Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Предположим, что средние значения сигнала и помехи равны нулю, а дисперсии сигнала и помехи известны и равны соответственно ог, и ог. Если х(г) и у(() — процессы, наблюдаемые в первом и во втором каналах, то в отсутствие сигнала (гипотеза Н) Рис. (бль Схема оптимального двухканального обнаружители гауссовского сигнала (16.546) х„— х, а=У2пола/ол. (16.57) 16.2.2. Коррелятор. Для обнаружения гауссовского сигнала на фоне аддитивной независимой гауссовской помехи вместо опти- 16* або Из (16.52) следует оптимальное по критерию Неймана — Пирсона правило обнаружения сигнала: сигнал присутствует, если ~ (х, + у,)в ) с, (16.53) (-! и сигнала нет, если выполняется неравенство, обратное (16.53). Схема обнаружителя, реализующего алгоритм (16.53), представлена на рис.
16.4. При гипотезе Н статистика в левой части (16.53) асимптотически нормальна с параметрами т ~ 2;(х, + у,)*)Н = 2поа, (16.54а) ( и 1(г ~ Х (х + у() ) Н1 = 8пс' ° ( ! Тогда при фиксированной вероятности а ложных тревог и п»1 находим в алгоритме (16.53) порог с=ох~ 8л(х,„+)('и/2), (16.54в) где хм — процентная точка нормального распределения. При альтернативе К статистика в левой части (16.53) также аснмптотически нормальна, причем ( л )х ( ьт)нк)-т ('ь(с! (16 55а) ( ! и при условии оа,«о' (слабый сигнал) р 2; (х,+у,) )К вЂ” 8поа.
1(=! Тогда вероятность пропуска сигнала ~ = Р (х„— )Г2п оаа(оа) (16.56 'и, следовательно, при п» 1 асимптотическая рабочая характеристика рассматриваемого оптимального обнаружнтеля гауссовского сигнала мального алгоритма (16,53) можно использовать алгоритм, согласно которому принимается решение о наличии сигнала, если л 2;х! у, с.
(16.58) с=! Статистика в левой части (16.58), представляющая корреляционную сумму, асимптотически нормальна с параметрами г л ! н т, [ ~ х! у!~ Н~ = О, т, ~ ~ х! у!~К = л о,', !=1 !=! л п р, ~;х!у!(Н =р, ',~ х!у!~К =-по'. п,<<о . !!=! !=! (16.59а) (16.596) Используя (16.59а и б), находим при л»1 в алгоритме (16.58) порог с = а )!гп х„ (16.60) н вероятность пропуска сигнала (при а~,»о') () = Р (х„— 'к'и о,'/о'), (16.61) — — 1! !!2 т, г(х, у)= ~(х! — х)(у,— у) / ~ 2;(х! — х)' 2;(у! — у)э~ с, !=! к=! !=1 те (16.63) где л У= ЕУ! и П х= — ~хо Л !=! Можно показать (см.
[50), теорема 4.2.6), что статистика г асимптотически нормальна со средним г и дисперсией (1 — г')э/л. 484 откуда следует, что асимптотическая рабочая характеристика обнаружнтеля (коррслометра) хя х! — в )глоб о~ (16.62) Заметим, что параметр рабочей характеристики (16.62) в )Г2 раз меньше параметра рабочей характеристики (16.57), т. е. КАОЭ коррелометра по отношению к оптимальному обнаружителю равен 0,5. Когда средние и дисперсии гаусовских сигнала и помехи неизвестны, задача обнаружения сигнала формулируется как задача проверки гипотезы Н о том, что при произвольных значениях средних и дисперсий сигнала и помехи коэффициент корреляции г процессов х(1) и у(1) равен нулю против альтернативы К, что г)0 Оптимальное несмещенное правило обнаружения предписывает в этом случае сравнение с порогом оценки максимального правдоподобия коэффициента корреляции (см.
(50, $ 4.2)) Тогда в алгоритме (16.63) при а~1 и фиксированной вероятноети а ложных тревог с =х„/ф' л. (16.64) Асимптотическая рабочая характеристика при г'(е31 (слабый сигнал) имеет вид хв — х! а=с~а. (16.65) Ясно, что при х=у=О и известных дисперсиях (16.63) переходит в !(16.58), а (16.65) — в (16.62). 16.2.3. Коррелятор совпадения полярностей. Предположим, что плотности вероятностей центрированных сигнала и помех описываются функциями, симметричными относительно начала координат, и что известны дисперсии сигнала и помех и четвертые центральные моменты распределения помех. Плотности вероятностей помех в первом и во втором каналах и плотность вероятности сигнала обозначим соответственно через вц(х), вм(х), в!,(х) дисперсии помех и сигнала — и'!, огм пг,; четвертые центральные моменты помех — р4!, 1!4ь Задача обнаружения стохастического сигнала состоит в проверке гипотезы Н о том, что наблюдаемые в канале процессы х(1) и у(1) независимы, т.
е. что их совместная плотность распределения в совпадающие ~моменты времени вг(х, у~Н) =вц(х)вм(у), (16.66) против альтернативы К, что эта плотность равна вг (х, у! К) = )'в„(х — г) в„(у — г) в„(г) !(г. (16.67) Подынтегральная функция в (16.67) представляет совместную трехмерную плотность вероятности независимых аддитивной помехи и сигнала. Для обнаружения стохастического сигнала на фоне аддитивных независимых помех (при указанных предположениях) используем следующий знаковый алгоритм: принимается решение, что присутствует сигнал (отвергается гипотеза Н), если ~; зяпх! зяпу,) с,. (16.68) 1=1 Предполагается, конечно, что компоненты векторов наблюдений х и у независимы.
Алгоритм (! 6.68) соответствует коррелятору совпадения полярностей (называемому иногда просто полярным коррелятором, рис. 16.5). Учитывая связь функций здпх и и(х), можно алгоритм (16.68) переписать в виде л Х и (х, у!) ) с. (16.69) ! ! 488 Рис. 1б.б. Схема коррелятора совпадения по- лярностей Сумма (16.69), равная числу совпадения знаков наблюдений в каналах, подчиняется биномиальному закону с параметрамы (и, 1/2), если справедлива гипотеза Н, и с параметрами (л, р), если справедлива альтернатива К, причем р= Р(х) О, у)0)+Р(х(0, у(0) = )'Р„(г) Р„(г) в„(г) а(г+ ] (1 — Р„(г)] (1 — Р„(г)] в„(г) с(г - — + 2 5 ~Р '(г) — — ~ЙР (г) — — 1 вт.
(г) с(г. (16.70) (16.71) При использовании алгоритма (16.69) вероятность ложной тревоги .- !яоааа~ ~я]= з Формула (16.71), которая не отличается от (13.!77), позволяет найти постоянное значение порога с в (16,69) для любых симметричных плотностей вероятностей помех и сигнала. Иными словами, порог, устанавливаемый в ~полярном корреляторе, прн заданной вероятности а совпадает с порогом, устанавливаемым в знаковом обнаружителе постоянного сигнала. Таким образом, при указанных ограничениях коррелятор совпадения полярностей представляет непараметрический обнаружитель стохастического сигнала на фоне аддитивных независимых помех. При п))1 статистика в левой части (16.69) аснмптотическы нормальна со средним лр и дисперсией пр(1 — р), причем р=!/2 при гипотезе Н, Порог с в (16.69) в этом случае определяется по формуле (13.179а), а рабочая характеристика алгоритма — по формуле (13.181), где р вычисляется с помощью (16.70).
Пры слабом сигнале оя. « оа1+ ать Из (16.70) находим р = 1/2+ +2ае,вн(0)вм(О), и тогда асимптотическаЯ РабочаЯ хаРактеРистика коррелятора совпадения полярностей х — х~ з= 4а.'™„(0) в„(0) г''л, (16.72) 16.2.4. Относительная эффективность коррелятора совпадения полярностей. Определим КАОЭ алгоритма (16.69) по отношению к алгоритму (16.53) обнаружения стохастического сигнала, оптимального при нормальном распределении сигнала и помех Предположим, что алгоритм (16.53) используется при произволь- 486 иых симметричных плотностях распределений сигнала и независимых аддитивных стационарных помех. При гипотезе Н (сигна- ла нет) и ,(х!*,4„,г!о(- !ч-~ !!, 4=! л „, (з!*,~„,!!н~ —.!„„4р„-;44Ч-и — а.
! 1 а,.при альтернативе К (сигнал присутствует) л ~,(з!* '-4г!4) ! !4 !44ч)л 4-! 4 4 а )4 1 2';(х,+у!) (К) =р ( ~',(я!+у!) (Н, от<<аз+ох. 4-! 4~! (16.73а) (16.736) (16.74а) (16.746) т. е. коррелятор совпадения полярностей в этом случае существенно уступает по эффективности оптимальному обнаружителю стохастического сигнала. Однако при лапласовских помехах (см. п. 13.8.7) н!э!!(О) = =ад!!(О) = (2о~) — ', !44!=!444=6о4 и р=14о4/(2от)'=3,5. (16.786) Для помех, распределенных равномерно на интервале (х(«о)ГЗ, 4аэ!!(О) =и!э!4=(12о!)~!, !44!=Рм — — '19о4/5 и р = 19о4/5 (12оэ) ! =! 9/720 = 0,03, (16.78в) т.
е. в этом случае эффективность коррелятора совпадения полярностей по сравнению с оптимальным мизерная. 4В7 Статистика в левой части (16.53) асимптотически нормальна с параметрами, определяемыми согласно (16.73а, 6). Тогда при а>! и заданной вероятности а ложных тревог порог с= х„1/п(р„+ )4„+ 4оЯ вЂ” о4, — о4)на + и (о', +оээ), (1675) а асимптотическая рабочая характеристика х„ — х! а = 4о,' $' а ()44! + р„ + 4о~! ох~ — о', — о~э) '!'. (16.76) Для гауссовских помех !44!=!44х=Зо4 при о! — — 'ох=о, и формулы (16.75), (16.76) совпадают с (16.54) и (16.57) соответственно.
Из (16.72) и (16.76) непосредственно следует (как из сопоставления многих аналогичных соотношений) выражение для КАОЭ коррелятора совпадения полярностей по отношению к обиаружителю, оптимальному при гауссовских помехах: р = 4э'! ! (О) и!~!! (О) (!44!+ !444+ 4о~!47а — о4! — о4а) . (16.77) Если распределение помех ног!мальное с одинаковыми дисперсиями, то в~!!(О) =и!'!э(0) =(2яо ) ', !44!=!444=3о~ и р = 8о4/(2яат) ' = 2/я!, (16.78а) Наконец, для помехи в виде синусоиды со случайной фазой (см, п.
138.7) и'!4(0) =и!'4з(0) =(2лэо') ', 1444=144з=3о4/2 н р = 5а4/(2лзоз) з = 5/(4лэ) = 0,01. (16.78г) Если п44(0) =О, т. е. если плотность вероятности помех равна нулю в начале координат (мультимодальные, симметричные распределения), то из (16.77) следует р=О. Используя (16.62) и (16.76), находим КАОЭ коррелятора совпадения полярностей по отношению к обычному коррелятору р= 16о44сз4! (0)'и!444(0). (16.79) Из (16.79) следует, что при гауссовских помехах р=0,4, а при лапласовских р=4. 16.2.5. Ранговые алгоритмы обнаружения стохастического сигнала. Пусть х= (х!, ..., х ) и у= (у!, ..., у„) — выборки наблюдений в двух каналах н пусть л=(Д!, ...,Я„) и (4=(Я!, ..., Я )— ранговые векторы этих выборок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
