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Относительно смещенных ГипОтез 17.5.1. Постановка задачи. В $ 17.4 исследовалось асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия !п((х16) =1п(ги(х(О)/ги(х~О)1 (17.74) в задаче проверки гипотезы Н вЂ” выборка х принадлежит распределению и<(х(О) — против «близкой» альтернативы К вЂ” выборка х принадлежит распределению и<(х)О), где О=уз/'ргл. Рассмотрим теперь асимптотическое разложение статистики (17.74) при смещенных гипотезе и альтернативе: выборка х принадлежит распределению и(х<О) (смещенная гипотеза Н*) или распределению и(х)О) (смещенная альтернатива Ке). 17.5.2.
Независимая выборка. Предположим, что прн гипотозе Н* плотность вероятности и(х10) выборочного значения помехи удовлетворяет условию вида (17.23). Тогда аналогично (17.50) ло- 509 гарифм отношения правдоподобия для независимой выборки по- мехи при условии (17.4) можно представить в виде (пав(х)6) = ~', 1п ~ " и (хг О) л г гг (17,76г где д(х) = — и(х)6))а=а (17.76) и (х/О) д 0 и(х~О) ФО, (17.76а) лп (д (х) ~ Н ) =О, (17.76б) 1з=ги,(дг (х) ~) Н'), О(1з(со. (17.77) Следуя той же последовательности рассуждений, что и в и.
17.4.1, можно получить следующее асимптотическое разложение: 1п!" (х~б) =?У* (х) — (уг?2)1зИ',+г) „(х, 7/3~'и), (1778] где л и, (у„(х) ) Н*) = т, (( (х1) ) Н*) — 2', з, = Уа г=1 00 л ) ? (х) и (х) О) йх — ~ з,. О ~/и г=! Введем вместо у„(х) статистику и у„г(х) = — ~ (з, — з) ?(хг). Уа г-1 (17.8О) (17.81) где Л Х зь. " г-г 510 (17.81а) л у„'(х) =- — Хз;д(хг), ',(17.79) а г=~ (1?.79а) Статистика у*~(х) асимптотически нормальная и при гипотезе Н', и при альтернативе К' с параметрами О, 1зЯУ. и 71зВ'., 1зЯГ, соответственно. Как показано в и.
17.4.1, асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия (17.74) определяется статистикой (17.69). Найдем среднее значение этой статистики при смещенной гипотезе Н', т. е. когда плотность распределения выборочного значения х; равна и(х(О): Тогда очевидно т,(упо(х) ~Н*) =О. Дисперсия статистики (17.81) при гипотезе Н' и р, (упо (х)! Н") = р, (/ (хИ Н*) — Х (з; — з) = 1ао Я7апо, " к=ю где 1т„— — (оо(/(х)!Но) = 1" /о(х) и(х)0) Их— Г аа то — ~ ( /(х) и(х)0) бх~, и а и ууапо = Х (За з) Х за п л Ковариация статистики у „(х) н у„о(х) при гипотезе Н" т,(у„(х) упо (х)~Но) =т, ~ — 2; э~у(х,) Х ~ л х Х (з — ')/(хзИН*'(= — Х Х 60 х /=1 о 11=! х т,(а(х) /(хгИН*) з;(зт — г). Следовательно, т,(у*„(х)у о(х)) =тогФа„„ где (17.816) (17.82) (17.83) (17.84) (17.85) тоа =т,(у(х)/(х)~Но) = )' д(х)/(х)и(х~0)дх. (17.86) Для вектора с компонентами (у„о(х), 1п1*(х~б)) выполняются условия двумерной центральной предельной теоремы.
Поэтому при гипотезе Н* предельное распределение этого вектора — нормальное, с параметрами: средние значения компонент О, — (то/2)1оР'„ковариационная матрица Ко (1аи (рао Ттду )пао~ (17.87) ~7тог 1г', 7'1о )г, / где 1Р„= 1пп Я7„.
(17.87а) и аа Можно показать (см. [42, с. 2631), что и при альтернативе К* статистика у„о(х) асимптотически нормальна с параметрами 7ти1(гао, 1ги(гао. 17.5.3. Независимая последовательность векторных выборок. Результаты п. 17.5.2 обобщаются на независимую последователь- зы ность векторных выборок. Используя обозначения п. 17.4.2 и сформулированные там условия, запишем аналогично (17.62) 1п1*(х", ~Ю) =7'у*„(х"',) — 7'В*у/2+т1 (х"ь 7/) гл), (17.88) (17.88а) Компоненты вектора у* (х"~): л у„;(х7) = 2) зыдг(х,), 1= 1, г, (17.89) где 1 д дг(х;) = — — — и(х;16)1о о, 1'= 1, г, и (х1!О) дог т,(д1(Х;)!Но) =-О, 1= 1, Г, 1 =1, и . (17.89а) (17.896) Статистика т'у*„(хо,) асимптотически нормальна с нулевым средним и дисперсией у'В*7 при гипотезе Н', и со средним у'В*7 и той же дисперсией при альтернативе К .
Элементы матрицы В размером гХг В*;,=а;1*О, (17.90) т, (у„, (х~)~Н*) ==- т, (/1(х,)~Н") — 2; зот = о 1=О л = ~'/1(х) и(х10) бх — ~, 'зсн х 1„,..,,';Го. )/и 1=1 (17.91) Введем центрированные статистики ! л уото(х!)=: Х (згт зт)/1(х') /= 1 о 1=ь (17.92) где л зт= Х зль о (17.92а) Тогда (17.926) т1(уозо(х"1) ~Н*) =О.
512 где ЯО определены согласно (17.60), а величины 1*О получаем из (17.27) заменой функции / на функцию д. Статистйка (17.88) также асимптотически нормальна и при гипотезе Н*, и при альтернативе К* с одинаковыми дисперсиями, равными у'В*у, и со средними значениями — 7'В*7/2 при гипотезе Н" и 7'В*у/2 прн альтернативе К*. Найдем среднее значение статистики (17.68) при гипотезе Н'> Ковариация статистик у зз(хл1) и у зз(хл1) при сочн. (улзз (х7) улез'(х",)) = и л — 2„2; (зы — зз) (зц, — зч) сочн.
Дз(х,) Ц (х„)). Л 1=1З! Так как х» и х» при (чьй независимы, то сочи Ь(хг)1ч(хл)) =бззпзз, где оз — — сочн. (77 (х) 7з(х)) )' 71(х) 7 (х) и (х(О) див х - )' Гз(х) и(х10) дх )" Гч(х) и(х10)дх. х х Подставляя (17.94) в (17.93), получаем СОЧН (Улзз (Хл,) Улзо (Хл~) ) =азч ЯЗЗ вЂ” ЗЗЗ1). Ковариация статистик у*л1(хл,) и у зз(хл,) при сочн (У„г(х~) У„ч,(х~)) = л л = — ~', 2', зы(з1, — зч)сочи (уз(х,)7ч(лз)). л Далее сочн* (93 (х1) 1, (хд) ) =Ьмчзз.
где чм сов н (я7 (х) гч (х) ) ~ яз (х) гд (х) и (х 1 О) бх х гипотезе Н (17.93) 117.94) (17.94а) (17.95) гипотезе Н* (17.96) (17.97) (17.97а) (17.99) Подставляя (17.98) в (17.96) и учитывая (17.896), находим (у* (")у. (")= ьт(а. а.уз). (17.98) Можно доказать (см. [561), что векторная статистика улл(хл~) с компонентами (17.92), при гипотезе Н* асимптотнчески нормальная с нулевым вектором средних и ковариационной матрицей, элементы которой определены в (17.95), будет также асимптотнчески нормальной и при альтернативе К* с той же ковариационной матрицей и вектором средних 7'Я, где Х вЂ” матрица с элементами, определяемыми согласно (17.98).
17.5.4. Многосвязная марковская последовательность. Предположим, что переходная плотность вероятности и(х1у, Ф) многосвязной марковской последовательности удовлетворяет условиям, указанным в и. 17.2.3. Тогда аналогично (17.64) асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия л 1пГ"(х" з+1 ~9) = — — ~, 'й'(х~ з)з1 з— )/л г-~ — — '* 1г(()1,)+ 1„( х"...
— ч'1, 17 — 87 у„(х) — 2„Я'(хс в) зс в с с )Сл с=с (17.102) асимптотически нормальна и при гипотезе Н, и при альтернативе К* с паРаметРами О, 1г(Щ] и 7(г[1)!г1, 1г(11!в) соответственно 'асм. п. 17.4.3). Среднее значение статистики (17.68) при гипотезе Н' л Й т,(ув(х)!Нв) = — 2; ~ т,()с(хс в)!Нв)зс Ул с-с с-с (17.103) Введем также цеитрированную статистику у в(х) =у„(х) — тс(у„(х) !Н*). (17.104) Дисперсия статистики у„(х) при гипотезе Н" ив (у„(х) ~ Н') = тс (у' (х) ~ Н') — т'с (у„(х) ) Н*).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
