Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Таким образом, качество обнаружения не зависит от вида сигнала, а только от его мощности. Ясно, что при увеличении размера выборки увеличивается значение параметра д„, которое пропорционально 1! и. На рис. 15.3 приведены в явном виде рабочие характеристики обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитнвной независимой гауссовской помехи как семейство функций 1 — (з=!(а) при различных значениях отношения г(„сигнал-помеха. 15.1.4. Реализация алгоритма при помощи цифрового фильтра.
Как было указано в п. 15.1.2, для реализации оптимального алгоритма обнаружения детерминированного сигнала з(!) на фоне аддитивной независимой гауссовской помехи необходимо осуществить корреляционную обработку наблюдаемой выборки. Такая обработка в дискретном коррелометре (рис. 15.1) содержит велинейный элемент — умножитель. Можно, однако, выполнить корреляцаонную обработку и линейным цифровым фильтром.
В и. 6.2.1 приведено соотношение <вход-выход» для физически реализуемого цифрового фильтра с постоянными во времени параметрамн (15.21) ул= Х а= — чо где й„а — импульсная характеристика линейного цифрового фильтра, ха — текущее значение величин на входе фильтра, у„— значение величины на выходе фильтра в момент наблюдения.
Ес- 422 ли принять, что входные величины — выборочные значения, то х„=О при й =О, и формулу (15.21) следует переписать в виде д = Х йл — аха. А=! Сравнивая (15.22) с (15.10), замечаем, что обе формулы совпадают, если задать импульсную характеристику цифрового фильтра следующим образом: лв-а=за, 1=1, п, (15.23) где зь ..., и — значения детерминированного сигнала в моменты дискретизации, Цифровой фильтр, импульсная характеристика которого связана со значениями сигнала соотношением (15.23), называется согласованным. Таким образом, оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой гауссовской помехи реализуется при помощи согласованного цифрового фильтра (рис. 15.4). 15.1.5.
Синтез оптимального алгоритма обнаружения по коррелированной выборке. Рассмотренный случай независимой выборки часто оказывается нереальным, так как для накопления выборки достаточного размера потребуется недопустимо большое время наблюдения. Поэтому рассмотрим задачу синтеза оптимального дискретно-аналогового алгоритма обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи при произвольном интервале дискретизации. В этом случае функции правдоподобия коррелированной (зависимой) выборки при гипотезе и при альтернативе определяются формулами (15.3) и (15.4).
Теперь достаточная статистика логарифма отношения правдоподобия 1п1(х) = — — (х — з)'К ' (х — з) — — х' К ' х 2 2 нли ! ! и 1(х) = з'К-'х — — ' з'К-'з. (15. 24) 2 Так как корреляционная матрица помехи и детерминированный Рнс. 1ад. Схема согласованного цифрового фильтра: т — регистр слвига; а— аттеннгатор (или усилитель) 423 сигнал представляют априори известные данные, то достаточной статистикой является также оо / о Р (у„(х) ) с1 Но) = (2оо о(о) — По ) ехр ~ — —, бг = 1 — г" ( — ) = а оо г (15.29) или с = хм оп~ (15.30) где хв — процентная точка нормального распределения, а о п б!=з'К 'а=-Х Хз Кот", о=1 !=1 Кои-и — элементы матрицы К '.
Заметим, что величина з'К вЂ” 'з, которую можно назвать обобщенным отношением сигнал-помеха, всегда положительна, так как корреляционная матрица К положительно определенная. Теперь можно сформулировать оптимальный по критерию Неймана — Пирсона дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения сигнала на фоне аддитивной коррелированной гауссовской помети: принимается решение у, о наличии сигнала, если (15.31) н'х= ~,'иохь)х д„, а-1 (15.32) и решение то о том, что сигнала нет, в противном случае. Как и при независимой выборке, оптимальный алгоритм обнаружения сигнала (15.32) состоит в вычислении корреляционной суммы и сравнение ее с порогом.
Отличие состоит в том, что весовые коэффициенты корреляционной суммы представляют компоненты вектора н', зависящего и от сигнала, и от корреляционной матрицы помехи. Устройство, реализующее алгоритм (15.32), также является дискретным коррелометром, структурная схема которого отличает- 424 у„(х) = з'К-'х.
(15.25) Вводя вектор-строку п=з'К ', можно представить статистику (15.25) в виде скалярного, произведения (суммы): о У„(х)= н'х= 2;иох„, А 1 т. е. линейной комбинации гауссовских случайных величин. Когда сигнала нет, то т1(у„(х) ~Но) =н'т,(х)Но) =О, (15.27) ро(уп (х) ~Но) = т1(з'К-'ххК-'э~ Но) =з'К 'з=г1'и (15.28) Используя (15.26) — (15.28), находим уравнение, определяющее порог при заданной вероятности а ложной тревоги: ся от схемы, изображенной на рис. 15.1, тем, что генератор сигнальных значений заменяется генератором значений комогонент вектора и'=з'К-'. Как и при независимой выборке, корреляционную обработку можно выполнить при помощи цифрового фильтра с импульсной характеристикой Ьп о=и», 1=1, п, (15.33) где ио — компоненты вектоРа и (сР.
с (15.23) и Рис. 15.41. 15.1.6. Рабочая характеристика оптимального алгоритма. Найдем зависимость вероятности правильного обнаружения сигнала от вероятности ложной тревоги для алгоритма (15.32). Так как статистика (15.26) и при наличии сигнала, представляет гауссовскую случайную величину, то для определения вероятности правильного обнаружения сигнала достаточно найти среднее и дисперсию этой случайной величины лри альтернативе Нь Из (15.26) следует т,(у„ (х) ) Н,) =п'пг,(х )Н,) = и'з= з'К-'з = с(г„, (15.34) рг(уп(х) ! Нг) =1гг(уп(х)! Но) =з'К 'з =«Рп. (15.35) Используя (15.34), (15.35) и (15.30), находим вероятность правильного обнаружения сигнала Г ( г — аг)»1 Р(у„(х))с(Нг)=1 — (1=(2Ыг) — ы' ) ехр~ — " ~г(з »а гп 2яп = 1 — Р(х — о(„) (15.36) или Г'з х„— х, а =г(„, (15.3?) где х„, х, з — процентные точки нормального распределения вероятностей, а параметр о(„определяется по формуле (15.31).
Рабочая характеристика (15.37) оптимального по критерию Неймана — Пирсона дискретно-аналогового алгоритма обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитнвной коррелированной помехи имеет формально тот же вид, что и характеристика (15.20) для независимой помехи. Однако в рассматриваемом случае параметр о(„характеристики обнаружения определяется по формуле (15.31), т. е. зависит и от вида сигнала, и от корреляционных свойств, помехи.
Фрмальное совпадение соотношений (15.20) и (15.37) позволяет использовать графики рабочих характеристик обнаружения, изображенные на рис. 15.2 и 15.3, и для коррелированной помехи, если при этом определять параметр 4(п по формуле (15.31). Заметим, что и в рассматриваемом случае «расстояние» между статистиками уп(х) прн гипотезе и альтернативе равно параметру а'„1ср. с (15.18)]. 15.1.7. Два способа дискретизации наблюдений.
При постановке рассматриваемых в этом разделе задач синтеза и анализа 4225 а) Рил. 15.6, Мгновенная дискретизация; л — наблюдаемая реализация, б — ключевая схема. а — выборка дискретно-аналоговых алгоритмов обнаружения сигналов предполагалось, что временная дискретизация наблюдаемой реализации происходит мгновенно в заданные моменты времени (см. (15.1)1. Практически такая дискретизацнч осуществляется (приближен' бт Сз бб бб но) при помощи ключевого 1 элемента (последовательиости импульсов), работа которого иллюстрируется рис.
15.5. Можно использовать и другой способ дискретизации — фильтровой. Наблюдаемая реализа- 1 г б 4 ция поступает на входы Ф линейных фильтров и значения сигналов на выходах фильтров в конце интервалов наблюдения образуют выборку размером Ф, причем можно так согласовать импульсные характеристики фильтров с корреляционной функцией помехи, чтобы получаемая фильтровым способом выборка (координаты наблюдаемой реализации случайного процесса) была некоррелирована (такой способ дискретизации рассматривался в пп. 4.5.6 — 4.5.9). Пусть зря(4) и Ла — собственные функции и собственные числа интегрального уравнения т р(1)=Л~ В(1 — д) а(д)йд, 0«(Т, (15.38) о где В(т) — корреляционная функция гауссовской помехи. Рассмотрим 1р' линейных фильтров с импульсными характеристиками ~)г'Лн р„(Т вЂ” т), 0(т(Т, й=1, ~Ч, Если на вход й-го фильтра действует реализация х(т), то на его выходе в конце интервала наблюдения реализации выдается координата процесса хя т т х„=) х(С))гд(Т вЂ” 1)аг=) Л» ) х(г)Ч~н(г)б(г.
(15.40) о о Как,показано в п.4.5.6, определенные таким образом координаты представляют совокупность некоррелированных случайных величин. Но так как здесь рассматриваются реализации гауссовского случайного процесса, то координаты хд, йее1, Ф, как линейные 4226 о,1 (15.39) функционалы гауссовского процесса, образуя совокупность независимых гауссовских случайных величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
