Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Предполагается, что ширина полосы пропускания додетекторного усилителя много болыпе ширины спектра принимаемого сигнала. 15.5.2. Оптимальный дискретно-аналоговый амплитудный алгоритм обнаружения. Рассмотрим задачу синтеза оптимального правила выбора решения о наличии или отсутствии сигнала по реализации огибаю1цей наблюдаемого процесса, представляющего либо стационарную узкополосную гауссовскую помеху (гипотеза Н,), либо сумму этой помехи и детерминированного узкополосного сигнала з(1) =а(1)соз(шог — зр.(г)1 (гипотеза Н~). Вероятностные характеристики этих процессов приведены в гл. 10.
Используя указанную там терминологию, можно рассматриваемую задачу сформулировать так: проверяется гипотеза На, что наблюдаемая огибающая является рэлеевским процессом, против альтернативы Нь что она — обобшенный рэлеевский процесс '. Следуя общей методике, необходимо в качестве наблюдаемых координат огибающей принять некоррелированные величины г га т' ЛвХ г(")грв() П" (15.154) о где г(1) — реализация огибающей иа интервале наблюдения (О, Т), Ха и гра(г) — собственные числа и собственные функции интегрального уравнения г р(1)=).~ Вв(п — 1)<р(у) ~(д, 0((~У", (15.155) о Вв(т) — известная корреляционная функция огибающей помехи. ' Заметим, что распределение огибающей суммы квазидетерминироваиного сигнала со случайной фазой и нормального шума также обобщенное рвлеевское (см.
и. 10.2.!). 454 ., = ( — ) тг(1) (!, т па а1п (т Ь вЂ” и А) "оа о гА — мй (15.156) где Йо — спектральная плотность шума. Кроме того, предполагаем, что время наблюдения Т»1/Л. Г' Д та!п(!Л-яй) Г пй ) Так как при Л-~-оо функция ( — ) -+.6 ! г — — ), то, ~ ° ) —.й ( Л)' учитывая принятое условие ТЛ»1, нз (!5.156) получаем гд — -( ) г( — ), (15.157) или ге= Еа/а, (15.158) где ох=йоЛ/и — дисперсия помехи, Еа=г(тс/с/Л) — выборочное значение огибающей при /=том/Л.
Таким образом, в качестве наблюдаемых координат приняты выборочные значения огибающей через равные интервалы времени и/Л. Причем эти значения приближенно можно считать некоррелированными. Так как из некоррелированности значений огибающей гауссовского случайного процесса следует их статистическая независимость (см. п. 10.2.2.), то некоррелированные координаты га представляют независимые случайные величины. Ограничиваясь первымц Лг координатами, нетрудно записать функции правдоподобия выборки г(гь ..., гм) для двух указанных выше гипотез !см. (10.56) и (10.57)) М у ))Р(г)Н,)= ПгаехР~ — — "), гд)0, 2, (15.159) ' Такай упрощенный подход беа достаточно строгих обосноааний бып единственным н ранних работах по статистической теории обнаружении сигнадоа (см., например, !49)).
455 Для того, чтобы найти функцию распределения случайной величины гх согласно (15.154), необходимо решить одну из самых сложных задач теории случайных процессов (см. п. 7.3.1): определить распределение процессов на выходе линейной системы, когда распределение процесса на ее входе отлично от нормального (в рассматриваемом случае его распределение рэлеевское).
Случайные величины гю 6=1,2, ..., не являются ни гауссовскими, ни рэлеевскими, и из их некоррелированности не следует независимость. Вычислить отношение правдоподобия для выборки гь ..., гм трудно. Поэтому отойдем от приведенной точной поста- ловки задачи и ценой некоторых допущений упростим задачу '.
Допуская, что энергетический спектр помехи равномерный в полосе Л, представим наблюдаемые некоррелированные координаты огибающей в виде ( гав+ паз)1 11'(г~Нз) = Пг„ехр ~ — а ~1 (гааа); га)0, (15.160) а-1 2 Ф т, )1м(г) = 2„'аз г' ж с. в=! та Таким образом, алгоритм обнаружения в рассматриваемом случае сводится к вычислению взвешенной суммы квадратов независимых выборочных значений огибающей и сравнению ее с порогом, зависящим от выбранного критерия и априорных характеристик сигнала и помехи. При больших размерах выборки (1т'» 1) и слабом сигнале (гпахаа«1) статистика 11н(г) асимптотически нормальная. Параметры нормального распределения находим, используя извест- (15.164) где па=а(зсл/Л)/и, (15.161) представляет отношение амплитуды сигнала (в момент времени 1=пй/Л) к среднеквадратическому значению помехи.
Из (15.154) и (15.160) находим логарифм отношения правдоподобия 1п1(г) = 2„'!п1,(геав) — — 2, 'ат. (15.163) 2 Оптимальный дискретно-аналоговый амплитудный алгоритм обнаружения детерминированного узкополосного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи предписывает сравнение статистики (15.162) с порогом.
Однако определить функцию распределения статистики (15.162), а следовательно, и вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения в замкнутом виде невозможно. Поэтому аналитическое исследование вероятностных характеристик указанной статистики продолжим для слабого сигнала, когда тахаа«1, и сильного сигнала, когда ппппа»1. Иса в следовать общий случай можно путем статистического моделирования алгоритма на ЭВМ. 15.5.3. Оптимальный амплитудный алгоритм обнаружения слабого сигнала. Разложим функцию !п1о(глав) в степенной ряд, пренебрегая членами, содержащими степени а'а и выше ': 1и 1а(таад) т г'лаза(4, (15.163)' Тогда в соответствии с (15.162) для слабого сигнала оптимальный дискретно-аналоговый амплитудный алгоритм обнару- жения ' Разложение в ряд и сделанное приближение должны интерпретироватьзя в вероятностном смысле.
466 (15. 165в) (!5.166) ные распределения случайных волнчин г» при гипотезе Н, и альтернативе Н, (см. (15.159) и (15.160), а также п. 3.2.41: т!(Рл(г)!Н,) =',~ а'т!(г'~Н,) =2 ~', а'„, (15. 165а) »-! ь=! л!!(йл(г)!Н!) =',~ а'т,(г11Н!)= 2'; а~~(2+а~!), (15.!656) ь=! »-! р ()7л(г)~Н ) 2 а49 (г~~(Н«) =4 2; а4 »-! »=! р,(йл(г))Н!)= 2; а)п,(г'„(Н!) 4 ~ а',(1+а,'). (15.165г) »1 Ф-! Введем величину «расстояния» между статистиками Рн(г) при гипотезе и алтернативе (с точностью до малых величин порядка а"!): т! (Рл(Н!) — л!!Он~Но) ! н '!!ж 8н— -~Х~~ Тогда порог с в (15.164) для критерия Неймана — Пирсона н рабочая характеристика алгоритма определяются по формуле 16.48) и (15.49), в которых величина дн заменяется величиной л. Из сравнения (15.166) с (15.47) следует, что ухудшение рабочей характеристики последетекторного амплитудного алгоритма обнаружения (15.164) по сравнению с рабочей характеристикой алгоритма (15.49) (амплитудно-фазового) связано с тем, что в первом случае параметр 5'и представляет сумму четвертых степеней отношений сигнал-помеха [см.
(15.166)1, а во втором параметр !('!г представляет сумму квадратов этих отношений. 15.5.4. Оптимальный амплитудный алгоритм обнаружения сильного сигнала. Для сильного сигнала, т. е. при пипа»'л»1 нз '(15.162), используя асимптотическое разложение функции Бесселя (см. п. 3.2.3), находим следующее выражение для оптимального алгоритма: т, Рл (г) = ~, 'а, г„с. (15,167) ь=! У~ В отличие от от (15.164) в рассматриваемом случае статистика 77л(г) — линейная, т. е.
представляет линейную комбинацию независимых выборочных значений огибающей наблюдаемого процесса. Алгоритм (15.167) реализуется при помощи линейного цифрового фильтра. Прн А!>)1 и сильном сигнале статистика Рн(г) асимптотически нормальная. Параметры нормального распределения можно найти по аналогии с (15.165а — г).
При указанных условиях «расстояние» между статистиками )гн(г) при гипотезе и альтерна- тиве !(л ~, 'п~ ( <х). (15.168) 457 (15. 170) ш (Π— ф ! Н,) = П $ — ехр ~ — — о(+ о=~ 2л 2 1 + = ао соз (0„— "то) г [а„соз (бо — "т'„)) х Величина дн является параметром рабочей характеристики обнаружения и так же, как в (15.50), равна квадратному корню из суммы квадратов отношений сигнал-помеха.
15.5.5. Оптимальные аналоговые амплитудные алгоритмы обнаружения. При условии ТЛ»1 (см. п. 15.5.2) сумму (15.164) можно приближенно заменить интегралом и сформулировать таким образом оптимальный амплитудный аналоговый алгоритм слабого сигнала: )" то(!)ао(!)су~ с. (15.169) о те Из (15.169) следует, что элементами оптимального приемного устройства прн амплитудном методе обнаружения слабого сигнала являются квадратичный детектор и коррелометр. При том же условии ТК»1, заменяя сумму (15.167) интегралом, находим оптимальный амплитудный аналоговый алгоритм обнаружения сильного сигнала т Ъ !" т(!) а(!) а! с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
