Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 83
Текст из файла (страница 83)
(15.83)] т ]' В,(Ф вЂ” и) У(и; фо)«(и г,(1) ехр(1«р,), 0(1(Т. о Вводя функцию У(«) =У(1; «ро)ехр( — ««ро) (15.131) и подставляя (15.131) в (15.130), получаем комплексное инте- гральное уравнение т (В,((-у)и(у)ау=а,(1), О(г(Т.
(15.132) из которого видно, что функция ('(1) не зависит от фь Заметим, что комплексное интегральное уравнение (15.132) эквивалентно системе двух действительных интегральных уравнений относитель- но действительной и(«) и мнимой о(1) частей функции 6«(1) [см.
(15.116а), (15.1166) ]: )' [Вл (1 — у) и (у) — Влс(1 — у) о (у)] «(у = а (1) соз ф, (1), (15.132а) о т ]'[Вл(С вЂ” у)о(у)+Влс(Ю вЂ” у)и(у))]«]у=а(1)«йп«р,(С), 0(Ф(Т. (15.1326 Если спектральная плотность мощности симметрична относи- тельно центральной частоты «оо, то Влс(т)= — 0 (см. п. 10.1.3) и вместо системы уравнений имеем два отдельных уравнения отно- сительно неизвестных функций и(1) и о(1): т ~ Вл (Ф вЂ” у) и (у) «]у а(М) соа«р,(М), 0(1(Т, т )' Вл(С вЂ” у)) и(у) «]у = а(1) а«п ф,(1), 0(1( Т.
(15. 132г) о Выражение (15.129) функционала отношения правдоподобия с учетом (15.131) можно переписать в виде т 1[а(г)]фо] = ехр ~~]'[т(1)а(1)Ш соз(ф,— «Рт) х «~о т р) — — «о«о~,«оо). хо 448 (15. 133) где т т фт=агс1я 1т )' У(!)я(!)б!/Ке)" У(!)а(!)сИ . (15.133а) о о Знак Ке при втором сомножителе в (15.133) опущен, так как интеграл действительный и положительный: т т т ) и(1)х,(!)б1-„1„! В,(1-р)и(ц)йябд !1- а о а т , а! Щощо~ ) ~о. (15.1336) !!о Из (!5.133) следует, что при фиксированной фазе фа оптимальный амплитудно-фазовый аналоговый алгоритм обнаружения детерминированного узкополосного сигнала на фоне аддитивной узкополосной гауссовской помехи можно представить в виде Ке ехр(! <ро) )' У(!)г(!) г(! = о (15.135) (15.136) (15.137) т = )' !й(!) сезара — о(1) з!п<р„) хо(!) й+ ° ' т т + )" (и (!) 81п яоа + о (!)соз ~р) х, (1) Й м с, (15.133в) о тю где х.(!) и х,(!) — квадратурные составляющие наблюдаемой ре- ализации узкополосного случайного процесса.
Статистика в ле- вой части неравенства (15.133в) — линейный функционал от ука- занных квадратурных составляющих. Если мешающий параметр «ра — случайный и распределен рав- номерно на интервале (О, 2п), то усредненный по этому парамет- ру функционал отношения правдоподобия (15.133) (ср. с. (15.122)) Л!г(!)) =!а(тт)ехр( — сРт!2), (15.134) где [ср. с (15.121а) и (!5.!25)) т „-!) и(1)а(1) и, 1о т о!т=) и(!)х,(!)М. о Повторяя рассуждения, приведенные в п. !5.4.3 после форму- лы (15.!22), приходим к выводу, что оптимальный аналоговый ал- горитм обнаружения квазидетерминированного сигнала на фоне аддитивной узкополосной гауссовской помехи предписывает срав- нение с порогом статистики (15.!35) ттм с, гз — 87 449 где порог с при использовании критерия Неймана — Пирсона определяется заданной вероятностью а ложной тревоги.
Случайная величина тт — модуль комплексной гауссовской т случайной величины )'У(г)гЯЩ, среднее значение которой о равно нулю, когда справедлива гипотеза Но, и г)'техр(1фо), когда справедлива гипотеза Нь Дисперсия этой величины иг(тт) =2г1от Поэтому случайная величина гт подчиняется рэлеевскому распределению прн гипотезе Н, и обобщенному рэлеевскому распределению при гипотезе Нь Плотности этих распределений определяются по формулам (15.123), (15.124), если параметр д'и заменить параметром Ыт.
Отсюда следует также, что порог с в алгоритме (15.137) и рабочая характеристика этого алгоритма вычисляются по формулам (15.127), (15.128) с заменой величины й'и величиной Йот Из (15.137) следует также, что оптимальный по критерико Неймана — Пирсона аналоговый алгоритм обнаружения квази- детерминированного сигнала на фоне адднтнвной узкополосной гауссовской помехи т'т (хе тт)'+ (1гп тт)' м от 1п (1/а), те (15.138) где (15.
138б) т ашетт = 1" (и(1) А(1)+п(1) С(1)] с(г, о т 1гптт )'(пЯА(г) — и(1)С(г))с(г, о причем функции и(1), о(1) представляют решения системы инте- гральных уравнений (15.132а), (15.132б). 15А.6. Структурная схема устройства, реализующего оптималь- ный аналоговый алгоритм обнаружения. Рассмотрим два линей- ных фильтра с импульсными характеристиками )'и(Т вЂ” т), 0(т<Т, О, т<0, т>Т, п(Т вЂ” т), О(т(Т, (15.139б) О, т<0, т>Т, где и(У), с(1) — решения системы интегральных уравнений (15.132а,б).
Тогда из (15.138) следует, что для оптимального (не- линейного) аналогового алгоритма обнаружения квазидетермини- рованного сигнала на фоне аддцтивной узкополосной гауссовской помехи состоит из следующих операций (рис. 15.10): воздейст- вия квадратурных составляющих наблюдаемого процесса на две 450 Рис. 1о.10. Схема оптнмалкного аналогового обнаружнтелн квазнлетермнннрз. ванного сигнала группы фильтров с импульсными характеристиками (15.139а), (15.139б); образования суммы и разности выходных значений в каждой группе фильтров; днухполупериодного квадратического детектирования суммы и разности; суммирования продетектированных величин; сравнения выхода сумматора с порогом. 15.4.7. Обнаружение на фоне аддитивного белого шума. При обнаружении квазидетерминированного сигнала на фоне аддитивного гауссовского белого шума со спектральной плотностью Мо функция 1/(1) равна [см.
(15.132)]: (15.140) Из (15.135) — (15.137) находим, что в рассматриваемом случае оптимальный аналоговый алгоритм обнаружения имеет вид гт= ) за(1)а(1) г(1 ~' е(т )у 21п~ — 5 ~~е о ау (15.141) где параметр г В„= — ) 1з,(О~Ч1, 1те о (15.142) гт---о )' А(1)г(1 + ~ С(Ог(1 (15.143) Учитывая, что квадратурные составляющие А(1) и С(1) наблюдаемой реализации х(1) медленно меняются по сравнению с 1ЗЯ 451 т. е. равен отношению энергии (узкополосного) сигнала к спектральной плотности шума. При обнаружении гармонического сигнала з(1) =ассов(озо1+- +<ро) со случайной фазой статистика в левой части (15.141) соз во1, з!и соо1, (15.143) можно записать в виде ' т = — Ц вЂ” )' х(1)созсоо161) +~ — )'х(1)з1пво1Й) ~ о (15.144) где хс- —,~' х(1)'.созыо1«1.
ха=,1'х(1) з! ооо1б1. (15.147) То о о Случайные величины х, и х.— гауссовские, причем из (15.147) следует т,(х,~!Но) =т1(х.)Но) =О, (15.148а ) т,(х,~Но) =а, сов <ро, т1(х,)Н~) =ао з!п ~ро, (15.148б) )о,(х,~Но, НД=)ко(х.(Но, НД=2Но!Т, (15.148в) т,(х,х,!Но, Н1) =О. (15,148г) Прн выводе формул (15.148в,г) принималось во внимание, что для центрированного белого шума т,(х(и)х(о) )Но)=Ноб(и — о). При гипотезе Но (сигнала нет) статистика (15.146), как сумма квадратов независимых центрированных гауссовских величин с одинаковыми дисперсиями, подчиняется экспоненциальному распределению (и'-распределению с двумя степенями свободы) с плотностью В'хо (х)Н,)- — ехр~ — — 1), г)О, р'= —.
т ро 2р~ д~ т Используя (15.149), находим порог с' в (15.146) при заданной вероятности а ложной тревоги из соотношения Р(Хет>с'~)Но) =ехР( — со/2Ро) =и, (15.149) т т т о Например, ) к(1)соомаЫ! ( А(1)соо'мыс!+ — ) С!1)о)п2соао! о о о 1 т моТ ю — )' А (1) и'1, — ъ! . 2 о 462 При этом поТ Е, 1о Ю 2 О!о !Ро Учитывая (15.138) и опуская постоянный множитель в ,(!5.144), представим рассматриваемый оптимальный аналоговый алгоритм гармонического сигнала в виде Хо х~+~'з со, (15.146) т.
Рис. 15.11. Схема оптимального аналогового обнаружнтела гармонечесного сигнала со случайной фазой на фоне белого шума (15.150) где х~ а — процентная точка нормального распределения. Устройство, реализующее алгоритм (15.146), (рис. 15.11) состоит из двух линейных фильтров Ф, и Ф„согласованных с сигналами созшог и з!позе/, квадраторов, сумматора и безынерционного порогового элемента.
15.5. ПОСЛЕДЕТЕКТОРНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ 15.5.1. Постановка задачи. В 3 15.4 для синтеза оптимальных алгоритмов обнаружения узкополосных сигналов использовалась комплексная огибающая г(1) наблюдаемого узкополосного процесса, зависящая и от огибающей т(/) и от фазы д(1) процесса !см. (!5.112а)). Во многих случаях при практической реализации приемных устройств до какой-либо специальной обработки наблюдаемый высокочастотный процесс детектируется, т.
е. вы- 453 откуда следует л хио 1„(! з 4йге „~1) "т При гипотезе Н, (сигнал присутствует) статистика Хт подчиняется обобщенному рэлеевскому распределению с плотностью Вероятность правильного обнаружения О р и*+о'т 1 1 — р = Р(ХГ) с)Н) = )' и ехр ~ — 1о(ш1т) г(и.
т а ~а <~1а) (15.151) При г/т»1 обобщенное рэлеевское распределение асимптотическч нормальное (см. п. 3.2.3), и тогда из (15.151) находим 1 — Р ° г' 1)/ 2 1п (1/а) — г(т11 (15.152) Таким образом, при г/т»! рабочую характеристику оптимального аналогового алгоритма обнаружения гармонического сигнала на фоне аддитивного гауссовского белого шума можно представить в виде )т'2 !п (1/а) — х1 а = г(т = (Е,//уа)'~~, (15.153) деляется либо его огибающая г(1), либо фаза д(г).
Поэтому наряду с рассмотренными в $15.4 оптимальными алгоритмами, использующими и огибающую, и фазу наблюдаемого процесса (или обе квадратурные составляющие А(г) и С(1)) представляют интерес последетекторные алгоритмы обнаружения узкополосных сигналов: амплитудные — при амплитудном детектировании, когда используется только огибающая наблюдаемого процесса, и фазовоге — при фазовом детектировании, когда используется только фаза наблюдаемого процесса.
Оптимальные последетекторные алгоритмы обнаружения не могут быть лучше тех, которые были рассмотрены в $15.4, так как процесс детектирования неизбежно связан с потерей полезной информации. Как и в З 15.4, предполагается, что наблюдаемый процесс представляет либо реализацию центрированной гауссовской помехи с известной корреляционной функцией (гипотеза На), либо аддитивную смесь узкополосного сигнила с этой помехой (гипотеза Н~). При приеме высокочастотные процессы до детектирования усиливаются, например, в усилителе промежуточной частоты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
