Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 87
Текст из файла (страница 87)
ка х=(хь..., кл) представляет только помеху, я альтернатива Ню — что ивблюдземзя выборка х представляет смесь сигнала (8) с помехой. Докзззтюь что обобщенное отношение правдоподобия в рассматриваемой задаче имеет внд Л(х) =зрг(х[а)ш„(а)ба, (9) в (8) где Цх[а) = р(а'у — а Ва(2), у=х'М-'Ф', В Ф'М-'Ф (!0) (11) н Ф вЂ” прямоугольная матрица размером шКН с элементами юрг(гю), 1= 1, ЛГ, ( 1, т. Сравнить (10) при и=! с (15.24). 16.6.
В условиях задачи (15.5) предположить, что ! Ым(а) = (2ГГ)- ж(бс! С)-МЮЕХр[ — — (а — аз)'С '(а — аз)1, (!2) 2 и доказать, что при условии (12) формула (9) преобразуется к виду ! 1 Л(х) = [бе! С/бе!(В+С-')1нюехр[ — у'В 'у — — (у — Ваю)'(В+ 2 2 +В'С-'В)- (у — Ва )). у кз з зине: представить !(х(а) в виде 1 1 1 (х ! 6) = ехр ~ — у'  — ' у — — (у — Ва) '  — ' (у — Ва)1 [ 2 2 (13) (14) и вычислить свертку двух нормзльных рзспределений, учитывая симметричность матрицы В.
15.7, Вычислить усредненный функционал отношения правдоподобия (15.133) для случая, когда плотность вероятность фазы равна юю (юрю) = [2п!ю(а) ) 'ехр [а соз(5 †ю) ), )юрю) ( и 469 где с=(4Хю(Т))п(1)а) [ср. с (15.150)1. Доказать, что вероятность правильного обнвружения и вербятность ложной тревоги связаны соотношением 1 — () = юхан!! +~ 1, ю(ю = ох Т7(2!юю). (7) 15.5. Исследовать оптимальный алгоритм обнаружения нз фоне здднтивной гауссовской помехи с нулевым средним и корреляционной мзтрицей М квззидетерминировзнного сигнала общего вида к показать, что г А(а(1)] 12п!з(а)]-'е г !з(ит), (15) где /(гт=ггг+аг+2агг соз(фт — Ь).
Убедиться, что прн а=о (равномерное распределенне фазы) формула (15) совпадает с (!5.!34), Доказать, что величина Нт прн гипотезе Н, подчнняется обобщенному распределению Рэлея. 15.8. Показать, что вероятность правильного обнаружения сянусондального сигнала постоянной амплитуды аз прв ал/аЪ 1, когда используется алгоритм (!5.!85), может быть определена по формуле 1 — (»=Г((Н вЂ” 1)/2, ]' 2/(Н вЂ” 1) (аю/о)г(Н вЂ” с)]/Г((Н вЂ” 1)/2], (16» где Г(лг, г) — неполная гамма-функция н порог с определяется заданной вероятностью а ложной тревоги. 15.9.
Доказать, что оптимальный по критерию Неймана — Пирсона амплнтудно-фазовый дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения узкополосного сигнала з(1) =о(г)соз соз!+ь(г) а!и юзг на фоне адднтнвной, центрнрованной узкополосной помехи, спектр которой симметричный отяосятельно частоты мз, имеет внд тз а'К вЂ” 'х-1-Ь'К вЂ” 'уьвс, (17) тз — (с и ) дг=а(б) Ь =КЬь ....Ьч), Ьг Ь(Н) х (хг ° и) х =х(! ), у'=(уь..., у ), уз=у(б), х(/), у(/) — квадратурные составляющие наблюдаемой реализации узкополосного случайного процесса, К вЂ” общая коварнацнонная матрица выборок х н у, причем прн гяпотезе Нз (сигнала нет) юг (х,х ) = юг (у уг) = В Ц вЂ” Гз) =Вт (Н вЂ” Н), где В (т) =В„(т) — корреляционные функции квадратурных составляющих. Глава 16 НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ 16.1. НЕНАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ОБН АРУЖЕНИ11 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНЫХ ПОМЕХ 16.1.1.
Постановка задачи и априорные данные. В гл. 15 была изложена теория синтеза и анализа оптимальных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне аддитивных гауссовских помех. Эти алгоритмы становятся неоптимальными, если предположение о нормальном распределении вероятностей помех не вы- 470 полняется. Представляют практический интерес алгоритмы обнаружения сигналов в условиях непараметрической априорной неопределенности, когда класс помех шире класса гауссовских помех (см. 3 13.7).
В этом случае задача обнаружения детерминированного сигнала Хз(1), 7)0, ~з(1) ~(1, на фоне аддитивиой помехи формулируется как задача проверки непараметрической гипотезы Н о том, что независимая выборка х=(хь..., х„) из реализации х(1) наблюдаемого на интервале (О, Т) случайного процесса принадлежит распределению помехи с плотностью л ы! (х) Н) = П !и (хд (Н) (16.1а) против непараметрической альтернативы сдвига К о том, что указанная выборка принадлежит распределению аддитивной смеси сигнала и помехи с плотностью (16.1б) тп (х (К) = П тп (хд — Х зд ( Н), Д4М где хд=х((д), зд=з(1д), й=1, и, 1ден(0, Т).
Алгоритм обнаружения назовем непараметрическим, если вероятность ложной тревоги при его использовании сохраняет постоянное значение при гипотезе Н, т. е. при любых выборках, принадлежащих непараметрическому классу с плотностью распределения (16.1а) (см. п. 13.7.2). Критерием качества непараметрического алгоритма обнаружения служит КАОЭ (см. п. 13.7.5). Как отмечалось в п.
13.8.1, непараметрические алгоритмы проверки гипотез синтезируются на эвристической основе с использованием специальных статистик, которые при условии, что выборка для гипотезы Н вЂ” однородная, независимая, обладают непараметрическим свойством по отношению к этой гипотезе. Самым существенным ограничением является предположение от однородности и независимости выборки при гипотезе Н, которое означает, что рассматриваемые далее алгоритмы обнаружения сигналов обладают непараметрическим свойством только в случае стационарных помех и при условии, что интервал временной дискретизации наблюдаемого процесса настолько превосходит интервал корреляции помехи, что выборку можно считать практически независимой '.
16.1.2. Знаковый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала. Рассмотрим сформулированную в п. 16.1.1 задачу обнаружения детерминированного сигнала Хз(1), Л)0, на фоне аддитивной однородной, независимой помехи при дополнительном предположении, что плотность распределения и!(х) помехи симметрична и среднее значение помехи равно нулю. В этом случае для обнаружения сигнала можно использовать следующий знако- ' Условие независимости выборки выполняется точно, если помеха представляет Т-зависимый процесс (см. и. 4.2.71. 47! Рис. 76Л.
Схемы знаковых оанаружителей детерминированного сигнала вый (цифровой) непараметрический алгоритм: принимается решение, что сигнал присутствует (отвергается гипотеза Н), если' л У„(х) = 2; и(зах,))с, (16.2) Ь 1 и решение, что сигнала нет, если выполняется неравенство, противоположное (16.2). В (16.2) использованы обозначения за и хд— такие же, как в (16.1б), а и(г) — функция единичного скачка. Порог с определяется заданной вероятностью а ложных тревог. Схема знакового обнаружителя детерминированного сигнала, функционирующего согласно алгоритму (16.2), приведена на рис.
16.1,а. Неравенство (16.2) можно переписать в виде (см. (13.165)1 л л Ул (х) = ~, 'и(з„х„) = — 2; знпз„зппха+ — ") с. (16. 3) а=1 2 2 Из (16.3) следует, что в структурной схеме знакового обнаружителя операция умножения может следовать после ограничения наблюдаемого процесса х(1) и детерминированного сигнала з(1) (см. рис. 16.1,б).
Характеристическую функцию статистики (16.3) можно записать и при гипотезе Н (сигнала нет), и при альтернативе К (сигнал присутствует). Обозначим рд = Р (ха) 0 ~ К) = Р (зив ха = 1 ~ К) = ~ те (х — )за) г(х, а '(16.4а) се=1 — ра=Р(здп ха= — 11К). (16.4б) При гипотезе Н ра=да=1/2. Так как характеристическая функция случайной величины знп ха при альтернативе К езил» (О) - Р, ехР (1 О) + Уа ехР ( — 1О), 472 ' Заметим, что и(лз»ха) и(з»ха) ири Х)0. нлн 9„(о!Н) = — „(ехр(до)+1) . 1(16.66) Из (16.6б) следует, что распределение статистики у (х) в (16.3) прн гипотезе Н не зависит от распределения помехн и подчнняется бнномнальному распределению с параметрами (и, 1/2). Тогда для определения порога с в алгоритме (16.3) можно нспользовать формулу (13.177), а прн и»1 — формулу (13.180).
Таким образом, цифровой алгорнтм (16.3) обнаружнтеля детермнннрованного сигнала — непараметрнческнй. Используя (3.71а), получаем, дифференцируя логарифм характернстнкой функции (16.6), среднее н дисперсию статнстння у„(х) прн альтернатнве К: 1 л 1 П тд(у„(х)!К)= — !!птдз (о)]' = — + — ~',(2рь — 1)здпз„, (167) р, (у„ (х),' К) = — 1!и О (о)) , = ~', р,(1 — р„).
д-1 Прн гипотезе Н ~д=1/2 н т1(у (х) !Н)=и72, рз(у„(х) !Н) =и74, как для бнномяального распределения с параметрами (и, 1/2). Когда амцлятуда сигнала Л мала, нз (16.4а) находим рд=1/2+Лззда(0) +о(Л), (16.9) н тогда нз (16.7) н (16.8), пренебрегая малыми о(Л), получаем т,(у„(х)!К)= — +Лдв(0) 2; !з„), !(16.10а) 2 а-! 1дд(у„(х) ~ К) =и74. (16.106) Прн и»1 знаковая статистика у (х) в (16.3) аснмптотнческн нормальная с параметрамн, определяемыми по формулам (16.10а) н (16.10б) для слабого сигнала.
Вероятность пропуска снгнала прн этих условиях Р [2сф и — )7и (1+ 2Л дв (О) а ми „)1, (16.11) 473 (16.8) то нз (16.3) находим характеристическую функцию статнстнкн у„(х) прн альтернативе К 7 !аз I. ч 6„(о!К) ехр( — ! Ц ~р„ехр(! — зйпзд)+ 2 7~ 1! 'д 2 + д„ехр ( — ! — ";зйп зь)1. (16.6) 2 Характеристическая функция статистики у„(х) в (16.3) прн гнкотезе Н получается нз (16.6), когда рз=дз=1/2 9 (о! Н) = ехр ( ~ ) созп ( ~ зйп з„) = ехр ( — '"" ) соз" ( — ") (16.6а) где п ам1, л =- — Х 1зл! Порог с определяется по формуле (13.180): с = (х„)7 л + п)(2 (16.11а) (16. 11б) (16. 14) и х„ — процентная точка нормального распределения.
Соотношение (16.11) определяет асимптотическую (при п-+со) рабочую характеристику рассматриваемого знакового алгоритма обнаружения детерминированного сигнала, ~ которую с учетом (16.116) можно переписать в виде х„— х~ а =21) лю(0) ап~ „ (16.12) где х„, х1 а — процентные точки нормального распределения. 16.1.3. Относительная эффективность знакового обнаружителя. Сравним знаковый алгоритм (16.3) обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи (с симметричной плотностью распределения) с линейным алгоритмом Я зл х„с, (16.13) л=! т который, как известно [см. (15.10)1, представляет оптимальный по критерию Неймана — Пирсона алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи по независимой выборке наблюдений.
Предположим, что линейный алгоритм, оптимальный при чормальном распределении помехи, используется для обнаружения детерминированного сигнала Хз(1), Х)0, на фоне адднтивной помехи с нулевым средним и произвольной симметричной плотностью распределения с конечной дисперсией о'. При условии л 11т гпахз'( 2; з'=-О, п-~ \~ймп которое практически всегда выполняется, статистика в левой части (16.13) согласно центральной предельной теореме при произвольном распределении выборочных значений асимптотически нормальна с параметрами О, по'У',„ при гипотезе г7' (сигнала нет) и )~„)г',„, по'Ю,„ при альтернативе К (сигнал присутствует), причем (16.15) л л Асимптотическая рабочая характеристика алгоритма (16.13) при указанных условиях определяется следующим соотношением между вероятностью 6 пропуска сигнала и заданной вероятностью а ложных тревог (ср.
с (15.20)1: х — х| а = (Х/о) )Гл 117 „. '(16.16) 474 Найдем КАОЭ знакового алгоритма (16.3) по отношению к линейному (16.13). Сравнивая (16.16) с (13.188), а (16.12) с (13.189в), приходим к выводу, что указанный коэффициент получается из (13.190) умножением на величину з с!т Ха ! т У, = 1пп — '! " = 1пп ф 1з(1)14(1) / 1за(1) Ж, л-~ !Ран т-м» о а (16.17) где и!в«,н и '«й;н определены со~леоне (16.11а) и (16.15).
Таким образом, искомый КАОЭ р=4ндн«а(0) Уа,. (16.18) Заметим, что У,~1, причем 1'.=1 для постоянного сигнала (см. (13.190)1. 16.1.4. Знаково-ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала. Непараметрический зиаково-ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной стационарной независимой помехи с нулевым средним и с симметричной плотностью распределения и!(х) ,эффективнее рассмотренного непараметрического знакового алгоритма. Решение о наличии сигнала принимается в тех случаях, когда и 8„(х) = 2',заид+и(хд))с, д=! (16.19) где Й+=(нг+ь ..., г1+н) — вектор положительных рангов выборки х ('см. п. 13.8.5).
Схема обнаружителя, функциопирующего согласно алгоритму (16.19), приведена на рис. 16.2. Неравенство (16.19) можно переписать в виде (см. (13.193), (14.193а)1 З„(х) = — ~, "зд Яд+ зяп х, + — ';«„зд Я+д ) с (16.20а) д-! 2 а=1" или 5„(х) = 2; з; ~ и (х; + х1) ) с, к=! 1 ! (16.206) Если выполнено условие (16.14), то статистика 8„(х) асимптотически (при и- ) нормальна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
